Cấu trúc đềthi tốt nghiệp trung học phổ thông môn toán

: Sxq . r . l trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh. = + =π + π 2 Chú ý: Di ện tích toàn ph ần Stp S xq S day . r . l r 1 Th ể tích kh ối nón V= π r2. h trong đó r là bán kính đáy ; h: là chi ều cao. 3 Ví d ụ. Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy tâm O, bán kính r = a và góc ở đỉ nh c ủa hình nón b ằng 60 0 . Tính di ện tích xung quanh và th ể tích c ủa hình nón. Gi ải S =π = π Ta có Sxq . r . l . a . SA . Trong tam giác ASO vuông t ại O ta có AO r a 60 0 sinS = ⇔ sin 30 0 = SA= ⇔ SA = 2 a . SA SA 1 h 2 B =π = π = 2 π =2 − 2 =( )2 − 2 = Nên Sxq . r . l . a . SA 2 a . Mà SO SA OA2 a a a 3 . O r M 3 12 1 2 a 3 Vậy th ể tích V=π r. h = π r . SO = (đvtt) A 3 3 3 Bài t ập t ươ ng t ự Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn C(O, r). Trên đường tròn (O) l ấy hai điểm A, B sao cho AOB = 60 0 , AB = a, đường sinh SA t ạo v ới đáy m ột góc b ằng 30 0 . Tính di ện tích xung quanh và th ể tích c ủa hình nón đã cho theo a. IV. DIÊN TÍCH XUNG QUANH - TH Ể TÍCH HÌNH TR Ụ = π Di ện tích xung quanh hình tr ụ: Sxq 2 . r . l trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh. = + =π + π 2 Chú ý: Di ện tích toàn ph ần Stp S xq2. S day 2 . r . l 2 r Th ể tích kh ối tr ụ V= π r2. h trong đó r là bán kính đáy ; h: là chi ều cao. Ví d ụ. Cho hình tr ụ có bán kính đáy b ằng a và kho ảng cách gi ữa hai đáy bằng a 3 . Tính di ện tích xung quanh và th ể tích c ủa hình tr ụ đã cho theo a. O’ Gi ải B Gọi hình tr ụ có tâm c ủa hai đáy là O, O’ (nh ư hình bên). Theo gi ả thi ết ta có OO’= a 3 . h =π = π = π Khi đó di ện tích xung quanh: Sxq 2 . r . l 2 . r . AB 2 . r . OO ' . ⇔ =π = π 2 Sxq 2 . a . a 3 2 3 a (đvdt). O r A =π2 = π 2 = π 2 = π 3 Th ể tích kh ối tr ụ : V r. h a . OO ' a . a 3 a 3 (đvtt). M Bài t ập t ươ ng t ự Cho hình l ập ph ươ ng ABCD.A’B’C’D’ c ạnh b ằng a. Tính di ện tích xung quanh và th ể tích c ủa hình tr ụ có hai hình tròn đáy là hai đường tròn ngo ại ti ếp hai đáy ABCD, A’B’C’A’ c ủa hình l ập ph ươ ng trên. MATH.COM.VN - Trang 28 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn V. DIÊN TÍCH XUNG QUANH - TH Ể TÍCH M ẶT C ẦU Di ện tích c ủa m ặt c ầu: S= 4π . R 2 trong đó R là bán kính m ặt c ầu. 4 Th ể tích kh ối c ầu: V= π R 2 3 Đường tròn giao tuy ến của S(O,r) và mp(P) có tâm là hình chi ếu vuông góc c ủa tâm O lên mp(P) và bán kính r'= R2 − d 2 ( O , mp ( P ) ) . Mp(P) ti ếp xúc v ới m ặt c ầu S(O;R) ⇔ d( O, mp ( P ) ) = R . Ví d ụ. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t ại B, SA = 2a, AC = a 2 và SA vuông góc v ới m ặt ph ẳng đáy. 1. Ch ứng minh trung điểm I c ủa SC là tâm c ủa m ặt c ầu (S) đi qua các đỉ nh c ủa hình chóp S.ABC. Tính bán kính c ủa m ặt c ầu (S) và th ể tích c ủa kh ối c ầu. 2. Xác định tâm và tính bán kính c ủa đường tròn giao tuy ến c ủa m ặt c ầu S (S) v ới mp(ABC). I 2a Gi ải a 2 C 1. Ta có các tam giác SAC và SBC l ần l ượt vuông t ại A , B. A ---- 1 ---- nên AI = BI = SC = IS = IC . Do đó I cách đều các đỉ nh S, A, B, C. 2 B Vậy I là tâm c ủa m ặt c ầu ngo ại ti ếp hình chóp S.ABC. Bán kính 1 1a 6 R = SC= SA2 + AC 2 = . 