Chuyên đề Bất đẳng thức tích phân

2 3. 90− ln10 ≤e dx < 90 + + ln10 2 tg ∫10 200 6. dx < 1 ∫0 x Bài giải : 2 ∈ ' 1. Đặt f(x ) = x − x; x [ 0, 2 ] có f(x ) =1 − 2 x 1 có f' =0 ⇔ x = (x ) 2 x - ∞ 0 1 2 + ∞ 2 f’ (x) + 0 − f(x) 1 4 ր ց 0 − 2 1 ⇒ − 2 f (x ) 4 1 hay −2 x − x 2 4 2 1 2 22 2 ⇒e−2 ex − x e4 =4 e ⇒ e −2 ≤ dx ≤ ex − x dx 4 e dx ∫0 ∫ 0 ∫ 0 2 2 2.e−2 ex − x dx 2. 4 e ∫0 2 2 Chú ý : thực chất bất đẳng thức trên là : 2.e−2 < ex − x dx < 2. 4 e ∫0 2 1 2. Trước hết ta chứng minh : e−x ≤ ;( 1 ) x ≠ 0 x2 Đặt t= x2 ; x ≠ 0 ⇒ t > 0 1 Giả sử ta có (1) và (1) ⇔e−t; t > 0 ⇔ e t t ; t > 0 t ⇔et − t 0 ( 2) ; t > 0 t' t Đặt f(x )= e − t co f ( t ) = e −1 > 0 , t > 0 22 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân ⇒ f(t ) luôn đồng biến ∀t > 0 và f(t ) f (0 ) =1 > 0 21200 2 200 1 ⇒f 0 , t > 0 ⇒ e−x ≤ ⇒ e − x dx ≤ dx (t ) x2∫100 ∫ 100 x 2 200 2 ⇒e-x dx < 0,005 ∫100 1− 1 1 1 3. Trước hết ta chứng minh : 1−ex 1 − + ;( 1 ) ∀ x > 0 x x2 x 2 1 Đặt t= −; x > 0 ⇒ t < 0 x 1 (1 ) ⇔ 1 +t et 1 + t + t2 ; ( 2 ) t < 0 2 1 Xét hàm số f= et − t −1 ; h = e t − 1 − t − t2 ; t < 0 (t ) ( t ) 2 ° ' t f(t ) = e − 1 t - ∞ 0 +∞ f’ (t) − +∞ f(t) ց 0 ⇒f >0 ; ∀τ < 0 (t ) hay et −1 − t > 0 ; ∀ t < 0 ⇒1 +t < et ; ∀ t < 0 ( 3 ) ' t •h(t ) = e − 1 − t x - ∞ 0 + ∞ ' h t + 0 ht ր ⇒h(t ) <0 ; ∀ t < 0 1 hay et 0 ; ∀ t < 0 ( 4 ) 2 Từ (3) và (4) suy ra : 23 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 1 1+t et 1 + t + t2 ; ∀ t < 0 2 1− 1 1 1 hay 1− ex 1 − + ; x > 0 x x2 x 2 1001  100− 1 100  1 1  x ⇒1 − dx e dx  1 − + 2  dx ∫10x  ∫ 10 ∫ 10  x2 x  100 1 9 90− ln10 ≤ex dx < 90 + + ln10 ∫10 200 * Là bài toán khó , hi vọng các em tìm điều thú vị trong bài toán trên – chúc thành công . 3 ∏  4. Xét f= − 2 tg4 x ; x ∈ 0, (x ) cos4 x  3  1 ∏  t= =1 + tg2 x ; x∈ x ∈ 0, ⇒ t ∈ [ 1;4 ] Đặt cos2 x  3  2 ' 3 ∈ ⇒f(t ) = t +4 t − 2 ⇒ f ( t ) = 4 t + 4 > 0 ; ∀ t [ 1, 4 ] ⇒f(1 ) f (t ) f ( 4 ) ⇒ 3 f ( t ) 30 4 4 4 ⇒3dt f dt ≤ 30 dt ∫1 ∫ 1(t ) ∫ 1 ∏ 3 3 4  ⇒94 − 2tg x  dx 90 ∫0 cos  x 5. Xét hàm số f(x ) = e −1 − x ; ∀ x 