Chương 7: Chuyển động tổng hợp của điểm

-85- Ch−¬ng 7 ChuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm 7.1. ChuyÓn ®éng tuyÖt ®èi, chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ chuyÓn ®éng kÐo theo. ChuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm lµ chuyÓn ®éng ®−îc t¹o thµnh khi ®iÓm tham gia hai hay nhiÒu chuyÓn ®éng ®ång thêi. Ta xÐt bµi to¸n trong m« h×nh sau ®©y : Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn hÖ to¹ ®é ®éng o1x1y1z1 g¾n trªn vËt A. VËt A l¹i chuyÓn ®éng trong hÖ to¹ ®é cè ®Þnh oxyz (xem h×nh 7.1). x y z O x1 y1 z1 M A r ro z1 o1 y1 x1 k1 j1 i1 ChuyÓn ®éng cña ®iÓm M so víi hÖ cè ®Þnh oxyz gäi lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi. VËn tèc vµ gia tèc cña chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi ký hiÖu lµ : av r vµ aw r . H×nh 7.1 ChuyÓn ®éng cña ®iÓm M so víi hÖ ®éng o1x1y1z1 gäi lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ký hiÖu lµ vµ . rv r rw r ChuyÓn ®éng cña hÖ ®éng (vËt A) so víi hÖ cè ®Þnh oxyz gäi lµ chuyÓn ®éng kÐo theo. VËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm thuéc vËt A ( hÖ ®éng ) bÞ ®iÓm M chiÕm chç ( trïng ®iÓm ) trong chuyÓn ®éng kÐo theo lµ vËn tèc vµ gia tèc kÐo theo cña ®iÓm M vµ ký hiÖu lµ : ev r vµ ew r . Nh− vËy chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña ®iÓm M lµ chuyÓn ®éng tæng hîp cña hai chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ kÐo theo cña nã. ThÝ dô : Con thuyÒn chuyÓn ®éng víi vËn tèc ur so víi n−íc. Dßng n−íc ch¶y víi vËn tèc vr so víi bê s«ng. ë ®©y chuyÓn ®éng cña con thuyÒn so víi bê s«ng lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi . ChuyÓn ®éng cña con thuyÒn so víi mÆt n−íc lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi víi vËn tèc .uvr rr = ChuyÓn ®éng cña dßng n−íc so víi -86- bê lµ chuyÓn ®éng kÐo theo, vËn tèc cña chuyÓn ®éng kÐo theo . vve rr = Theo ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy, ®Ó xÐt chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ta xem hÖ ®éng nh− cè ®Þnh. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ nh− sau : 11111111 kzjyixMOr rrrrr ++== . (7-1) ë ®©y 1i r , 1j r , 1k r lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ trªn c¸c hÖ ®éng. Khi xÐt chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi nh− ë trªn ®· nãi c¸c vÐc t¬ 1i r , 1j r , 1k r ®−îc xem nh− kh«ng ®æi. Cßn c¸c to¹ ®é x1 , y1 , z1 lµ c¸c hµm cña thêi gian. x1 = x1(t) ; y1 = y1(t) ; z1 = z1(t). Muèn xÐt chuyÓn ®éng kÐo theo cña ®iÓm ta chØ cÇn cè ®Þnh nã trong hÖ ®éng khi ®ã ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña M so víi hÖ cè ®Þnh oxyz lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng kÐo theo. Ta cã : 111111010 kzjyixrrrOMr rrrrrrr +++=+== (7-2). Trong ph−¬ng tr×nh (7.2) v× ta cè ®Þnh ®iÓm trong hÖ ®éng nªn c¸c to¹ ®é x1 , y1 , z1 lµ kh«ng ®æi, cßn 1i r , 1j r , 1k r lµ c¸c vÐc t¬ biÕn ®æi theo thêi gian. )t(rr 00 rr = ; )t(ii rr = ; )t(jj rr = ; )t(kk rr = . 