2 2 2 S 2. Đường tròn giao tuy ến là đường tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC . Do ABC là tam giác vuông t ại B nên tâm là trung điểm c ủa AC và bán kính 1a 2 * O r = AC = . A B 2 2 C Bài t ập t ươ ng t ự 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có c ạnh đáy b ằng a, c ạnh bên b ằng 2a. a. Xác định tâm và tính bán kính c ủa m ặt c ầu (S) ngo ại ti ếp hình chóp trên. b. Tính di ện tích và th ể tích kh ối c ầu (S). c. Tính bán kính c ủa đường tròn giao tuy ến c ủa (S) và mp(ABCD). 2. Cho hình l ập ph ươ ng ABCD.A’B’C’D’c ạnh b ằng a và m ặt c ầu (S) đi qua các đỉ nh c ủa hình l ập ph ươ ng. a. Xác định tâm và tính bán kính c ủa m ặt c ầu (S) trên. b. Tính di ện tích và th ể tích kh ối c ầu (S). c. Tính bán kính c ủa đường tròn giao tuy ến c ủa (S) và mp(ABCD). ---------------------------------------- H ết ch ươ ng I + II ---------------------------------------- MATH.COM.VN - Trang 29 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn Ch ươ ng III PH ƯƠ NG PHÁP TO Ạ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1 HỆ TO Ạ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Định ngh ĩa 4. Tích vô h ướng Trong không gian Oxyz, cho a= ( a ; a ; a ) , 1 2 3 = b( b1 ; b 2 ; b 3 ) , A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; y B ; z B ) . Ta có: a . b= a b + a b + a b 1 1 2 2 3 3 a⊥ b ⇔ a b + a b + a b = 0 1 1 2 2 3 3 M( x ; y ; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk . =2 + 2 + 2 |a | a1 a 2 a 3 = ⇔ = + + a( a1 ; a 2 ; a 3 ) a a 1 i a 2 j a 3 k . |AB |= ( x − x )2 + ( y − y ) 2 + ( z − z ) 2 Vect ơ đơ n v ị: i =(1 ; 0 ; 0) trên tr ục Ox. B A B A B A + + j =(0 ; 1 ; 0) trên tr ục Oy. a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 cos(a;b)= 2+ 2 + 2 2 + 2 + 2 k =(0 ; 0 ; 1) trên tr ục Oz . a1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 2. Các phép toán Trong không gian Oxyz, cho a= ( a ; a ; a ) , 5. Ph ươ ng trình m ặt c ầu 1 2 3 b= ( b ; b ; b ) . Ta có: Ph ươ ng trình: 1 2 3 a+ b =( a + b ; a + b ; a + b ) 1 1 2 2 3 3 (x− a )2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 a− b =( a − b ; a − b ; a − b ) 1 1 2 2 3 3 = = ka k( a1 ; a 2 ; a 3 ) ( ka 1 ; ka 2 ; ka 3 ) là Ptrình m ặt c ầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r. 3. Heä quaû Ph ươ ng trình: Trong không gian Oxyz, cho a= ( a ; a ; a ) , 1 2 3 b= ( b ; b ; b ) , A( x ; y ; z ) , B( x ; y ; z ) . Ta có: 2 2 2 1 2 3 A A A B B B x+ y + z +2 Ax + 2 By + 2 Cz + D = 0 a. a= b ⇔ a = b; a = b ; a = b 1 1 2 2 3 3 b. a cuøng phöông b , (b≠ 0) ⇔ ∃ k sao cho: 2 2 2 vôùi A+ B + C − D > 0 laø phöông trình maët caàu a= kb ⇔ a = kb; a = kb ; a = kb 1 1 2 2 2 3 taâm I(A ; B ; C), baùn kính = − − − =2 + 2 + 2 − c. AB( xB x A ; y B y A ; z B z A ) r A B C D . d. Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa AB laø: x+ x y + y z + z  M A B; A B ; A B  2 2 2  e. To ạ độ tr ọng tâm G c ủa tam giác ABC là: x+ x + xy+ y + y z + z + z  G A B C;A B B ; A B C  3 3 3  MATH.COM.VN - Trang 30 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn LẬP PH ƯƠ NG TRÌNH M ẶT CẦU Dạng 1: Ví d ụ: Tìm t ọa độ tâm và bán kính c ủa các m ặt c ầu - Tìm to ạ độ tâm và bán kính c ủa m ặt c ầu (S): sau: 2 2 (x− a )2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 a. (x−1 ) + ( y + 2 ) + z 2 = 4 ; Ph ươ ng pháp: Tâm I(a ; b ; c) và bán kính b ằng R b. x2+ y 2 + z 2 −2 x + 4 y − 6 z − 2 = 0 - Tìm to ạ độ tâm và bán kính c ủa m ặt c ầu (S): Gi ải x2+ y 2 + z 2 −2 ax − 2 by − 2 cz + d = 0 a. Tâm là I(1 ; - 2 ; 0 ), bán kính R = 2. Ph ươ ng pháp: Tâm I(a ; b ; c) và bán kính b. Tâm là I(1 ; - 2 ; 3 ) R= a2 + b 2 + c 2 − d Bán kính R =12 +( − 2 )2 + 3 2 − ( − 2 ) = 4 . Dạng 2: Lập ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) tâm I(a ; b ; Ví d ụ: L ập ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) tâm I(1 ; 2 ; c) và đi qua điểm A( xA; y A ; z A ). 0) và đi qua điểm M(-2 ; 1 ; 3). Ph ươ ng pháp Gi ải - Tâm I(a ; b ; c). Ta có IM =( − 3; − 1;3) - Bán kính R = IA=| IA | ⇒ R=| IM | = ( − 3)2 + ( − 1) 2 + 3 2 = 19 = −2 + − 2 + − 2 (xA a ) ( y A b ) ( z A c ) . Vậy PT m ặt c ầu (S) cần tìm là: (x− 1)2 + ( y − 2) 2 + z 2 = 19 Dạng 3: Lập ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) nh ận Ví d ụ: L ập ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) nh ận A(3 ; -1 A( xA; y A ; z A ), B( xB; y B ; z B ) làm đường kính. ; 4), B(-1 ; 3 ; 2) làm đường kính. Ph ươ ng pháp Gi ải - To ạ độ tâm I là to ạ độ trung điểm c ủa đoạn AB Ta có AB =( − 2;4; − 2) . x+ x y + y z + z  Tâm I (1;1;3 ) là trung điểm c ủa đoạn th ẳng AB. I A B; A B ; A B  2 2 2  |AB |(− 2)2 + 4 2 + ( − 2) 2 24 AB| AB | Bán kính R = = = - Bán kính R = = . 2 2 2 2 2 Vậy PT m ặt c ầu (S) cần tìm là: (x−1 )2 + ( y − 1 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 6 Dạng 4: Lập ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) tâm I(a ; b ; Ví d ụ: L ập ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) tâm I(2;2;-1) c) và ti ếp xúc v ới m ặt ph ẳng (P): và ti ếp xúc v ới m ặt ph ẳng (P): 2x + y – z -1 = 0. Ax + By + Cz + D = 0. Gi ải Ph ươ ng pháp | 2.2+ 2 − ( − 1) − 1| Bán kính R = d[ I;( P ) ] = = 6 - Tâm I(a ; b ; c) . 22+ 1 2 + ( − 1) 2 |A . a+ B . b + C . c + D | - Bán kính R = d[I ; (P)] = . Vậy PT m ặt c ầu (S) cần tìm là: 2+ 2 + 2 2 2 2 A B C (x−2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1 ) = 6 Dạng khác: Ví d ụ: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm - Có tâm và đi qua điểm M tho ả h ệ th ức vect ơ. A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; -4 ;0), C(0 ; 0 ; 6). L ập ph ươ ng - M ặt c ầu đi qua 4 điểm. trình m ặt c ầu : a. Tâm