Chương viii tích phân
Cho f(x)=(x2 +x -3)/(x-1)^3, tìm A,B và C sao cho :
f(x)= A/ ( x-1)^3 + B/(x-1)^2 + C/(x-1). KQ A=-1, B=3 và C=1
Từ đó tính tích phân (x2+x-3)/ (x-1)^3 nhân dx
Nội dung tài liệu Chương viii tích phân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)=
3
2
)1x(
3xx
, tìm A, B và C sao cho:
f(x)=
1x
C
)1x(
B
)1x(
A
23
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính dx
)1x(
3xx
3
2
107) Tính dx
)2x(
2xx
3
3
108) Tính
2x3x
dx)3x2(
2
109) Tính 1x
dxx3
3
2
110) Tìm A, B , C để sinxcosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx2sinx)
+C
Kq: A=
5
1
; B=
5
3
và C=
5
8
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=
x
1x
b)
y=2
2
xsin2
)1
3
x(x2 +C
xsinx+C
c)
y=
xcos.xsin
1
22
d)
y=
xsinxcos
x2cos
tgxcotgx+C
sinx+cosx+C
112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3x2+2x1 biết rằng F(0) = 4.
Kết qua: F(x) =
3
x
4
x 34
+x2x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của
f(x)= l nx.
Kết qua: F(x) = x. l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , ta
có:
1x
B
2x
A
2x3x
1x
2
Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2x3x
1x)x(f
2
Kết qua: A=3; B= 2. F(x) = 3 l nx22 l nx1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
+C
115) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a) dx.gxcot
b) dx.xgcot 2
c)
xdxcos.xsin2
l
nsinx+C
cotgxx+C
d) dxxln.x
1
e) 3xcos2e .sinxdx
f) xsin
dx
l n l n
x+C
3xcos2e
2
1 +C
3
1 sin3x+C l n
2
xtg +C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
2
1
2
2
dx
x2
2x
b)
3
1
2
dx
x
x4x
c)
2
2
2 dx|1x|
d)
4
0
2xdxtg
1
12
4
4
4
e)
3
4
2
2
dx
xcos
xgcot23
f)
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
2
0
2 xdxcosxsin
3
15311
2
223
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết
quả
Tích phân Kết quả
a)
1
0 1x
dx
b)
2
1
2)1x2(
dx
ln2
g) dx
xcos31
xsin2
0
3
2 ln2
c) dx
1xx
2x41
0
2
d)
4
0
tgxdx
e)
2ln
0
x
x
3e
dxe
f)
2
0
3 dx.xcos
3
1
2ln3
ln 2
ln
4
5
3
2
h)
2
6
2
3
dx.
xsin
xcos
i)
2
3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
j)
1
0
2 dx.1xx)1x2(
k)
e
1
2
dx
x
xln
2
1
ln( 3 +1)
0
3
1
118) Chứng minh rằng:
a)
2xsin23
dx
4
4
3
4
2
b) 108dx)x117x(254
11
7
119) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
a)
4
0
dx.x2sin
b) dx
x
xe
1
ln1
2
1
c)
33
2
0
sin
cos
xdx
x
d)
4
0
4xdxtg
e) 2
4
4
sin
dx
x
f)
1
3
0
1 xdx
g) dx1xx
1
0
2
h)
1
0
2 1xx
dx
k)
1
0 1
x
x
e dx
e
l)
2
0
3 dxxcos xsin
)122(
3
2
2
1
12
83
3
4
4
3
)122(
3
1
33
)21e(2
4
3
120) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
m)
2
2
2 1xx
dx
n)
3
2
3
9 x dx
o)
1
0
2x4
dx
p)
1
0