7.2. §Þnh lý hîp vËn tèc. XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi trong hÖ ®éng o1x1y1z1 víi vËn tèc ; HÖ ®éng chuyÓn ®éng trong hÖ cè ®Þnh oxyz kÐo theo ®iÓm M chuyÓn ®éng víi vËn tèc kÐo theo (xem h×nh 7-2). §Ó x¸c ®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi ta thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña ®iÓm M. Ta cã : rv r ev r r o r a x y z O x1 y1 z1 M c1 c2 ve v r v 1 r o1 H×nh 7.2 111111010 kzjyixr)t(rrr rrrrrrr +++=+= (7-3) -87- Ph−¬ng tr×nh nµy gièng ph−¬ng tr×nh (7-2) nh−ng cÇn l−u ý lµ mäi tham sè cña ph−¬ng tr×nh ®Òu lµ c¸c hµm cña thêi gian. §¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian ph−¬ng tr×nh (7-3) ta ®−îc : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++== 1111111110a kdt dzj dt dyi dt dx dt kdz dt jdy dt idx dt rd dt rdv rrrrrrrrr Trong kÕt qu¶ t×m ®−îc, nhãm sè h¹ng thø nhÊt ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++ dt kdz dt jdy dt idx dt rd 111 0 rrrr chÝnh lµ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7-2) (ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng kÐo theo ) lµ vËn tèc kÐo theo ev r . Nhãm c¸c sè h¹ng cßn l¹i : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 111111 kdt dzj dt dyi dt dx rrr lµ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.1) (ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ) do ®ã ®−îc thay thÕ b»ng vËn tèc t−¬ng ®èi rv r . Thay c¸c kÕt qu¶ võa t×m ®−îc vµo vËn tèc tuyÖt ®èi ta ®ù¬c : rea vvv rrr += . §Þnh lý 7.1 : Trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm vËn tèc tuyÖt ®èi b»ng tæng h×nh häc vËn tèc kÐo theo vµ vËn tèc t−¬ng ®èi : rea vvv rrr += . (7-4) 7.3. §Þnh lý hîp gia tèc §Ó thiÕt lËp biÓu thøc cña gia tèc tuyÖt ®èi ta ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña ®iÓm (ph−¬ng tr×nh 7.3). Ta cã : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++=== 121 2 12 1 2 12 1 2 2 2 12 2 12 2 12 0 2 a 2 a kdt zdj dt ydi dt xd dt kdz dt jdy dt idx dt rd dt vd dt rdw rrrrrrrrrr -88- ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx2 111111 rrr Trong kÕt qu¶ t×m ®−îc nhãm c¸c sè h¹ng thø nhÊt : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++ 2 2 12 2 12 2 12 0 2 dt kdz dt jdy dt idx dt rd rrrr lµ ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.2) ( ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng kÐo theo ) cã thÓ thay b»ng gia tèc kÐo theo ew r . Nhãm c¸c sè h¹ng thø hai : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 121 2 12 1 2 12 1 2 k dt zdj dt ydi dt xd rrr lµ ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.1) ( ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ) cã thÓ thay b»ng gia tèc t−¬ng ®èi rw r . Nhãm c¸c sè h¹ng cßn l¹i : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx2 111111 rrr ®−îc gäi lµ gia tèc quay hay gia tèc Koriolit ký hiÖu lµ . kw r Thay c¸c kÕt qu¶ t×m ®−îc vµo biÓu thøc cña gia tèc tuyÖt ®èi ta ®−îc : krea wwww rrrr ++= . Ta ®i ®Õn ®Þnh lý sau ®©y gäi lµ ®Þnh lý hîp gia tèc. §inh lý 7.2 : Trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm gia tèc tuyÖt ®èi b»ng tæng h×nh häc cña gia tèc kÐo theo, gia tèc t−¬ng ®èi vµ gia tèc Koriolit. krea wwww rrrr ++= . (7.5) 7.4. Gia tèc Koriolit. Gia tèc Koriolit kw r ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx2w 111111k rrr r -89- Khi hÖ ®éng cã chuyÓn ®éng quay th× c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ 1i r , 1j r , 1k r sÏ quay theo khi ®ã ®¹o hµm cña nã theo thêi gian kh¸c kh«ng. Trong tr−êng hîp hÖ ®éng kh«ng tham gia chuyÓn ®éng quay th× c¸c ®¹o hµm cña nã sÏ b»ng kh«ng vµ do ®ã gia tèc Koriolit sÏ kh«ng cã v× vËy gia tèc nµy cßn ®−îc gäi lµ gia tèc quay. Gia tèc Koriolit biÓu diÔn ¶nh h−ëng chuyÓn ®éng quay cña hÖ ®éng ®Õn gia tèc cña ®iÓm. NÕu vËn tèc gãc cña hÖ ®éng (vËn tèc gãc kÐo theo ) lµ th× khi hÖ ®éng quay quanh trôc o eϖ 1ε víi vËn tèc gãc ωe th× ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ 1i r , 1j r , 1k r chÝnh lµ vËn tèc ®Çu mót cña chóng trong chuyÓn ®éng quay quanh trôc o1ε. (xem h×nh 7.3). z x yA O k1 j1 i1 vA ωe ε Ta cã : 1e 1 i dt id rr r ×ω= 1e1 jdt jd rr r ×ω= 1e 1 k dt kd rr r ×ω= Thay c¸c kÕt qu¶ biÓu thøc trªn vµo biÓu thøc cña ta ®−îc : kw r H×nh 7.3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx 2w 111111k rrr r ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ω+ω+ω= kx dt dz jx dt dy ix dt dx 2 C 1 C 1 C 1 rrrrrr re1 1 1 1 1 1 e v2kdt dz j dt dy i dt dx x2 rr rrrr ×ω=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ω= Nh− vËy gia tèc Koriolit b»ng hai lÇn tÝch h÷u h−íng gi÷a vËn tèc gãc kÐo theo vµ vÐc t¬ vËn tèc t−¬ng ®èi. -90- rek v2w rrr ×ω= . ( 7.6) Tõ (7.6) ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®é lín cña gia tèc Koriolit theo biÓu thøc : ( )rerek v.sinv.2w ωω= . Ta thÊy ngay gia tèc Koriolit b»ng kh«ng trong tr−êng hîp sau : - Khi hÖ ®éng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn nghÜa lµ khi ωe = 0 ; - Khi ®éng ®iÓm ®øng yªn trong hÖ ®éng, nghÜa lµ khi 0vr =r ; - Khi chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi theo ph−¬ng däc theo trôc quay cña chuyÓn ®éng kÐo theo nghÜa lµ khi gãc hîp