B và độ dài đường kính b ằng độ dài AC. b. Tâm G là tr ọng tâm tam giác ABC và m ặt c ầu đi qua điểm M tho ả mãn MA= 2 MB . c. M ặt c ầu đi qua 4 điểm O, A, B, C. HS t ự gi ải. MATH.COM.VN - Trang 31 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn Bài 2 PH ƯƠ NG TRÌNH M ẶT PH ẲNG 1. Vect ơ pháp tuy ến c ủa m ặt ph ẳng 4. Vị trí t ươ ng đối c ủa 2 m ặt ph ẳng Trong không gian Oxyz, cho m ặt ph ẳng (α ) và Trong không gian Oxyz, cho hai m ặt ph ẳng: cặp vect ơ a= ( a ; a ; a ) , b= ( b ; b ; b ) có giá song (α ) : A x+ B y + C z + D = 0 c ó n(α ) = ( A ; B ; C ) . 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 song ho ặc n ằm trong mp (α ) . Khi đó VTPT c ủa β + + + = β = ( ) : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 c ó n( ) ( A2 ; B 2 ; C 2 ) . mp (α ) là: Khi đó: α ắ β ⇔ ≠ a2 a 3 a 3 a 1 a1 a 2  ( ) c t ( ) nα kn β n(α ) = a ∧ b = ; ;   = b2 b 3 b 3 b 1b 1 b 2  nα= kn β (A ; B ; C ) k ( A ; B ; C ) (α ) // (β ) ⇔ ⇔  1 1 1 2 2 2 ≠ ≠ 2. PTTQ c ủa m ặt ph ẳng có d ạng D kD D1 kD 2 1 2  = = Ax+ By + Cz + D = 0 nα kn β (A1 ; B 1 ; C 1 ) k ( A 2 ; B 2 ; C 2 ) (α ) ≡(β ) ⇔ ⇔  = = D kD D1 kD 2 1 2 Trong đó vect ơ n (A ; B ; C) là VTPT. (α )⊥ ( β ) ⇔n(α ) . n ( β ) = 0 3. Ph ươ ng trình m ặt ph ẳng to ạ độ ⇔ + + = A1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 - mp(Oxy) có ph ươ ng trình: z = 0. ươ - mp(Oxz) có ph ng trình: y = 0. 5. Kho ảng cách t ừ m ột điểm đế n m ặt ph ẳng ươ - mp(Oyz) có ph ng trình: x = 0. Trong không gian Oxyz, cho M( x ; y ; z ) và m ặt - M ặt ph ẳng đi qua 3 điểm M(a ; 0 ; 0), N(0 ; b ; 0 0 0 α + + + = 0), P(0 ; 0; c) có ph ươ ng trình là: ph ẳng ( ) : Ax By Cz D 0 . Ta có: |Ax+ By + Cz + D | x y z d[ M ;(α ) ] = 0 0 0 + + = 1 2 2 2 a b c A+ B + C LẬP PH ƯƠ NG TRÌNH M ẶT PH ẲNG α Ph ươ ng trình mp( ) đi qua điểm M0( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTPT n (A ; B ; C) là: − + − + − = A( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 Dạng toán Ví d ụ Dạng 1: M ặt ph ẳng đi qua 3 điểm A, B, C không Ví d ụ: Lập PTTQ c ủa m ặt ph ẳng đi qua 3 điểm th ẳng hàng có to ạ độ cho tr ước. A(1 ; -1 ; 0), B(-2 ; 0 ; 1), C(0 ; 2 ; 0). Ph ươ ng pháp Gi ải. Ta có AB (-3 ; 1 ; 1), AC (-1 ; 3 ; 0) nên - Tìm m ột c ặp vect ơ không cùng ph ươ ng thu ộc vect ơ pháp tuy ến c ủa m ặt ph ẳng (ABC) là: mp(ABC), gi ả s ử là AB và AC . n(ABC ) = AB ∧ AC = (-3 ; -1 ; -8 ) = ∧ - VTPT c ủa mp(ABC) là n(ABC ) AB AC . Vập ph ươ ng trình t ổng quát c ủa mp(ABC) là: - T ừ đó s ẽ l ập được ph ươ ng trình mp (α ) đi qua A -3(x - 1) - 1(y + 1) - 8(z – 0) = 0 và có VTPT n(ABC ) . Hay 3x + y + 8z - 2 = 0. α Dạng 2: Mp( ) đi qua điểm M( x0 ; y 0 ; z 0 ) và song Ví d ụ: Vi ết ph ươ ng trình t ổng quát c ủa mp(P) đi song v ới mp (β ) : Ax+ By + Cz + D = 0. qua điểm A(1 ; 2 ; -3) và: x=1 + 2 t Ph ươ ng pháp  a. Vuông góc v ới đường th ẳng (d): y= − t . - Vì (α ) // (β ) nên (α ) có VTPT là n= ( A ; B ; C ) .  