Chuyên đề Bài toán tiếp tuyến

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Chuyên ñề: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 1.ðịnh nghĩa: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=f(x) tại ñiểm 0 0( ; ( ))M x f x . Phương pháp: * Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )y f x= tại 0 0( ; )M x y là: 0 0 0'( )( )y f x x x y= − + với 0 0( )y f x= . Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )y f x= , biết tiếp tuyến có hệ số góc k. Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx b= + * ðiều kiện tiếp xúc là hệ pt: ( ) (1) '( ) (2) f x kx b f x k  = +   = Từ (2) ta tìm ñược x, thế vào (1) ta có ñược b. Ta có tiếp tuyến cần tìm. Cách 2: * Giải phương trình '( )f x k= giải phương trình này ta tìm ñược các nghiệm 1 2, ,..., nx x x . * Phương trình tiếp tuyến: '( )( ) ( ) ( 1,2,..., )i i iy f x x x f x i n= − + = . Chú ý: ðối với bài toán này ta cân lưu ý một số vấn ñề sau: * Số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình '( )f x k= . *Cho hai ñường thẳng 1 1 1:d y k x b= + và 2 2 2:d y k x b= + . Khi ñó i) 1 2 1 2 tan 1 . k k k k α − = + , trong ñó
1 2( , )d dα = . ii) 1 21 2 1 2 // k k d d b b = ⇔  ≠ iii) 1 2 1 2. 1d d k k⊥ ⇔ = − Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )y f x= , biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm ( ; )A AA x y . Phương pháp: Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( )A Ay k x x y= − + ðiều kiện tiếp xúc: hệ pt ( ) ( ) (1) '( ) (2) A Af x k x x y f x k  = − +   = có nghiệm. GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Thay (2) vào (1), ta ñược: ( ) '( )( )A Af x f x x x y= − + , giải pt này ta tìm ñược các nghiệm 1 2, ,..., nx x x . Thay vào (2) ta tìm ñược k từ ñó suy ra phương trình tiếp tuyến. Cách 2: Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp ñiểm. Khi ñó tiếp tuyến có dạng: 0 0 0'( )( )y f x x x y= − + Vì tiếp tuyến ñi qua A nên ta có: 0 0 0'( )( )A Ay f x x x y= − + , giải phương trình này ta tìm ñược x0 suy ra phương trình tiếp tuyến. Chú ý: *Nếu giải theo cách 1 thì số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình: ( ) '( )( )A Af x f x x x y= − + * Nếu giải theo cách 2 thì số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trình 0 0 0'( )( )A Ay f x x x y= − + (với ẩn là x0). CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến Phương pháp: Ta dựa vào ba bài toán trên Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2y= 3 2x x x− + , có ñồ thị (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm uốn . 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1− . 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có tung ñộ bằng 6 . 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao ñiểmcủa (C) với trục hoành. 5) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Giải: 1)Ta có: 2' 3 6 2 '' 6 6 " 0 1y x x y x y x= − + ⇒ = − ⇒ = ⇔ = , do ñó tọa ñộ ñiểm uốn là (1;0)U Phương trình tiếp tuyến tại U là: '(1)( 1) 0 1y y x x= − + =− + . 2) Ta có 0 01 6x y= ⇒ =− và 0'( ) '( 1) 11y x y= − = , suy ra Phương trình tiếp tuyến là: '( 1)( 1) 6 11 5y y x x= − + − = + . 3) Gọi 0( ;6)M x là tiếp ñiểm , ta có: 3 2 2 0 0 0 0 0 03 2 6 ( 3)( 2) 0 3x x x x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = Vậy phương trình tiếp tuyến là: '(3)( 3) 6 11 27y y x x= − + = − . 4) PTHð giao ñiểm của (C) với Ox: 3 23 2 0 0, 1, 2x x x x x x− + = ⇔ = = = * x=0 ta có tiếp tuyến: '(0)( 0) 0 2y y x x= − + = . * x=1 ta có tiếp tuyến: '(1)( 1) 0 1y y x x= − + =− + . * x=2 ta có tiếp tuyến: '(2)( 2) 0 2 4y y x x= − + = − . 