0 có ' x đồng biến ∈ f(x ) = e −1 > 0 , ∀ x 0 ⇒ f (x ) ∀x 0, + ∞ ) x x ⇒f(x ) f (0 ) =0 ⇒ e − 1 − x 0 ⇒ e 1 + x ; ∀ x 0 1 2 1 ⇒e1+x 1 + ; ∀ x 0 1+ x2 11 1 1 2 1  1 1+x ⇒e dx1 +2  dx = 1 + 2 dx ( * ) ∫0 ∫ 01+x  ∫ 0 1 + x Đặt x= tgt ⇒ dx =(1 + tg2 t) dt t = 0 2 x = 0  11 1 (1+ tg t) dt ∏ ⇒  ⇒dx = = x =1 t = ∏ ∫01+x2 ∫ 0 1 + tg 2 t 4   4 1 2 ∏ Từ (*) suy ra : ex +1 dx 1+ ∫ 4 tg x 2 2 ∏  6. Trước hết ta chứng minh : < ;x ∈  0,  x ∏ 2  24 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 1 x ∏ ∈   Xét hàm số fx = . tg ; x  0,  ( ) x 2 2  x− sin x f ' = (x ) 2x2 .cos 2 x 2 ∏  Đặt Z= x −sin x ⇒ Z ' = 1 − cos x > 0 , ∀ x ∈  0,  2  ∏ ' ∈   ⇒Z > Z0 =0 ⇒ fx > 0 , ∀ x  0,  ( ) ( ) 2  x - ∞ 0 ∏ + ∞ 2 f’ (x) + f 2 (x) ∏ ր −∞ x 2tg 2 ⇒f < ⇒2 < (x ) ∏x ∏ x x ∏tg ∏2 ∏ tg ⇒22dx < 2 dx ⇒ 2 2 dx < 1 ∫0x ∫ 0∏ ∫ 0 x Chứng minh rằng : 2001 2001 1 ∏ ∏ ∏ 1. x1999 . e 2 x . dx > + 2∫0 2001 2002 1 1 2 2. x ln x+ 1 + x2 dx ln 1 + 2 + − 1 ∫0 ( ) 2( ) 2 n+2 ∏ 4 n 1 ∏  3. xtg xdx   ∫0 n + 2 4  Bài giải : 1. Trước hết ta chứng minh : e2x >2( x 2 + x) ; ∀ x > 0 Xét hàm số: 2x 2 f(x ) = e −2( x + x) ; ∀ x > 0 ' 2x ' ' 2 x f(x )=2. e − 4 x − 2 ; f (x ) = 4. e − 4 > 0 ; ∀ x > 0 ' ' ⇒ f (x ) là hàm tăng ;∀x > 0 ⇒ f(x ) > f (0 ) = 0 ⇒ f(x ) là hàm tăng ;∀x > 0 ⇒ f(x ) > f (0 ) 25 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân ⇒e2x >2( x 2 + x) ⇒ x 1999 . e 2 x > 2. x 1999( x 2 + x ) 1 ∏ ∏ ⇒x1999. e 2x dx > x 1999( x 2 + x ) dx 2 ∫0 ∫ 0 2001 2001 1 ∏ ∏ ∏ ⇒x1999. e 2 x . dx > + 2∫0 2001 2002 2. Trước hết ta chứng minh : 1+x ln( x + 1 + x2) 1 + x 2 ; ∀ x ∈ R Xét hàm số : f=1 + x ln x + 1 + x2 − 1 + x 2 (x ) ( ) f'=ln x + 1 + x 2 ⇒ f ' = 0 ⇔ x + 1 + x 2 = 1 (x ) ( ) (x ) 1−x ≥ 0 ⇔ ⇔x = 0  2 2 1+x =( 1 − x ) và f'<0 ⇔ ln x + 1 + x 2 < 0 ⇔ x < 0 (x ) ( ) x - ∞ 0 + ∞ f’ (x) - 0 + f ց ր (x) 0 ∈ ⇒f(x ) f (0 ) =0 ; ∀ x R ⇒1 +x ln( x + 1 + x2 ) 1 + x 2 ⇒xln( x + 1 + x2) 1 + x 2 − 1 1 1 1 1 1  ⇒xln x + 1 + x2 dx 1 + x 2 − 1 dx = x x 2 + 1 + ln x + 1 + x 2 − x ∫0( ) ∫ 0 ( ) ( )  2 2  0 1 1 2 ⇒xln x + 1 + x2 dx ln 