Chuỗi fourier và biến đổi fourier

Click to edit Master title style Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level 1/4/2013 ‹#› Chương 3 CHUỖI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER Nội dung Một số dạng tín hiệu quan trọng Khái niệm hàm tuần hoàn Chuỗi Fourier Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier Phân tích phổ tín hiệu Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu xung vuơng gĩc (t) Hàm dốc (Ramp function) Hàm bước nhảy đơn vị u(t) Hàm xung lực đơn vị Tín hiệu Sgn(t) Tín hiệu xung tam giác Hàm mũ suy giảm Hàm mũ tăng dần Xung hàm mũ Tín hiệu xung cosin Cặp phân bố (t) chẵn lẻ Phân bố lược Dãy xung vuơng lưỡng cực Dãy xung vuơng đơn cực Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ Tín hiệu Sinc Tín hiệu Sinc2 Tín hiệu Gausse Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu xung vuơng gĩc (t) Hàm dốc r(t) Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ số K cho hàm K.r(t-a), dạng sĩng là đường thẳng cĩ độ dốc K và gặp trục t ở a 0 r(t) 0 a r(t-a) K 1 Một số dạng tín hiệu quan trọng Hàm bước nhảy đơn vị u(t) 1 1/2 X Một số dạng tín hiệu quan trọng Tính chất hàm xung lực x(t). (t) = x(0).(t) x(t).(t – t0) = x(t0). (t – t0) (-t) = (t) x(t)*(t - t0) = x(t-t0) Hàm xung lực đơn vị 1 (t) 0 t 1 (t – t0) 0 t t0 Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu Sgn(t) Tín hiệu xung tam giác ) t Sgn( ) t ( x = t t X 0 t x(t) 0 X Hàm mũ suy giảm Hàm mũ tăng dần Một số dạng tín hiệu quan trọng T 0 t Xung hàm mũ Tín hiệu xung cosin Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ Tín hiệu Gausse | | -1 1 1 X -X -t Một số dạng tín hiệu quan trọng Cặp phân bố (t) chẵn lẻ | | ||(t) 0 t 0 t ) t ( Một số dạng tín hiệu quan trọng Tính chất phân bố lược 0 t . . . . . . . . 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 Phân bố lược Một số dạng tín hiệu quan trọng Dãy xung vuơng lưỡng cực Dãy xung vuơng đơn cực 0 t . . . . . . . . 0 t . . . . . . . . T X 2T -T -T  Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu Sinc Tín hiệu Sinc2 Sinc(t) 1 Sinc2(t) 1 Ví dụ Khái niệm hàm tuần hoàn Khái niệm Lưu ý Khơng phải tất cả các hàm tuần hồn đều cĩ chu kỳ cơ bản Nếu  = n2/2p thì 2/ = 2p/n là chu kỳ cơ bản của cos(nt/p) và sin(nt/p). Và lúc đĩ n.(2p/n) = 2p cũng là chu kỳ của hàm cos(nt/p) và sin(nt/p) Hàm tuần hồn thì khơng cần xác định trên tất cả các giá trị của biến độc lập f(t) 0 p 2p 4p 6p t f(t+2p) = f(t) Với 2p: chu kỳ của f(t) f (t + 2p) = f (t + 2p + 2p) = f (t + 4p) . . . = f(t+2np) Số 2p là chu kỳ cơ bản Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác: Chuỗi lượng giác mở rộng: Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác cĩ tổng f(x) hay hội tụ về f(x) trong một miền nào đĩ thì f(x) phải là hàm tuần hồn chu kỳ là 2. Tương tự nếu chuỗi trên hội tụ đến hàm f(x) thì hàm f(x) cũng tuần hồn với chu kỳ T = 2p. Cơng thức Euler mở rộng Định lý Dirichlet Nếu f(t) là hàm tuần hồn, bị chặn và cĩ một số điểm xác định khơng liên tục trong một chu kỳ của nĩ thì khi đĩ chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những điểm mà f(t) liên