5) Vì hệ số góc của mọi tiếp tuyến ñều có dạng '( )f x và hệ số góc của tiếp tuyến tại ñiểm uốn bằng -1. Do ñó ñể chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh '( ) 1f x ≥− . ð iều này luôn ñúng vì: 2'( ) 1 3( 1) 0 f x x x R+ = − ≥ ∀ ∈ (ñpcm). GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Chú ý: Chứng minh tương tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 như sau “Cho hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ . Nếu 0a> thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất còn nếu 0a< thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc lớn nhất”. Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1 1 x xy x − + = − có ñồ thị (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng :3 4 1 0x y∆ − + = . 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ ( 1;3)M − . 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C). 4) Biện luận theo 0m≠ số tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng : 1 0m x my m∆ − + + = . Giải: Ta có 2 2 2 ' ( 1) x xy x − = − 1)Gọi d là tiếp tuyến song song với ñường thẳng 3 1: 4 4 y x∆ = + , khi ñó d có hệ số góc là 3 4 k = Xét phương trình: 2 2 2 12 3 ' 2 3 0 34( 1) xx xy k x x xx  =−− = ⇔ = ⇔ − − = ⇔  =−  . * 31 2 x y=− ⇒ =− ⇒phương trình tiếp tuyến: 3 3 4 4 y x= − . * 73 2 x y= ⇒ = ⇒phương trình tiếp tuyến: 3 5 4 4 y x= + . 2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua ( 1;3)M − , có hệ số góc k, khi ñó phương trình d có dạng: ( 1) 3y k x= + + d là tiếp tuyến ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 1 ( 1) 3 (1) 1 2 (2) ( 1) x x k x x x x k x  − + = + + −   − = − Thế (2) vào (1) ta ñược: 2 2 2 1 2 ( 1) 3 1 ( 1) x x x x x x x − + − = + = − − 2 2 2 5 2 0 1 2 x x x x  =  ⇔ − + = ⇔   =  * Với 2 0x k= ⇒ = ⇒Phương trình tiếp tuyến y=3. GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích *Với 1 3 2 x k= ⇒ =− ⇒ Phương trình tiếp tuyến 3y x=− 3) ðồ thị có hai tiệm cận 1x= và y x= suy ra giao ñiểm của hai tiệm cận là I(1;1) Gọi d là ñường thẳng ñi qua I, có hệ số góc k : ( 1) 1d y k x⇒ = − + d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 1 ( 1) 1 1 2 ( 1) x x k x x x x k x  − + = − + −   − = − có nghiệm Thế k vào phương trình thứ hai ta ñược: 2 2 2 21 2 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x − + − = + ⇔ − + = − + − − − phương trình vô nghiệm Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C). 4) m∆ có hệ số góc 1 mk m = . Số tiếp tuyến thỏa mãn bài toán chính là số nghiệm của phương trình: 2 2 2 ( 2 ) '. 1 1 ( 1) 2( 1) 1 0 (*) ( 1)m m x xy k m x m x x − =− ⇔ =− ⇔ + − + + = − ( với ñk 1x≠ ) * Nếu m=-1 (*)⇒ vô nghiệm⇒không có tiếp tuyến nào. *Nếu 1m≠− : (*) có ' ( 1)m m∆ = + và (*) có nghiệm 1 0x m= ⇔ = + Khi 0 1 m m  >  ⇒  <− (*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ có hai tiếp tuyến + Khi 1 0m− < ≤ thì (*) vô nghiệm ⇒ không có tiếp tuyến nào. Chú ý: *Hệ số góc của mọi tiếp tuyến luôn có dạng: '( )f x . * ðối với hàm phân thức 2 ( . ' 0) ' ' ax bx cy a a a x b + + = ≠ + không có tiếp tuyến nào ñi qua gia ñiểm của hai tiệm cận. Ví dụ 3: Cho hàm số 2 2(2 )y x x= − , có ñồ thị (C). 1) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao ñiểm của (C) với Parabol 2y x= 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(2;0). Giải: Ta có: 4 3 2 3 24 4 ' 4 12 8y x x x y x x x= − + ⇒ = − + 1) PTHð giao ñiểm của (C) và Parabol 2y x= 4 3 2 2 2 24 4 ( 4 3) 0 0, 1, 3x x x x x x x x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = = = .
0x= ta có phương trình tiếp tuyến là: 0y=
1x= ta có phương trình tiếp tuyến là: 1y=
3x= ta có phương trình tiếp tuyến là: 24 63y x= − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k : ( 2)d y k x⇒ = − d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2(2 ) ( 2) 4 ( 2)( 1) x x k x x x x k  − = −   − − = có nghiệm Thay k vào phương trình thứ nhất ta ñược: 4 3 2 3 2 24 4 ( 2)(4 12 8 ) (3 4)( 2) 0x x x x x x x x x x− + = − − + ⇔ − − = 40, 2, 3 x x x⇔ = = = .
0 0x k= ⇒ = ⇒Phương trình tiếp tuyến 0y=
2 0x k= ⇒ = ⇒Phương trình tiếp tuyến 0y=
4 32 3 27 x k= ⇒ =− ⇒Phương trình tiếp tuyến 32 64 27 27 y x=− + . Ví dụ 4: Cho hàm số 1 2 mxy x m + = + − ,có ñồ thị là (Cm ) 1)Viết phương trình tiếp tuyến của (C1),biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm P(3;1). 2)Viết phương trình tiếp tuyến của (C1),biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(2;-1) 3)Tìm m ñể tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 vuông góc với ñường thẳng y=x+1. Giải: Với m=1 ta có 1 1( ) : 1 xC y x + = − 1) Gọi d là ñường thẳng ñi qua P, có hệ số góc k : ( 3) 1d y k x⇒ = − + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 1 ( 3) 1 1 2 ( 1) x k x x k x  + = − + −  − = − có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: 2 1 2 ( 3) 1 2 1 ( 1) x x x x x + − = − + ⇔ = − − 2k⇒ =− ⇒Phương trình tiếp tuyến: 2 7y x=− + . 2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k : ( 2) 1d y k x⇒ = − − . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 1 ( 2) 1 1 2 ( 1) x k x x k x  + = − − −  − = − có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: 2 1 2 ( 2) 1 2 1 ( 1) x x x x x + − = − − ⇔ =± − − * 2 2(3 2 2)x k= ⇒ =− + ⇒ tiếp tuyến: 2(3 2 2) 11 8 2y x=− + + + . * 2 2(3 2 2)x k=− ⇒ =− − ⇒ tiếp tuyến: 2(3 2 2) 11 8 2y x=− − + − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 3) Ta có 2 2 2 1 ' ( 2) m my x m − − = + − . Tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 vuông góc với ñường thẳng y=x+1 2 2 2 1 '(1) 1 1 0, 2 ( 1) m my m m m − − ⇔ =− ⇔ =− ⇔ = = − . Ví dụ 5: Có bao nhiêu tiếp tuyến của ñồ thị hàm số lny x x= ñi qua ñiểm M(2,1)? Giải: Gọi d là ñường thẳng ñi qua M, có hệ số góc k : ( 2) 1d y k x⇒ = − + . D là tiếp tuyến ⇔ hệ ln ( 2) 1 ln 1 x x k x x k  = − +   + = có nghiệm Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: ln (ln 1)( 2) 1x x x x= + − + 2ln 1 0x x⇔ − + = (*) Số tiếp tuyến kẻ từ M chính là số nghiệm của phương trình (*) Xét hàm số 2( ) 2ln 1 '( ) '( ) 0 2xf x x x f x f x x x − = − + ⇒ = ⇒ = ⇔ = . Mặt khác: 0 ( ) ; x x Lim f x Lim → →+∞ =−∞ =−∞ ; (2) 2ln 2 1f = − BBT: x 0 2 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 2ln 2 1− −∞ −∞ Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Vậy có hai tiếp tuyến kẻ từ M. Ví dụ 6: Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 3 21 1 3 2 3 my x x= − + tại ñiểm có hoành ñộ bằng -1 song song với ñường thẳng 