gi÷a eωr vµ rvr b»ng kh«ng hoÆc b»ng 1800 . ω e vr r w k H×nh 7.4 H×nh 7.4 ω e wK M v'r vr e ωTheo (7.6) gia tèc Koriolit cã ph−¬ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa hai vÐc t¬ eωr vµ cã chiÒu sao cho khi nh×n tõ mót cña nã xuèng mÆt ph¼ng ®ã sÏ thÊy rv r eωr quay ng−îc chiÒu kim ®ång hå ®i mét gãc nhá h¬n 1800 sÏ ®Õn trïng víi (xem h×nh 7.4). rv r H×nh 7.5 Trong thùc hµnh ta cã thÓ x¸c ®Þnh ph−¬ng chiÒu cña nh− sau : kw r ChiÕu vÐc t¬ vËn tèc t−¬ng ®èi rv r lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc quay cña chuyÓn ®éng kÐo theo. Sau ®ã quay h×nh chiÕu rv r ®ã ®i mét gãc 900 theo chiÒu quay cña eω trong mÆt ph¼ng trªn (xem h×nh 7.5) ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc ph−¬ng chiÒu cña gia tèc Koriolit. Sau ®©y sÏ giíi thiÖu mét sè vÝ dô vËn dông c¸c ®Þnh lý hîp vËn tèc vµ hîp gia tèc trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm. -91- ThÝ dô 7.1: Tay quay OA cña c¬ cÊu tay quay cu lit quay quanh trôc O vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña c¬ cÊu. §Çu A cña tay quay nèi b»ng khíp b¶n lÒ víi con tr−ît B. Con tr−ît B cã thÓ tr−ît trong m¸ng BC cña cu lit. M¸ng BC cã thÓ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lªn xuèng nhê r·nh h−íng dÉn E. X¸c ®Þnh vËn tèc, gia tèc cña m¸ng BC còng nh− vËn tèc gia tèc cña con tr−ît so víi cu lit BC. A E D CB O Cho biÕt tay quay cã chuyÓn ®éng quay ®Òu víi vËn tèc gãc n = 120 vßng/phót. §é dµi OA = 1 = 30cm (xem h×nh 7.6). H×nh 7.6 Bµi gi¶i: NÕu chän hÖ ®éng g¾n víi cu lit (m¸ng BC) vµ hÖ cè ®Þnh g¾n víi trôc quay O th× chuyÓn ®éng cña con tr−ît A trong m¸ng lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. ChuyÓn ®éng cña m¸ng tÞnh tiÕn lªn xuèng lµ chuyÓn ®éng kÐo theo cßn chuyÓn ®éng cña A quay quanh O lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi. Tr−íc hÕt ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm A. VËn tèc cña tay quay OA. )s/rad(4 30 120. 30 n. π=π=π=ω . r B3 C3 B1 C1 A1 xr E D B A3 O A wr ϕ w r v r v rvr e w r e a VÞ trÝ cña c¬ cÊu ®−îc x¸c ®Þnh b»ng gãc quay cña tay quay OA : ϕ = ωt = 4πt (rad). §Çu A cña tay quay thùc hiÖn chuyÓn ®éng trßn t©m O b¸n kÝnh OA = 1. VËn tèc cña ®iÓm A : Va = ω.1 = 4π.30 = 120π ≈ 3,77 m/s. H×nh 7.7 -92- av r cã ph−¬ng vu«ng gãc víi OA h−íng theo chiÒu quay ω (xem h×nh 7.7). av r chÝnh lµ vËn tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm A : va = vA. V× tay quay quay ®Òu nªn gia tèc ®iÓm A chØ cã mét thµnh phÇn ph¸p tuyÕn. n AA ww rr = vÒ ®é lín wA = ω2.1 = 16π2.1 = 16π2.30 ≈ 4733 cm/s2 ; = 47,33 m/s2 Gia tèc cã chiÒu h−íng tõ A vµo O. Gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm A lµ Aw r Aw r . §Ó t×m vËn tèc cña m¸ng (vËn tèc kÐo