22 dxx1x
q)
3
0
2 1x dx
r) 1 2
2
1
2
1 x dx
x
s)
1
0
xe1
dx
t)
2
0 xcos1
dx
u)
3
0
2 xcos
xdxsin
v)
2
0
2
dx
xcos1
xsin
Nhân tử số và mẫu số cho
x.Kq:
12
2
9
6
x=sint. Kq:
16
)32ln(
2
13
3
33
TS+exex.Kq:l n
1e
e2
w)
e
1
4
dx
x
xln
1
1
4
5
1
121) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
1
0
2 dxxe x
b) 2
0
( 1)cosx xdx
4
1e2
2
2
c)
e
1
xdxln
d)
4
2
0 cos
xdx
x
1
2ln
4
Tích phân Kết quả Tích phân Kết
quả
e)
2
0
sin .cosx x xdx
f)
e
1
2 dx)x(ln
g)
1
0
2 dx)x1ln(
8
e2
h)
1
2
0
ln(1 )x x dx
i) cos
0
( ) sinxe x xdx
ln2
2
1
ln22+
2
j)
2
0
sinxe xdx
e
1e2
2
1e 2
122) Chứng minh rằng:
a)
2
0
2
0
dx)x(cosfdx)x(sinf Hd: x=
2
t
b)
b
0
b
0
dx)xb(fdx)x(f Hd: x=bt
c)
2a
0
a
0
23 dx)x(xf
2
1dx)x(fx (a>0) Hd: t=x2
d)
2
0
2
0
dx)gx(cotfdx)tgx(f Hd: x=
2
t
e)
2
00
dx)x(sinfdx)x(sinxf . Áp dụng, tính:
0
2 dxxcos1
xsin.x
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t. Lần 2, để tính
2
dx)x(sinf ta đặt x=
2
+s
và kết quả bài 118a). Tính
0
2
dx
xcos1
xsin.x =
0
2 dxxcos1
xsin , đặt t=cosx,
kq:
4
2
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn
[a;a] (a>0) thì:
a
0
a
a
dx)x(f2dx)x(f . Hd: t=x
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn
[a;a] (a>0) thì: 0dx)x(f
a
a
. Hd: t=x
125) Chứng minh rằng: 0xdxsinx
8
8
76
. Áp dụng bài 124).
126) Chứng minh rằng:
1
0
xcos
1
1
xcos dxe2dxe . Áp dụng bài 123).
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:
x
a
x
a
dt)t(fdt)t(f .
Hd: t=x
128) Chứng minh rằng 0dx)x(cosf.xsin
a
a
. Áp dụng bài 124)
129) Chứng minh rằng
a
0
2
a
a
2 dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos . Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng
1
0
mn
1
0
nm dx)x1(xdx)x1(x . Hd:x=1t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
a)
2
2
2 dx)1xxln(
Hs lẻ: 0
b)
2
6
dx
xcos1
xsinx
c)
2
1
5
dx
x
xln
d)
2ln
0
x dxe.x
e)
e
e
1
dx|xln|
f)
1
0
2
3
dx
1x
x
g)
2
0
6 dx .sinxcosx-1
)31(
6
64
2ln
256
15
2
eln
e
)1e(2
2
eln
7
6
Tích phân Kết quả
h)
3ln
0
3x
x
)1e(
dxe
k)
0
1
3x2 dx)1xe(x
l)
4
0
dx
x2cos1
x
m)
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
12
7
4
e4
3
2
)2ln
2
(
4
1
n)
32
5
2
4xx
dx
o)
1
0
23 dx x-1x
p)
5ln
2ln
x
x2
dx
1e
e
q)
2
0
2 dx |x-x|
r)
1
0
2x3 dx ex
s)
e
l
2
dx .lnx
x
1x
2ln
3
5ln
4
1
15
2
3
20
1
u=x2, dv=?.
2
1
)3e(
4
1 2
132) Cho In =
1
0
xn dx.ex (n N)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In1 (n≥1)
b) Áp dụng tính I3 =
1
0
x3 dx.ex . Kết quả: 62e
133) Cho In =
4
0
n dx.xtg (n N )
a) Chứng minh rằng In > In+1. Hd: In>In+1,x(0; 4
)
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In.