1 + 2 + − 1 ∫0 ( ) 2( ) 2 ∏  3. Đặt f= tgx − x ; ∀ x ∈ 0, (x ) 4  '1 2 ∏  fx =2 −1 = tg x > 0 ; ∀ x ∈  0,  ( ) cosx  4  ∏  ⇒ f đồng biến trên 0,⇒f f = 0 (x ) 4  (x ) (0 ) 26 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân ∏  ⇒tgx x ; ∀ x ∈ 0, ⇒ tgn x x n 4  ∏ ∏ ⇒xtgn x x n+1 ⇒ 4 xtg n xdx 4 x n + 1 dx ∫0 ∫ 0 n+2 ∏ 4 n 1 ∏  ⇒ xtg xdx   ∫0 n + 2 4  Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục trên [0,1] và f(1) – f(0) = 1 1 2 Chứng minh rằng : f' dx 1 ∫0 ( (x ) ) 1 2 Ta có : f' −1 dx 1 ; ∀ x ∈ [ 0,1 ] ∫0 ( (x ) ) 12 1 1 1 2 ⇒f' dx −2 f ' dx 1 + dx 0 ⇔ f' dx − 2 f − f  + 1 0 ∫0( (x ) ) ∫ 0 ( x ) ∫0 ∫ 0 ( (x ) ) (1 ) ( 0 )  1 2 1 2 ⇔f' dx −2 + 1 0 ⇒ f' dx 1 ∫0 ((x ) ) ∫ 0 ((x ) ) Cho f là 1 hàm liên tục trên [0;1] đồng thời thoả mãn 1f 2 ; ; ∀ x ∈ [ 0,1 ] ( a )  (x )  1 3  f dx= ( b ) ∫0 (x ) 2 21 1 3 Chứng minh dx < ∫0 3f(x ) 4 Theo BĐT Bunhiacosky 2 2   1 11 1 1 dx 1 1.dx=  f . dx  f dx . (∫0)  ∫ 0(x ) f  ∫ 0( x ) ∫ 0 f (x )  (x ) 31 dx1 dx 2 = ⇒ (1 ) ∫0 ∫ 0 2f(x ) f ( x ) 3 Dấu “=” không xảy ra : f(x ) 3 =k ⇔ f = k = 1 (x ) 2 f(x ) 1 3 do f. dx = ∫0 (x ) 2 2− f 0  (x ) Từ (a) : 1f 2 ; ∀ x ∈ [ 0,1 ] thì  (x ) f −1 0  (x ) 2 ⇔(2 −f(x ) )( f( x ) − 1) 0 ⇔ f( x ) − 3 f ( x ) + 2 0 27 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 2 f(x ) −3 + 0 ( 2 ) Đặt t= f (x ) f(x ) 2 ⇒1 ≤t ≤ 2 thì (2) ⇔t −3 − = f 0 t (t ) t 1 2 2 f’ (t) − 0 + f ց ր (t) 2 2− 3 1 1 1 dx ⇒f dx −3 dx + 2 < 0 ∫0(x ) ∫ 0 ∫ 0 f(x ) 1dx 1 1 31 dx 3 ⇒2 < 3 dx − f dx = ⇒ < ∫0 ∫ 0 ∫ 0 (x ) ∫ 0 f(x ) 2 f (x ) 4 Từ (1) và (2) suy ra : 2 1 3 ∫ dx < 3f(x ) 4 28 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân BÀI TẬP TỰ LUYỆN Chứng minh rằng : 29 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân ∏∏ 1 ∏ 3 1 3 1. 4 dx 18.1 ∫0 dx ∫0 2 2 285+ 2 cos x 24 −x +2 x + 8 5 ∏ 1 2 ∏1 ∏ 19.1 1+ x dx 2 2. 4 dx ∫0 ∫0 2 24 3+ 4sin x 18 1 2 20. 3∫0 3+ x dx 2 21 1 2 3. ∫−1 dx ∏3∏ 1 ∏ 3 4 9x + 8 7 21. ∫∏ 2 dx 84 3+ sin x 7 10 x 5 4. ∫ dx < 1 0 3 22. 2∫−1 5− 4xdx 6 x +16 6 1 2 23. 