z= −2 + 3 t - Bi ết to ạ độ điểm M và VTPT n ta l ập được  MATH.COM.VN - Trang 32 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn ph ươ ng trình m ặt ph ẳng. b. Song song v ới mp(Q): x – y – 3z = 0. Dạng 3: Ptrình mp( α ) qua điểm A và vuông góc c. Đi qua 2 điểm A, B v ới A(0 ; 1 ; 1), B(-1 ; 0 ; 2) với đường th ẳng d . và vuông góc v ới mp (α ) : x – y + z – 1 = 0. Ph ươ ng pháp Gi ải - VTCP c ủa d chính là VTPT c ủa mp( α ). a. Vì mp(P) vuông góc v ới đường th ẳng (d) nên (P) - T ừ đó xác đị nh được ph ươ ng trình mp (α ) . nh ận u =(2; − 1;3) làm vect ơ pháp tuy ến. Dạng 4: Ptrình mp( α ) qua 2 điểm A, B và vuông Vập ph ươ ng trình t ổng quát c ủa mp(P) là: góc v ới mp (β ) : Ax+ By + Cz + D = 0 . 2(x -1) - 1(y - 2) + 3(z + 3) = 0 Hay 2x – y + 3z + 9 = 0. Ph ươ ng pháp b. Vì mp(P) // mp(Q) nên 2 mặt ph ẳng có cùng - Tìm to ạ độ c ủa các vect ơ AB , n(β ) . vect ơ pháp tuy ến n(P )= n ( Q ) =(1; − 1; − 3) . - Khi đó VTPT n= AB ∧ n . (α ) ( β ) Vập ph ươ ng trình t ổng quát c ủa mp(P) là: - T ừ đó xác đị nh được ph ươ ng trình mp (α ) . 1(x -1) - 1(y - 2) - 3(z + 3) = 0 Hay x – y - 3z - 8 = 0. c. Ta có AB =( − 1; − 1;1) , VTPT n(α ) =(1; − 1;1) =  = nên VTPT c ủa mp(P) là n(P ) AB; n (α )  (0;2;2) Vập ph ươ ng trình t ổng quát c ủa mp(P) là: 0(x - 0) + 2(y - 1) + 2(z – 1) = 0 Hay y + z – 2 = 0. Dạng 5: Song song v ới mp(Q): Ax + By + Cz + D Ví d ụ : L ập ph ươ ng trình m ặt ph ẳng (P) song song = 0 và ti ếp xúc v ới (S): với mp(Q): 2x + 2y – z + 1 = 0 và ti ếp xúc v ới 2 2 2 (x− a )2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 . mặt c ầu (S): (x−1 ) + ( y + 2 ) + ( z + 1 ) = 4 . Ph ươ ng pháp Gi ải - Mp(P) có d ạng : Ax + By + Cz + d = 0 Mặt c ầu (S) có tâm I(1 ; - 2; - 1), bán kính R = 2. - Khi đó (P) ti ếp xúc v ới (S) ⇔d( I ,( P )) = R Do mp(P) song song mp(Q) nên mp(P) có ph ươ ng Aa+ Bb + Cc + d trình d ạng: 2x + 2y – z + D = 0. ⇔ = R . Mà mp(P) ti ếp xúc v ới (S) nên A2+ B 2 + C 2 2.1+ 2.( − 2) −( − 1 ) + D - Gi ải tìm được d, thay vào ph ươ ng trình mp(P) để d( I ,( P )) = R ⇔ = 2 được ph ươ ng trình m ặt ph ẳng c ần tìm. 22+ 2 2 +( − 1 )2 D = 5 ⇔D +1 = 6 ⇔  D = − 7  Vậy mp(P): 2x + 2y – z + 5 = 0 và 2x + 2y – z - 7 = 0. MATH.COM.VN - Trang 33 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn Bài 3 PH ƯƠ NG TRÌNH ĐƯỜNG TH ẲNG 1. Ph ươ ng trình tham s ố c ủa đường th ẳng 5. V ị trí t ươ ng đối c ủa đường th ẳng và m ặt Đường th ẳng (d) đi qua điểm M (x ; y ; z ) và có ph ẳng 0 0 0 Trong không gian Oxyz, cho m ặt ph ẳng VTCP a ( a1; a 2 ; a 3 ). x= x + a t  0 1 (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và đường th ẳng = + ∈ ℝ y y0 a 2 t ; t x= x + a t  0 1 z= z + a t  = +  0 3 d: y y0 a 2 t .  = + z z0 a 3 t VTCP a là vectơ có giá song song ho ặc trùng Xét ph ươ ng trình: với (d). + + + + + + = A( x0 a 1 t ) B ( y 0 a 2 t ) C ( z 0 a 3 t ) D 0 (1) 2. Ph ươ ng trình chính t ắc c ủa đường th ẳng • Nếu (1) vô nghi ệm ⇒ d // (α ) . Đường th ẳng (d) đi qua điểm M( x ; y ; z ) và có 0 0 0 0 • Nếu (1) vô s ố nghi ệm ⇒ d ≡ (α ) . VTCP a ( a; a ; a ). 