Hướng dẫn: In+2 =
4
0
2
n dx).1
xcos
1(xtg In + In+2= 1n
1
.
134) Tính In =
0
n dx.nxcos.xcos (n N )
Hướng dẫn: đặt
dx.nxcosdv
xcosu n , tìm được In= 2
1 In1=…= 1n2
1
I1= n2
.
135) Tính In =
2
0
n dx.xcos (n N )
Hướng dẫn: đặt
dx.xcosdv
xcosu 1n , tìm được In= n
1n In2.
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): In= 2.n...4.2
)1n....(3.1
n=2k+1 ( n lẻ): In= n...5.3
)1n....(4.2
136) Cho In =
2
0
n dx.xsin (n N )
a) Chứng minh rằng In+2 = 2n
1n
In.
b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng.
c) Tính In.
Hướng dẫn:
a) Đặt
dx.xsindv
xsinu 1n
b) Chứng minh f(n+1)=f(n) f(n)=…=f(0)=
2
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): I2k= 2.k2...4.2
)1k2....(3.1
n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1= )1k2...(5.3
k2...4.2
137)a) Tính I0 =
1
0
2xx dx.e).1x2( , Kết quả: a= 0
b) Chứng minh rằng In =
1
0
2xx1n2 dx.e.)1x2( =0 Hd: b) Truy
hồi.
138) Tìm liên hệ giữa In =
2
0
n dx.xcos.x và Jn =
2
0
n dx.xsin.x và tính I3.
Kết quả: 63)
2
( 3
139) Giải phương trình:
x
0
t dt.e = 0. Kq: 0
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x2+3x2, d1:y =
x1 và d2:y=x+2 Kq: 12
1
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x33x và đường
thẳng y=2.
Kq:
4
27
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1x
2
5xy:)P( 21
1x
2
3-xy:)P( vaø 22 Kq: 3
8
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3x)2, Ox và x=2;
x= 4. Kq: 2
144) Cho hai đường cong :
2
:)2:)(
2
1
xyxyP 2(Pvaø .
a) (P1) và (P2) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) và (P2). Kq: 3
4
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2-2y+x = 0 và (d) :
x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y2+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao
điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y2-3y = 0 y=0 V y=3.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm
là:
2
9........dy)y3y(dy)xx(S
3
0
2
3
0
dP
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; x;
2
x . Kq: 1
b) (C): y = x2 – 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . Kq:
2
9
c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq:
96
2401
d) (P): y = - x2 + 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung.
Kq: 9
e) (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =
2
1
Kq:
64
27
f) (C): y=
2
1 x2-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ
1;
2
5 M . Kq:
8
9
g) 1x;xey;2xe
1y
. Kq:
2
3
e
1e
2
1 2
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. Kq: 4
i) y2 = 2x + 1; y = x – 1 . Kq:
3
16
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. Kq: 2ln2-1
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau đây quay quanh trục Ox:
22
x
2
1
22
2
2
3
e :Kq 0y,2x,1x,.exyf)
61 :Kq 1
4
y
9
x:(E)e)
3
32: Kq xy,4xyd)
6
625 :Kq 0y,x5xyc)
14
23 :Kq 1x,0x,0y,1xyb)
12 :Kq 4x,1x,0y,
x
4ya)
:Kq 0y,1x,x.eyg) x
148) Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 ;(d):y =
2
3 . Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi (d) và phần trên d của (E). Kq:
5-
4
315
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2x2 , (C): y= 2x1
và Ox.
Kq:
23
28
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y2 = x3(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox. Kq:
4
b) Quay quanh trục Oy. Kq:
7
4
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=
1x
1x
., tiệm cận
ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.
Kq: 2ln2
Các file đính kèm theo tài liệu này:
viii.pdf