theo) vµ vËn tèc cña con tr−ît A trong m¸ng (vËn tèc t−¬ng ®èi) ta ¸p dông ®Þnh lý hîp vËn tèc. Ta cã : rea vvv rrr += ë ®©y Aa vv rr = ®· biÕt c¶ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu. evr lµ vËn tèc cña m¸ng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lªn xuèng do ®ã cã ph−¬ng th¼ng ®øng. Cßn lµ vËn tèc cña con tr−ît däc theo m¸ng BC nªn cã ph−¬ng n»m ngang. Tõ ®Þnh lý hîp vËn tèc ta cã thÓ nhËn ®−îc mét h×nh b×nh hµnh mµ ®−êng chÐo lµ cßn hai c¹nh lµ vµ . DÔ dµng t×m ®−îc c¸c vÐc t¬ vËn tèc kÐo theo rv r av r ev r rv r ev r vµ nh− trªn h×nh (7.7). Ta cã : rv r )s/m(t.4sin.77,3sin.vv Ae π=ϕ= )s/m(t.4cos.77,3cos.vv Ar π=ϕ= Ph−¬ng chiÒu cña c¸c vËn tèc ev r vµ rv r nh− h×nh vÏ. §Ó x¸c ®Þnh gia tèc kÐo theo vµ t−¬ng ®èi (gia tèc cña m¸ng vµ gia tèc cña con tr−ît trong m¸ng) ta ¸p dông dÞnh lý hîp gia tèc. -93- krea wwww rrrr ++= . Trong bµi to¸n nµy hÖ ®éng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn nªn ta chØ cßn biÓu thøc : 0wk =r rea www rrr += . ë ®©y gia tèc tuyÖt ®èi ®· ®−îc x¸c ®Þnh. Gia tèc kÐo theo ew r cã ph−¬ng th¼ng ®øng cßn gia tèc t−¬ng ®èi rw r cã ph−¬ng n¨m ngang. Còng dÔ dµng nhËn thÊy c¸c vÐc t¬ gia tèc kÐo theo ew r vµ gia tèc t−¬ng ®èi rw r lµ hai c¹nh cña h×nh b×nh hµnh nhËn gia tèc lµm ®−êng chÐo (xem h×nh 7.7). Ta cã : aw r t.4cos.33,47cos.ww Ae π=ϕ= t.4sin.33,47sin.ww Ar π=ϕ= Ph−¬ng chiÒu cña gia tèc ew r vµ rw r nh− trªn h×nh vÏ 7.7 . KÕt qu¶ trªn cho thÊy vËn tèc, gia tèc cña m¸ng BC ( ve, wed ) vµ vËn tèc, gia tèc con tr−ît trong m¸ng ( vr , wr ) lµ hµm cña thêi gian. Ta cã thÓ x¸c ®Þnh chóng t¹i c¸c vÞ trÝ ®Æc biÖt sau : Khi ϕ1 = 4πt = 0 ta cã ve = 0 ; vr = 3,77 m/s We = 47,33 m/s ; wr = 0 Khi ϕ2 = 4πt = π / 2 ta cã ve = 3,7 m / s ; vr = 0 we= 0 m / s ; wr = 3,77 m / s ThÝ dô 7.2 : §éng ®iÓm M chuyÓn ®éng b¾t ®Çu tõ ®Ønh O cña nãn däc theo ®−êng sinh OC víi vËn tèc kh«ng ®æi vr = 24 cm / s . Nãn còng ®ång thêi quay b¾t ®Çu cïng thêi ®iÓm xuÊt ph¸t cña ®iÓm M theo quy luËt ϕ = 0,125t2. X¸c ®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña ®éng ®iÓm M t¹i thêi ®iÓm t = 4 gi©y. (xem h×nh 7.8). Cho biÕt gãc ®Ønh nãn lµ 600. -94- Bµi gi¶i Trong bµi to¸n nµy chuyÓn ®éng cña ®iÓm M däc theo ®−êng sinh OC lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. Nh− vËy vËn tèc t−¬ng ®èi cña ®iÓm ®· biÕt. z B A α O ωe εe k C r vr ev r M vr Vr = 24 cm / s = 0,24 m / s cã ph−¬ng chiÒu tõ O ®Õn C. a ChuyÓn ®éng quay cña nãn quanh trôc AB víi quy luËt ϕ = 0,125t2 lµ chuyÓn ®éng kÐo theo. §Ó x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc kÐo theo cña ®iÓm ta ph¶i x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña nã t¹i thêi ®iÓm t1 trªn nãn. H×nh 7.8 Ta cã OM = vr.t = 24.4 = 96 