2∫0 4+ x dx 5 18 cosx 5 5. ∫ dx < 0 4 1+ x 6 ∏31 1 ∏ 24. <∫0 2 dx < ∏ 18x+ x + 2 8 ∏2 1 ∏ 6. dx 1 ∫0 2 1 1 ∏ 165+ 3cos x 10 25. ∫ 2 dx 0 2004 −x 2 1 − x 4 e.sin x ∏ 7. 3 dx < ∫1 2 ∏x ∏ 3 x +1 12 e 1 26. ∫0 7 5 3 dx < 18x+ x + x + 3 27 1 −x 8.∫0 3+ e dx 2 e 2 27. 0 ∫ xln xdx e 4003 0 ∏ 2001 9. ∫ x .ln x . dx < ∏ 3 2 1 ( ) 28. 9<∫0 81 +x dx < 10 ∏1 1 ∏ 2 2∏2∏ dx 2 ∏ 10. ∫ dx 29. <∫0 < 0 2 3 64 −x − x 8 3 10+ 3 cosx 7 ∏∏ 1 ∏ 6 11 1 ∏ 2 2 11. ∫ 2 dx<( n = 2, 3... ) 30 .<∫0 1 + sin x dx < 0 2∏ 2 2 4 21− x 6 1 2 31. 0<∫−1 tgx dx < 2 3 2 2 x2− x 2 12. e dx 2 e 4 ∫0 3∏ 1 ∏ e 32. ∏ 4 dx ∫∏ 2 7 4 4 3− 2 sin x 2 1 x 1 13. 0 <∫ dx < 1 2 0 3 8 1 −x 1+ x 8 33. (e− 1 ) <∫0 e dx < 1 e 2 1 x sin(nx ) 14.1 <∫0 e dx < e 1 34. ∫0 dx ln 2 19 x + 1 11 x 1 15. <∫0 dx < cos(nx ) 3 6 20 1 20 2 1+ x 35. ∫0 dx ln 2 x + 1 ∏∏ 1 ∏ 16 . ∫ 2 dx 1 x ∏ 0 2 36 . 2 ; 3, 4 105− 3cos x 4 ∫1 dx< n = 2n 12 n 1 − x x 1 17. 0 1 dx 2 ∏ 2 ∫0 37.∫0 sinx dx > 0 1+x n + 1 ( ) Chứng minh rằng : 30 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân ∏ 1. 2+ cos2x + 2 − cos 2 x dx 2 2 ∏ ∫o ( ) 3 3cosx+ 4sin x 5 ∏ 2. 0 < dx ∫1 x2 +1 12 ∏ 9∏ 3.3 3− 2 sinx sin x + 6 sin x + 5 dx ∫∏ ( )( ) 6 2 ∏ 27 ∏ 4. 4 tgx 2+ 3 tgx 7 − 4 tgx dx ∫0 ( )( ) 4 ∏ 25 ∏ 5.4 sin2x( 2+ 3cos 2 x ) dx < ∫0 48 ∏ 125 ∏ 6. 2 cos4x( 2sin 2 x+ 3 ) dx < ∫0 54 ∏ 4 3∏ 3 7. 5− 2cos2x + 3 − 2sin 2 x dx ∫−∏ ( ) 4 2 ∏ 27 ∏ 8. 2 sinx( 2+ 3 sin x )( 7 − 4 sin x ) dx ∫0 2 ∏ 9∏ 9. 3 3− 2 sinx 5 + sin x 1 + sin x dx ∫∏ ( )( )( ) 6 2 ∏ 10. ( 2sinx+ tgx ) dx > 0 ∫0 1 11. 0e−x + x − 1 dx e − 1 ∫0 ( ) − x2 11 e 5 1 12. dx + 2∫0 x2 + 1 24 2 Chứng minh rằng : 1 xsin a+ a + 1cos a 11 .− 1dx 1 2∏2∏ 1 2 ∏ ∫0 1. dx x +1 ∫0 13 10+ 3cosx 7 (a∈ R ) ∏ ∏2 1 ∏ 2 2. 1 ∫0 2 ∏1 −x ∏ 14 4+ 3cosx 8 12 . <dx < 4 2 ∫0 1+ x2 6 18 cos x 3. dx < 0,1 1 x3 ∫0 4 13 .1 2dx 4 1+ x ∫−1 1 1 2 1 x2 4. 1 +x dx > xdx 14 .1 e dx e ∫0 ∫ 0 ∫0 1 1 5. x2 sin 2 xdx< x sin 2 xdx ∏ 1 ∫0 ∫ 0 15 . ∏dx 2 ∏ ∫0 4 4 2 2 sinx+ cos x x2 x 6. e dx> e dx 1 1 ∏ ∫1 ∫ 1 16 . dx < ∫0 x2 + x + 2 8 31 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 2 1 xcosα− 2 x + cos α ∏ ∏ 7.dx 2 17 . 