tục. Cịn tại những điểm mà f(t) khơng liên tục, chuỗi Fourier của nĩ sẽ hội tụ đến giá trị trung bình của giới hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại điểm t=t0 hàm số bị gián đoạn thì: Chuỗi Fourier (khai triển Fourier) Cho hàm số f(t) tuần hồn với chu kỳ T = 2p thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đĩ hàm f(t) cĩ thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Fouier theo cơng thức sau: Lưu ý Tại điểm hàm f(t) khơng liên tục thì chuỗi đĩ bằng trung bình của giới hạn trái và phải Thành phần a0 chính là trị trung bình của hàm f(t) trong một chu kỳ. Vì thế nĩ chính là thành phần DC của tín hiệu điện. Người ta hay chọn đoạn lấy tích phân trong khoảng (-p, p) hoặc từ (0, T). Ví dụ Tìm khai triển Fourier của hàm f(x) bên dưới. Biết f(x)=f(x+2) Nhận xét: hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ T=2p=2 và thỏa định lý Dirichlet, nên cĩ thể khai triển Fourier. Áp dụng cơng thức, ta tìm các hệ số Fourier: Vậy khai triển Fourier của hàm f(x) cĩ dạng: Ví dụ Định lý 1 Nếu f(t) là hàm tuần hồn chẵn theo t thì bn=0 Khi đĩ: Định lý 2 Nếu f(t) là hàm tuần hồn lẽ theo t thì an=0 Khi đĩ: Ví dụ Dạng chuyển đổi của khai triển Fourier chuỗi cosine điều hịa chuỗi sine điều hịa Dạng chuyển đổi của khai triển Fourier Chuỗi Fourier dạng mũ phức Cơng thức liên hệ qua lại Ví dụ Ứng dụng phân tích phổ tín hiệu tuần hồn Phương pháp phân tích phổ Tìm Cn Tính F() = 2Cn Khi đĩ: Đồ thị biểu diễn biên độ của F() theo tần số gọi là phổ biên độ của tín hiệu f(t). Biểu diễn gĩc pha của F() theo các tần số của chúng gọi là phổ pha của tín hiệu f(t) Ví dụ Cho hàm số f(t) tuần hồn với chu kỳ T như hình bên dưới. Vẽ phổ của f(t) 0 1 Tìm Cn : Tính F(): Phổ biên độ Phổ pha     -  2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 4 4/3 3/4  …….. …….. |F()|     -  2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 /2  …….. …….. argF() -/2 Biến đổi Fourier Cặp biến đổi Fourier dạng phức: Ví dụ Biến đổi Fourier các hàm cơ bản Tính chất của biến đổi Fourier Tính tuyến tính Tính chất đối xứng Thay đổi tỉ lệ thời gian Phép dịch thời gian Phép dịch tần số Vi phân thời gian Tích phân thời gian Vi phân trong miền tần số Định lý nhân chập tần số Định lý mođun Parseval Định lý nhân chập trong miền thời gian Định lý điều chế Tính tuyến tính F() = F(a1f1 + a2f2) = a1 F (f1) + a2 F (f2) = a1F1() + a2F2() Tính chất đối xứng Thay đổi tỷ lệ thời gian Phép dịch thời gian Phép dịch tần số Vi phân thời gian Tích phân thời gian Vi phân trong miền tần số Định nghĩa tích chập Định lý nhân chập tần số Định lý mođun Parseval Định lý nhân chập tần số Định lý điều chế Ví dụ Phân tích phổ tín hiệu Ứng dụng phân tích phổ tín hiệu bất kỳ Phương pháp phân tích phổ Tính F(): Khi đĩ: Đồ thị biểu diễn biên độ của F() theo tần số gọi là phổ biên độ của tín hiệu f(t). Biểu diễn gĩc pha của F() theo các tần số của chúng gọi là phổ pha của tín hiệu f(t) Ví dụ Tìm phổ của tín hiệu f(t) = e-t. 1(t);  > 0 Giải Tính F(): Phổ biên độ: Phổ pha: e-t.1(t) 1 t  /2 -/2 1/ |F()| () Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Hết chương 3