5x-y=0. Giải: Tiếp tuyến d của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x=-1, có dạng : ( 1) 1 2 my m x= + + + d song song với ñường thẳng y=5x 1 5 4 1 0 2 m mm  + =⇔ ⇔ =  + ≠ . Vậy m=4 là giá trị cần tìm. Ví dụ 7: Cho hàm số 2 2 2 1 x xy x + + = + (C). GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 1) Gọi I là tâm ñối xứng của (C) và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M. 2) Tìm vị trí của M ñể AB nhỏ nhất. 3)Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với tiệm cận xiên. Giải: 1) (C) có hai tiệm cận là x=-1 và y=x+1 I là tâm ñối xứng ( 1;0)I⇒ − (I là giao của hai tiệm cận). Xét 0 0( ; ( )) ( )M x f x C∈ . Tiếp tuyến ∆ tại M của (C): 0 0 0'( )( )y y x x x y= − + hay là: 0 22 00 0 02 00 2 22 ( ) 1( 1) x xx x y x x xx + ++ = − + ++ ∆ cắt tiệm cận ñứng tại 0 2( 1; ) 1 A x − + và cắt tiệm cận xiên tại 0 0(2 1;2 2)B x x+ + suy ra 0 2 0 0 0 2 2 2 2 1 A B M A B M x x x x x xy y y x  + = = ⇒  + ++ = = + M là trung ñiểm của AB. Gọi H là hình chiếu của B lên IA 02 | 1|BH x⇒ = + , mà 0 2 | 1|IA x= + , suy ra 1 . 2 2ABI S BH IA∆ = = ⇒ñpcm. 2) Ta có: 2 20 2 0 14[2( 1) 2] 4(2 2 2) 2 2 2 2 ( 1) AB x AB x = + + − ≥ − ⇒ ≥ − + ðẳng thức xảy ra 40 0 4 12( 1) 1 1 2 x x⇔ + = ⇔ =− ± . 3) Chú ý: Tính chất trên cũng ñúng trong trường hợp tổng quát, tức là ta có bài toán sau: “Cho hàm số 2 ( . ' 0) ' ' ax bx cy a a a x b + + = ≠ + có ñồ thị (C). Gọi I là tâm ñối xứng của (C) và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M .” GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Dạng 2: Biện luận số tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho hàm số 2 6 9 2 x xy x − + = − + . 1) Tìm tất cả các ñiểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ ñược ít nhất một tiếp tuyến với ñồ thị,song song với ñường thẳng 3 4 y x=− . 2) N là ñiểm nằm trên tiệm cận ñứng. Hỏi từ N có thể kẻ ñến (C) bao nhiêu tiếp tuyến. 3) Tìm tập hợp tất cả các ñiểm nằm trong mặt phẳng Oxy sao cho từ ñó có thể kẻ ñến ñồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải: 1) (0; )M Oy M m∈ ⇒ . gọi d là ñường thẳng ñi qua và song song với ñường thẳng 3 4 y x=− 3: 4 d y x m⇒ =− + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 6 9 3 (1) 2 4 4 3 3 (2) 4( 2) x x x m x x x x  − + =− + − +  − + − =− − có nghiệm. 2(2) 4 0 0, 4.x x x x⇔ − = ⇔ = = * 9 90 (0; ) 2 2 x m M= ⇒ = ⇒ . * 7 74 (0; ) 2 2 x m M= ⇒ = ⇒ . Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2) Ta có: (2; )N n . ðường thẳng d ñi qua N, hệ số góc k có pt: ( 2)y k x n= − + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 6 9 ( 2) (3) 2 4 3 (4) ( 2) x x k x n x x x k x  − + = − + − +  − + − = − có nghiệm. Thế (4) vào (3) ta ñược: 2 26 9 4 3 ( 2) 2( 3) (*) 2 2 x x x x n n x n x x − + − + − = − ⇔ − = − − + − Số tiếp tuyến kẻ từ N ñến (C) chính là số nghiệm của (*) * Nếu n=2 thì (*) vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào kẻ từ N. * Nếu 2n≠ thì (*) có nghiệm duy nhất nên có ñúng một tiếp tuyến kẻ từ N Vậy từ (2; )N n với 2n≠ kẻ ñược duy nhất một tiếp tuyến ñến (C), còn từ '(2;2)N không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C). GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 3) Xét 0 0( ; )M x y . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có ptrình : y=k(x-x0)+y0. d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ 2 0 0 2 2 6 9 ( ) 2 4 3 ( 2) x x k x x y x x x k x  − + = − + − +  − + − = − có nghiệm. Hệ 0 0 2 1( 2) 2 ( 2) (2 ) 2 11 ( 2) x k x x k y x k x − − + − = − + − + −⇔ − + = − 0 0 2 1 12 (2 ) 2 2 11 ( 2) x k y x x k x  − = + − + − −⇔ − + = − 0 0 2 1 1 (2 ( 2) ) 2 2 11 ( 2) x k y x k x  = + − − −⇔ − + = − 2 0 0 0 0 11 [( 2) 2 ] 4 2 2 x k y k y k x − + − + − =⇒  − ≠ − 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ( 2) 2[( 2)( 2) 2] ( 2) 4 0 (*) 2 2 x k x y k y y k x  − − − − + + − − = ⇔ − ≠ − ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 2 2 y x − ≠ − và k1.k2=-1 0 0 2 2 20 0 02 0 0 0 0 0 2 2 ( 2) 4 1 ( 2) ( 2) 4 ( 2) 4 0 4 0 x x y x y x x y x y  ≠  ≠   − − ⇔ =− ⇔ − + − =   −   + − ≠  + − ≠ . Vậy quỹ tích của M là ñường tròn 2 2( 2) ( 2) 4x y− + − = , trừ bốn ñiểm sau 1(2;0)M 2 3 4(2;4); (2 2;2 2); (2 2;2 2)M M M+ − − + . Chú ý: Từ câu 2 ta thấy trên mọi ñiểm tiệm cận ñứng (trừ giao của hai tiệm cận) ta luôn kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị. Tính chất này cũng ñúng cho mọi hàm phân thức có dạng 2 ; ' ' ' ' ax b ax bx cy y a x b a x b + + + = = + + . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Ví dụ 2: Cho hàm số =− + +3 3 2y x x . Tìm những ñiểm trên trục hoành sao cho từ ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số và trong ñó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải: Xét ñiểm ( ;0)M m Ox∈ . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: ( )y k x m= − . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 3 2 3 2 ( ) 3 3 x x k x m x k − + + = −  − + = có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 2 33( 1)( ) ( 3 2) 0x x m x x− − − − − = 2 2( 1)(3 3(1 ) 3 ) ( 1)( 2) 0x x m x m x x x⇔ + − + + − + − − = 2 2 1 ( 1)[2 (3 2) 3 2] 0 2 (3 2) 3 2 0 (*) x x x m x m x m x m  =− ⇔ + − + + + = ⇔   − + + + = ðể từ M kẻ ñược ba tiếp tuyến thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác -1 2(3 2)(3 6) 0 V 2 3 3 3 0 1 m m m m m m  ∆= + − >   ⇔   + ≠  ≠− (**). Gọi x1,x2 là hai nghiệm của (*), khi ñó hệ số góc của ba tiếp tuyến là : 2 1 13 3,k x=− + 2 2 23 3,k x=− + 3 0k = . ðể hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau 1 2. 1k k⇔ =− 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 29( 1)( 1) 1 9 9( ) 18 8 0 (i)x x x x x x x x⇔ − − = ⇔ − + + + = Mặt khác theo ðịnh lí Viet 1 2 1 2 3 2 3 2 ; 2 2 m m x x x x + + + = = . Do ñó 26( ) 9(3 2) 8 0 27 i m m⇔ + + = ⇔ =− thỏa mãn ñiều kiện (**) . Vậy 26( ;0) 27 M − là ñiểm cần tìm. Ví dụ 3: Tìm tất cả những ñiểm nằm trên trục tung sao cho từ ñó có thể kẻ tới ñồ thị hàm số 4 22 1y x x= − − ñúng ba tiếp tuyến. Giải: Xét (0; )M m Oy∈ . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y kx m= + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 4 2 3 2 1 4 4 x x kx m x x k  − − = +   − = có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 4 2 4 22 1 4 4x x x x m− − − = − + 4 25 2 1 0x x m− + + = (*) ðể từ M ta có thể kẻ ñến ñồ thị ñúng ba tiếp tuyến (*)⇔ có ba nghiệm phân biệt GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 1 0 1m m⇔ + = ⇔ =− . Khi ñó (*) có 2 nghiệm 20; 5 x x= =± và ba tiếp tuyến ñó là: 21; 1 5 y y x=− =± − . Vậy M(0;-1) là ñiểm cần tìm. Ví dụ 4: Tìm tất cả các ñiểm nằm trên trục tung mà từ ñó chỉ có thể kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số 1 1 xy x + = − . Giải: Xét (0; )M m Oy∈ . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y kx m= + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 1 1 2 ( 1) x kx m x k x  + = + −   − = − có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 2 2 1 2 ( 1) 2( 1) 1 0 1 ( 1) x x m m x m x m x x + − = + ⇔ − − + + + = − − (*). ðể từ M chỉ kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số ñã cho ⇔ (*) có ñúng một nghiệm. Do (*) không có nghiệm x=1 nên (*) có ñúng một nghiệm 1 1 ' 2 2 0 1 m m m m  = =  ⇔ ⇔   ∆ = + = =−   . Vậy có hai ñiểm 1 2(0;1), (0; 1)M M − thoảmanx bài toán. Ví dụ 5: Cho hàm số: 2 1 xy x + = − (C). Cho ñiểm M(0;m). Xác ñịnh m ñể từ A kẻ ñược 2 tiếp tuyến ñến (C) sao cho hai tiếp ñiểm tương ứng nằm về hai phía ñối với trục Ox. Giải: ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y kx m= + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 1 3 ( 1) x kx m x k x  + = + −   − = − có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 2 2 2 3 ( 1) 2( 2) 2 0 1 ( 1) x x m m x m x m x x + − = + ⇔ − − + + + = − − (*). ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích ' 3( 2) 0 2 1 (i) 1 1 2( 2) 2 0 m m m m m m m ∆ = + >  >−  ⇔ ≠ ⇔    ≠  − − + + + ≠ Khi ñó tọa ñộ hai tiếp ñiểm là: 1 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )M x y M x y với x1,x2 là nghiệm của (*) 1 2 1 2 1 2 2 2 ; 1 1 x x y y x x + + = = − − ðể M1, M2 nằm về hai phía Ox thì 1 2 1 21 2 1 2 1 2 2( ) 4 . 0 0 (1)( ) 1 x x x x y y x x x x + + + < ⇔ < − + + Áp dụng ñịnh lí Viet: 1 2 1 2 2( 2) 2 ; 1 1 m m x x x x m m + + + = = − − . 9 6 2(1) 0 3 3 m m + ⇒ ⇔ − − . Kết hợp với (i) ta có 2 3 1 m m  >−   ≠ là những giá trị cần tìm. Ví dụ 6: Cho hàm số 22 1 1 x xy x − + = − (C). 1)Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ ñến (C) từ các ñiểm nằm trên ñường thẳng y=7. 2) Chứng tỏ rằng trên ñường thẳng y=7, có 4 ñiểm sao cho từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 045 . Giải: Xét 0( ;7)M x . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có ptrình : 0( ) 7y k x x= − + d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ 0 2 22 1 ( ) 7 (1) 1 22 (2) ( 1) x k x x x k x  + + = − + −   − = − có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 02 2 22( 1) 3 (2 )( 1) (1 ) 7 1 ( 1) x x x k x x − + + = − − + − + − − 0(1 ) 41 1 4 x k x − + ⇔ = − Thay vào (2) ta có: 20 0 2 0 0 0 [( 1) 8( 2)]=0 ( 1) 8( 2) 0 k k x k x x k x  = − − − ⇔   − − − = . Vậy ñường thẳng y=7 là tiếp tuyến của ñò thị hàm số. 2) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì 0 1x ≠ . Khi ñó hệ số góc hai tiếp tuyến là 0 1 2 2 0 8( 2) 0; ( 1) x k k x − = = − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 045 01 2 2 1 2 tan 45 1 1 1 k k k k k − ⇔ = = ⇔ =± + * 02 02 0 8( 2) 1 1 5 2 2 ( 1) x k x x − = ⇔ = ⇔ = ± − . * 02 02 0 8( 2) 1 1 3 2 6 ( 1) x k x x − = ⇔ =− ⇔ = ± − . Vậy ta tìm ñược 4 ñiểm M thỏa mãn bài toán⇒ñpcm. Ví dụ 7: Tìm những ñiểm trên ñồ thị (C) của hàm số 11 1 y x x = + + − có hoành ñộ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại ñó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Giải: Xét 0 0 0 1( ; 1 ) 1 M x x x + + + . Tiếp tuyến tại M có phương trình 2 2(1 ) 2 1y m x m m= − + + + ( với 0 1 1 m x = − ) tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng tại (1;2 2)A m+ , cắt tiệm cận xiện tại 2 2(1 ;2 )B m m + + và hai tiệm cận cắt nhau tại I(1;2) Chu vi tam giác ABI: 2 2 8 2 24 8 2 | || |P AB BI IA m mmm= + + = + + + + Áp dụng Bất ñẳng thức Côsi, ta có: 2 42 8 2 24 8 2; 2 | | 4 2| |m mmm+ ≥ + ≥ 48 2 8 4 2P⇒ ≥ + + . ðẳng thức xảy ra 4 2m⇔ =± Vậy 44 4 1 1(1 ;2 2) 2 2 M ± ± ± . Ví dụ 8: Tìm tất cả các ñiểm trên Oy sao cho từ ñó ta có thể vẽ ñược ít nhất một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số 24 2 1y x x x= + + + . Giải: Xét (0; )M m Oy∈ . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có phương trình: y=kx+m. d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 4 2 1 4 11 4 2 1 x x x kx m x k x x  + + + = +  + + = + + có nghiệm. Thay k vào phương trình thứ nhất ta ñược: GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 2 2 2 44 2 1 4 2 1 x x x x x x m x x + + + + = + + + + 2 2 2 2 14 2 1 4 4 2 1 ( ) 4 2 1 x x x x x m x x m f x x x + ⇔ + + = + + + + ⇔ = = + + (*) ðể từ M kẻ ñược ít nhất một tiếp tuyến ñến ñồ thị (*)⇔ có ít nhất một nghiệm. xét hàm số f(x), ta có: 2 3 3 '( ) '( ) 0 0 ( 4 2 1) xf x f x x x x − = ⇒ = ⇔ = + + Mặt khác: 1 1( ) ; ( ) 2 2x x Lim f x Lim f x →+∞ →−∞ = =− ta có BBT: x −∞ 0 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 1 -1/2 1/2 (*) có nghiệm 1 1 2 m⇔− < ≤ . Vậy M(0;m) với 1 1 2 m− < ≤ là những ñiểm cần tìm. Bài tập: Bài 1: Cho hàm số 3 21 2 3 3 y x x x= − + . Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm uốn và chứng minh tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 4 22 1y x x= − + , biết tiếp tuyến ñi qua A(0;1). Bài 2: 1) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 2 4 1x xy x + + = biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y=-3x+1 2) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=x3-6x2+11x-1 tại ñiểm có tung ñộ bằng 5. 3) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 3 21 1 42 3 2 3 y x x x= + − − , biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y=4x+2. Bài 3: Cho hàm số 3 22 3( 3) 11 3y x m x m= + − + − ( mC ) GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 1) Cho m=2 . Tìm phương trình các ñường thẳng qua 19( ,4) 12 A và tiếp xúc với ñồ thị ( 2C ) của hàm số . 2) Tìm m ñể hàm số có hai cực trị. Gọi 1M và 2M là các ñiểm cực trị ,tìm m ñể các ñiểm 1M , 2M và B(0,-1) thẳng hàng. Bài 4: 1. Khảo sát hàm số: 2 3 6 1 x xy x − + = − (C). 2. Từ ñồ thị (C), hãy nêu cách vẽ và vẽ ñồ thị của hàm số: 2 3 6 1 x xy x − + = − 3.Từ góc toạ ñộ có thể vẽ ñược bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (C) ? Tìm toạ ñộ các tiếp ñiểm (nếu có). Bài 5: 1) Tìm toạ ñộ các giao ñiểm của các ñường tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 1 3 xy x + = − với trục hoành ,biết rằng các tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng y=x+2001. 2) Cho hàm số 3 21 1 42 3 2 3 y x x x= + − − .Viết pt tt biết tt song song y=4x+2. 3) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 2 2 1 2 x xy x − + = − , biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm M(6;4). 4) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 2 4 1x xy x + + = , biết tiếp tuyến ñi qua M(1;0). BÀi 6: M là một ñiểm thuộc ñò thị hàm số 3 21 1 3 2 3 my x x= − + có hoành ñộ bằng -1. Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị tại M song song với ñường thẳng 5x-y=0. Bài 7: Tìm những ñiểm trên ñồ thị hàm số 11 1 y x x = + + − có hoành ñộ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại ñó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất? Bài 8: Tìm những ñiểm M nằm trên ñường thẳng y=1 sao cho từ M có thể kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số 22 1 x xy x + = + Bài 9: Tìm trên ñồ thị hàm số 2 2 2 1 x xy x + + = + các ñiểm sao cho tiếp tuyến tại ñó vuông góc với tiệm cận xiên ñồ thị hàm số ñã cho. Bài 10: Tìm những ñiểm trên trục Oy sao cho từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến với ñồ thị hàm số 2 2 1 1 x x y x + + = − và hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Bài 11: Cho hàm số 2 3 2x xy x − + = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị(C) của hàm số. 2) Tìm trên ñường thẳng x=1 những ñiểm M sao cho từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến (C) và hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. Bài 12: 1) Khảo sát và vẽ ñò thị hàm số : 2 1 xy x = − .Gọi ñồ thị là (C) 2) Tìm trên ñường thẳng y=4 tất cả các ñiểm mà từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ tới ñồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 45° Bài 13: Cho hàm số : 2 2 x xy x + = −