cm Kho¶ng c¸ch tõ ®éng ®iÓm t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt tíi trôc quay AB lµ : MK = OM.sin300 = 96.0,5 = 48 cm. z B A C M vr wτek εr e ωr e O α wk wne y x VËn tèc kÐo theo t¹i thêi ®iÓm t1 lµ : t25,0 dt d e =ϕ=ω víi t = t1 = 4 gi©y ωet1 = 0,25.4 = 1 rad / s ; Gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng kÐo theo lµ : )s/rad(25,0 dt d 2 2 2 e =ϕ=ε H×nh 7.9 C¸c vÐc t¬ ωe vµ εe biÓu diÔn trªn h×nh vÏ (7.9). C¸c vÐc t¬ vËn tèc kÐo theo ev r vµ vËn tèc t−¬ng ®èi lµ t¹i thêi ®iÓm trv r 1 = 4s ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh 7.8. VÒ ®é lín vËn tèc kÐo theo x¸c ®Þnh ®−îc : ve = MK . ωe = 48,1 cm / s ≈ 0,48 m / s . -95- ¸p dông ®Þnh lý hîp vËn tèc ta cã : rea vvv rrr += VÒ ®é lín vËn tèc tuyÖt ®èi cña M t¹i thêi ®iÓm t1 lµ : )s/m(5364,0)s/cm(64,532448vvVV 222r 2 eMa ==+=+== . §Ó x¸c ®Þnh gia tèc tuyÖt ®èi cña M, tõ ®Þnh lý hîp gia tèc ta cã : kreMa wwwww rrrrr ++== ChuyÓn ®éng kÐo theo lµ chuyÓn ®éng trßn nªn re n ee www rrr += . Trong ®ã : cã ph−¬ng chiÒu h−íng tõ M vÒ K (xem h×nh 7.9), cã ®é lín : . n ew r )s/cm(481.48.MKw 22e n e ==ω= r ew r cã ph−¬ng chiÒu trïng víi ph−¬ng chiÒu ev r cã ®é lín : )s/cm(1225,0.48.MKw 22e r e ==ε= . Gia tèc t−¬ng ®èi trong tr−êng hîp nµy b»ng kh«ng cßn gia tèc Koriolit cã ph−¬ng chiÒu nh− trªn h×nh vÏ. Cã ®é lín : rw r kw r wk = 2ωe . vr .sin300 = 2.1.24.0,5 = 24 (cm / s2) . ChiÕu biÓu thøc trªn lªn hai trôc Mxy nh− trªn h×nh ta cã : wx = we r + wk = 12 + 24 = 36 cm / s 2 = 0,36 m/ s2. wy = we n = 48 cm / s2 = 0,48 m / s2. Gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm )s/cm(c604836www 2222y 2 xM =+=+= . Ph−¬ng vµ chiÒu cña wM cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng c¸c gãc chØ ph−¬ng x¸c ®Þnh nh− sau : ( ) 6,0 w w xwcos M x M == ; ( ) 8,0w w ywcos M y M == ThÝ dô 7.3. : C¬ cÊu ®iÒu chØnh ly t©m biÓu diÔn nh− h×nh vÏ 7.10. T¹i -96- thêi ®iÓm ®ang xÐt qu¶ cÇu quay quanh ®iÓm treo O cïng víi thanh OM víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc ω1 = 2 rad / s vµ ε1 = 0,2 rad / s2. C¬ cÊu quay quanh trôc th¼ng ®øng víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc ω2 =4 rad / s vµ ε2 = o,8 rad / s2. X¸c ®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña qu¶ cÇu M t¹i thêi ®iÓm ®ã. Cho biÕt kÝch th−íc cña c¬ cÊu t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt lµ : l = 40 cm ; e = 5 cm ; α = 300. Bµi gi¶i ze C ve M vr R ε2 α ll ε ω1 e o ω2 1 vM = vA Trong bµi to¸n nµy, chuyÓn ®éng cña c¬ cÊu quay quanh trôc th¼ng ®øng lµ chuyÓn ®éng kÐo theo. VËn tèc gãc kÐo theo ωe = ω2 = 4 rad / s vµ gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng kÐo theo lµ εe = ε2 = 0,8 rad / s2. ChuyÓn ®éng cña qu¶ cÇu M