1 2 3 • Nếu (1) có m ột nghi ệm ⇒ d c ắt (α ) t ại − − − x x0 y y 0 z z 0 điểm M( x+ a t; y + a t ; z + a t ). = = 0 1 0 2 0 3 a1 a 2 a 3 6. Điều ki ện để đường th ẳng (d) ⊥ (α ) 3. Ph ươ ng trình đoạn th ẳng AB Cho VTCP c ủa (d) là a , VTPT c ủa (α ) là n Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; y B ; z B ) ta có ph ươ ng ⊥α ⇔  = = (d ) ( ) a ; n  0 (0;0;0) . trình đoạn th ẳng AB là: 7. Góc gi ữa 2 đường th ẳng (d ) và (d ) x− x y − y z − z 1 2 A= A = A ấ = − − − Trên (d1 ) l y VTCP a1( a 1 ; a 2 ; a 3 ) . xB x A y B y A z B z A Trên (d ) lấy VTCP a= ( b ; b ; b ) . 4. Điều ki ện để 2 đường th ẳng song song, c ắt 2 2 1 2 3 nhau, chéo nhau + + |a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 | ' ' ' = G ọi a= ( a ; a ; a ) và a'= ( a ; a ; a ) l ần l ượt là cos(d1 ; d 2 ) 1 2 3 1 2 3 a2+ a 2 + a 2. b 2 + b 2 + b 2 ủ ấ đ ể ∈ 1 2 3 1 2 3 VTCP c a d và d’, l y i m M( x0 ; y 0 ; z 0 ) d . Khi đó: 8. Góc gi ữa đường th ẳng (d) và mp (α ) a= ka ' a= ka ' Trên (d ) lấy VTCP a= ( a ; a ; a ) . d// d ' ⇔  ; d≡ d ' ⇔  1 2 3 ∉ ∈ M d ' M d ' Trên (α ) lấy VTPT n= ( A ; B ; C ) . x+ ta = x' + t' a '  0 1 0 1  + + ắ ⇔ + =' + ' đ |a1 A a 2 B a 3 C | d c t d’  y0 ta 2 y 0 t' a 2 có úng 1 n 0. sin(d ;α ) =  a2+ a 2 + a 2. A 2 + B 2 + C 2 z+ ta = z' + t' a ' 1 2 3  0 3 0 3 x+ ta = x' + t' a '  0 1 0 1 ⇔ ≠ + =' + ' d chéo d’ aka ' và y0 ta 2 y 0 t' a 2  + =' + ' z0 ta 3 z 0 t' a 3 vô nghi ệm. MATH.COM.VN - Trang 34 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn LẬP PH ƯƠ NG TRÌNH ĐƯỜNG TH ẲNG Dạng toán Ví d ụ Ví d ụ: L ập ph ươ ng trình đường th ẳng (d) đi qua Dạng 1: Qua m ột điểm M( x0 ; y 0 ; z 0 ) và có vect ơ hai điểm A(- 1 ; 0; 2) ; B(1; -1 ; 1) ch ỉ ph ươ ng u= ( a; b ; c ) . Gi ải: Ta có AB =(2; − 1; − 1 ) là VTCP c ủa đường Ph ươ ng pháp: Ph ươ ng trình tham s ố đường th ẳng x= x + at th ẳng (d) và (d) đi qua A(- 1 ; 0; 2).  0 Vậy ph ươ ng trình tham s ố đường th ẳng (d) là: = + ố (d) là: y y0 bt (t là tham s ) = − +  x1 2 t z= z + ct   0 d: y=0 − t (t là tham s ố). z=2 − t  Ví d ụ: Lập ph ươ ng trình đường th ẳng (d) qua điểm Dạng 2: Đi qua m ột điểm M( x1 ; y 1 ; z 1 ) và song song x= x + at M(2; -1; 0) và song song v ới đường th ẳng  0 x=1 + t với đường th ẳng (d’): y= y + bt  0 = − ố  = + d’: y2 t (t là tham s ). z z0 ct  z = 3 Ph ươ ng pháp Gi ải - Ta có VTCP c ủa (d’) là u= ( a; b ; c ) d ' Đường th ẳng (d’) có VTCP là u =(1; − 2;0 ) . - Hai đường th ẳng song song nhau nên chúng có d ' Vì d // d’ nên (d) có VTCP là u =(1; − 2;0 ) . cùng VTCP . Do đó VTCP c ủa (d) là d = = ( ) ud u d ' a; b ; c Vậy ph ươ ng trình tham s ố đường th ẳng (d) là: = + x= x + at x2 t 1   = − − ố Vậy ph ươ ng trình đường th ẳng (d): y= y + bt d: y1 2 t (t là tham s ) 1   = + z = 0 z z1 ct Ví d ụ: L ập ph ươ ng trình đường th ẳng (d) qua điểm