2 sinxdx> 2 cos xdx ∫−1 2 ∫∏ ∫ ∏ x−2 x cosα + 1 4 4 1 α ∈ 0, ∏ 18 . 3 6 2+x + 4 − x dx 6 3 ( ) ∫−2 ( ) ∏ ∏ 210 2 2 3 8.. sinxdx sin xdx 5 x ∫0 ∫ 0 19 . 25∫3 dx 27 x2 −4 x + 5 ∏ 2 2 2 2 9.∫ 6 cosx+ 2sin x + sin x + 2 cos x dx ∏ 6 −∏ ( ) 6 ∏ 22 2 2 10. 2 3cosx+ sin x + 3sin x + cos x dx ∏ 2 ∫0 ( ) Chứng minh rằng : 3∏ sinx 1 1. <3 dx < ∫∏ 2∏ cosx 1 46 x 2 28 . dx < ∫0 ∏ x 2∏ 33 sinx 2 2. < < 0 2x − 2 ∫∏ 29 . 0x e dx 8 e 84 x 6 ∫−2 3 2 4 3. 0<∫ x 1 − x dx < 2 5 3 0 ( ) 27 30 . − 24∫−1( −x − 5 x + 20 x + 2 ) dx 32 1 ∏3∏ 1 2 ∏ 3 3 3 4. <dx < 31 .− 2 4 −x + 3 x − 2 dx 0 ∫0 ∫−1 3cos2 x+ cos x + 1 3 e2 1 x 2(e+ 1 ) 22 x 1 32 . 0 <x dx < e 5. <dx < ∫0 ∫1 2 5x + 1 2 2∏ 1 3 2 33 . < 2cosx + 2cos x + 1 dx < 5 1 2 3 ∫0 ( ) 6. 0<x( 1 − x2 ) dx < 2 ∫0 9 ∏ ∏ 3 34 . sinx( 1+ cos x ) dx < ∫−∏ 2 11 ∏ 7. 54 2( 11−x + 7 + x) dx 108 35 . ( sinx+ cos x ) dx < 2 ∏ 2 ∫−7 ∫−∏ ∏ 2 8 2  8.+ 3cosx  dx 5 7∏ 32 ∏ 5 ∏ 3 + 6 ∫0 3cosx+ cos3 x 36 . <(x 3 + 2 sin x ) dx <   ∫0 3 3 5∏ 2∏ 49 12 1 9. − 2 sinx− − sin x − dx − 3 37 . ( cosx− x ) dx < 2 ∏ ∏ 2 8 ∫ ( ) ∫0 6 sinx sin x ∏ 1 cosx  ∏ 2 3 dx 38 . − 2cot gx dx < 10 . 0,65 0,9 ∫0 3  ∫0 x2 +1 sinx  9 2 21 1 1 4 x−7 x + 5 11. dx 39 . − 2dx 6 ∫ 2 3 02 +x − x 2 2 ∫2 x−5 x + 7 2 1 x+3 x + 1 40 . 0dx 10 ∫−1 x2 − x + 1 32 Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðàLt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 2 53 x 9 2 12. <dx < 2∫2 2 4 51 2x2 + 4 x + 5 x −1 21. 2 dx 15 ∫−2 2 200 ∏ cosx 1 2x + 1 13. dx < ∫ e 2 100 ∏ x 200 ∏ 22 . 0x ln x e ∫0 ∏ 1 sinx 2 e2 14. <2 dx < 2x 3 2∫∏ x 2 23 . e( e− 1 ) < dx < e( e − 1 ) 4 ∫e ln x 2 2 e 1  52 2 x 15 24 . 2(e− e ) < 3ln x −  dx . <2 dx < 1 ∫2 ln x  4∫1 x + 1 22 x 1 3 x +1 16 25 . ln 2< lndx < ln 3 . <2 dx < ∫1 5∫1 x + 1 2 x 2 1 1 2 x2 − x 2 17. 26 . <e dx < 2 e x(1− x ) dx < 4 ∫0 ∫0 2 e x 2 e 1 27 . e< dx < e 2 ∫1 x 2 ∏ 18 . ∏∏ cos 2x − cos x + 1 dx 2 ∏ ∫ 2 2 4 2 19 . 5 2−x + 4 x + 5 dx 9 2 ∫0 ( ) 2 4 3 2 20 . − 141 − 3x − 8 x + 30 x + 72 x − 20 dx 369 ∫−1( ) 33