quay quanh O lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi.VËn tèc gãc trong chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ ωr = ω1 = 2 rad / s vµ gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ εr = ε1 = 0,2 rad / s2. H×nh 7.10 Quü ®¹o chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña M lµ ®−êng trßn b¸n kÝnh Quü ®¹o chuyÓn ®éng kÐo theo cña M lµ ®−êng trßn n»m tr vu«ng gãc víi trôc quay AB vµ cã b¸n kÝnh : CM = R = e+1sin300 = 5+40.0,5 = 25 cm. VËn tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau : reMa vvvv rrrr +== ; ve = R.ωe = 25.4 = 100 cm / s ve cã ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cña chuyÓn ®éng kÐo t chiÒu quay cña c¬ cÊu ; Vr tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cña chuyÓn ®én nghÜa lµ vu«ng 1 vµ t©m 0 ong mÆt ph¼ng heo , h−í theo g t−¬ng ®èi cã -97- gãc víi thanh OM h−íng theo chiÒu quay cña ωr , cã trÞ sè Vr = l.ωr = 40.2 = 80 cm/s Nh− vËy hai vÐc t¬ vµ ev r rv r vu«ng gãc víi nhau v× vËy ®é lín vËn tèc tuyÖt ®èi x¸c ®Þnh ®−îc : )s/cm(12880100vvv 222r 2 eM =+=+= . Ph−¬ng chiÒu cña VM x¸c ®Þnh nh− trªn h×nh vÏ 7.10. V× chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ chuyÓn ®éng kÐo theo ®Òu lµ chuyÓn ®éng trßn nªn biÓu thøc gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm M ta cã thÓ viÕt : n r r rke n e r M wwwwww rrrrrr ++++= . (a) Sau ®©y x¸c ®Þnh ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu cña c¸c thµnh phÇn gia tèc ë vÕ ph¶i . We t = R . εe = 25 . 0,8 = 20 cm / s2 . Wet cïng ph−¬ng chiÒu víi vËn tèc kÐo theo . n ew r = R. ω22 = 25.16 = 400cm/s2. H−íng tõ M vµo C wrr = 1 . εr = 40 . 0,2 = 8 cm / s2. rrwr h−íng theo chiÒu cña vr . wr n = 1 . ω2r = 40 . 4 = 160 cm / s2. nrwr h−íng tõ M vµo O wk = 2ωe . vr sin(ωetvr) = 2 . 4. 80 .0,866 = 554 cm / s2 ë ®©y gãc < ( ) 0re 60v, =ω rr C R M wK wτr εr εe ωe ωr wne wnr wtc Z x α O nªn sin(ωe,vr) = 0,866. Ph−¬ng chiÒu cña x¸c ®Þnh theo ph−¬ng ph¸p thùc O hµnh sÏ t×m thÊy nh− ë h×nh vÏ (7.11) . kw r y §Ó x¸c ®Þnh gia tèc tuyÖt ®èi Mw r ta chiÕu ph−¬ng tr×nh (a) lªn 3 trôc xyz chän nh− h×nh vÏ. Víi c¸ch chän hÖ trôc trªn ta thÊy gia tèc kw r vµ rew r n»m trªn trôc x c¸c gia tèc new r , rrw r , nrw r n¨m trong mÆt ph¼ng yMz. H×nh 7.11 KÕt qu¶ chiÕu lªn c¸c trôc thu ®−îc :wx = - wk - wen = - -98- 554 - 20 = -574 cm / s2. wy = we r . cos300 - wr n . sin300 - we n ; = 8 . 0,866 - 160 . 0,5 - 400 = -473 cm / s2 ; Cuèi cïng ta cã : ( ) ( ) ( ) =+−+−=++= 2222z2y2xM 142473574wwww = 869 cm / s2 = 8,69 m / s2 §Ó x¸c ®Þnh ph−¬ng chiÒu cña M ta ph¶i x¸c ®Þnh c¸c gãc chØ ph−¬ng cña chóng ®èi víi c¸c trôc : ( ) 869 574 w w xwcos M x M −== ; ( ) 869 473 w w ywcos M y M −== ( ) 869 142 w w zwcos M z M == .