Dạng 3: Đi qua m ột điểm M( x1 ; y 1 ; z 1 ) và vuông góc v ới mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. M(1 ; 2 ; -1) và vuông góc v ới mp(P): Ph ươ ng pháp 2x + 3y – 4 = 0 . Gi ải - Ta có VTPT c ủa mp(P) là n= ( A; B ; C ). Mp(P) có VTPT là n = (2;3;0 ) . Vì đường th ẳng - Đường th ẳng (d) vuông góc v ới mp(P) nên có P = ( ) VTCP là u= n = ( A; B ; C ) (d) vuông góc mp(P) nên có VTCP là ud 2;3;0 . x= x + At Vậy ph ươ ng trình tham s ố đường th ẳng (d) là:  1 x=1 + 2 t - Vậy ph ươ ng trình đường th ẳng (d): y= y + Bt 1  = +  = + d: y2 3 t (t là tham s ố) z z1 Ct  z = − 1 Dạng 4: Đường th ẳng d’ là hình chi ếu vuông góc Ví d ụ: Vi ết ph ươ ng trình hình chi ếu d’ c ủa đường x= x + at x = 2  0  = + ẳ y=1 − t của đường th ẳng (d): y y0 bt lên mp(P): th ng (d):  lên mp(P): x - y -2 = 0.  = + z=3 + t z z0 ct  Ax + By + Cz + D = 0. Gi ải Ph ươ ng pháp Gọi mp(Q) ch ứa (d) và vuông góc v ới (P). - Đường th ẳng d’ là giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng Mà đường th ẳng (d) đi qua M(2 ; 1; 3) và có VTCP =( − ) (P) và m ặt ph ẳng (Q) ch ứa (d) và vuông góc v ới là ud 0; 1;1 MATH.COM.VN - Trang 35 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn (P). Khi đó mp(Q) l ập nh ư Dạng 3 . Gi ả s ử có =( − ) Mặt ph ẳng (P) có VTPT là nP 1; 1;0 . Do đó ph ươ ng trình A’x + B’y + C’z + D’ = 0. mp(Q) qua M(2 ; 1; 3), nh ận n= u; n  = ( 1;1;1 ) - Nên nh ững điểm n ằm trên d’ th ỏa h ệ: d P  Ax+ By + Cz + D = 0 làm VTPT có ph ươ ng trình là: x + y + z - 6 = 0.  (*) . A' x+ B ' y + C ' z + D ' = 0 Nên t ọa độ nh ững điểm thu ộc d’ th ỏa mãn h ệ: x+ y + z −6 = 0 - Cho x = t, (ho ặc y = t, ho ặc z = t), thay vào h ệ  . ph ươ ng trình (*) gi ải h ệ tìm được y và z theo t x− y −2 = 0 (ho ặc x, z theo t, ho ặc x, y theo t). Cho x = t, suy ra y = -2 + t và z = 8 – 2t - Từ đó có x, y, z theo t chính là ph ươ ng trình hình x= t  chi ếu. Vậy ph ươ ng trình hình chi ếu (d’) là: y= −2 + t . z=8 − 2 t  T ỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM C ỦA ĐƯỜNG TH ẲNG VÀ M ẶT PH ẲNG = + x x0 at  = + Tìm t ọa độ giao điểm c ủa đường th ẳng (d): y y0 bt và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0  = + z z0 ct = + x x0 at (1)  y= y + bt (2) Ph ươ ng pháp: Tọa độ giao điểm (x ; y ; z) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 0 .  = + z z0 ct (3) Ax+ By + Cz + D = 0 (4) Thay (1), (2), (3) vào ph ươ ng trình (4) ta tìm được t . Thay t v ừa tìm được vào (1), (2), (3) ta được t ọa độ giao điểm. x= 2 t  Ví d ụ: Tìm t ọa độ giao điểm c ủa đường th ẳng (d): y=1 − t và mp(P): x + y + z – 10 = 0.  z=3 + t Gi ải x= 2 t (1)  y=1 − t (2) Tọa độ giao điểm (x ; y ; z) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình:  z=3 + t (3) x+ y + z −10 = 0 (4) Thay (1), (2), (3) vào ph ươ ng trình (4), ta được: (2t) + (1 – t) + (3 + t) – 10 = 0 ⇒ t = 3 . Thay t = 3 vào (1), (2), (3) ta được x = 6 ; y = -2 ; z = 6. Vậy t ọa độ giao điểm là M(6 ; - 2 ; 6). MATH.COM.VN - Trang 36 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn TỌA ĐỘ HÌNH CHI ẾU VUÔNG GÓC C ỦA M ỘT ĐIỂM LÊN M ẶT PH ẲNG ( ) Tìm t ọa độ hình chi ếu vuông góc c ủa điểm M x0; y 0 ; z 0 lên mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. Ph ươ ng pháp ( ) - Lập ph ươ ng trình đường th ẳng (d) đi qua điểm M x0; y 0 ; z 0 và vuông góc v ới mp(P). Khi đó ph ươ ng = + x x0 At  = + trình đường th ẳng (d) là: y y0 Bt .  = + z z0 Ct - T ọa độ hình chi ếu chính là t ọa độ giao điểm c ủa đường th ẳng (d) v ới mp(P). Ví d ụ: Tìm t ọa độ hình chi ếu vuông góc c ủa điểm M (2;− 1;0 ) lên mp(P): x + 2y – z + 2 = 0. Hướng d ẫn Đường th ẳng (d) đi qua M (2;− 1;0 ) và vuông góc v ới mp(P): x + 2y – z + 2 = 0 có ph ươ ng trình là: x=2 + t  t = − 1/ 3 x=2 + t    y= −1 + 2 t  x = 5 / 3 y= −1 + 2 t . T ọa độ hình chi ếu H(x ; y ; z) là nghi ệm c ủa h ệ: ⇔  .  z= − t  y = − 5 / 3 z= − t x+2 y − z + 2 = 0  z = 1/ 3 Vậy to ạ độ giao điểm là H(5/3 ; -5/3 ; 1/3). TỌA ĐỘ HÌNH CHI ẾU VUÔNG GÓC C ỦA M ỘT ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG TH ẲNG = + x x0 at ( )  = + Tìm t ọa độ hình chi ếu vuông góc c ủa điểm M xM; y M ; z M lên đường th ẳng (d): y y0 bt .  = + z z0 ct Ph ươ ng pháp ( ) - Lập ph ươ ng trình mp(P) đi qua điểm M xM; y M ; z M và vuông góc v ới đường th ẳng (d). Khi đó ph ươ ng − + − + − = trình mp(P) là: a( x xM ) b ( y y M ) c ( z z M ) 0 . - Tọa độ hình chi ếu chính là t ọa độ giao điểm c ủa đường th ẳng (d) v ới mp(P). x= −1 + 3 t  Ví d ụ: Tìm t ọa độ hình chi ếu vuông góc c ủa điểm M (1;2;− 1 ) lên đường th ẳng (d): y= −2 − 2 t .  z=2 + 2 t Hướng d ẫn Mp(P) đi qua M (1;2;− 1 ) và vuông góc v ới (d) có ph ươ ng trình là: 3x – 2y + 2z + 3 = 0. x= −1 + 3 t  y= −2 − t 13 22 14  Tọa độ hình chi ếu H(x ; y ; z) là nghi ệm c ủa h ệ:  . KQ H −; − ;  z=2 + 2 t 5 15 15  3x− 2 y + 2 z + 3 = 0 ---------------------------------------- H ết ch ươ ng III --------------------------------------- MATH.COM.VN - Trang 37 – MATHVN.COM TaøiTaøi lieäulieäu oânoân thithi TToátT oátoát nghieäpnghieäp THPTTHPT moânmoân ToaùnToaùn MATHVN.COM GV:GV: BuøiBuøi VaênVaên SônSôn LôøiLôøi NhaénNhaén 1. Để ôn t ập có tr ọng tâm, các em c ần ôn t ập bám sát theo các d ạng toán mà c ấu trúc đề thi đã đư a ra. 2. Làm các bài t ập trong SGK t ươ ng t ự các d ạng trên để kh ắc sâu ph ươ ng pháp gi ải t ừng d ạng toán. 3. Dành th ời gian để gi ải m ột s ố đề thi th ử (theo c ấu trúc c ủa B ộ GD& ĐT) để rèn luy ện thêm. Khi làm bài c ần t ập trung và làm bài nghiêm túc theo đúng th ời gian đã quy định (150 phút). 4. Sau m ỗi l ần gi ải đề c ần t ự đánh giá xem ph ần nào đã đạt yêu c ầu, ph ần nào ch ưa đạt, còn yếu để lần sau c ố g ắng h ơn. 5. Trong quá trình biên so ạn không th ể tránh được các thi ếu sót. R ất mong các em h ọc sinh thông c ảm, phát hi ện và góp ý giúp th ầy hoàn thi ện b ộ tài li ệu này để có th ể l ưu hành cho các năm sau. ChuùcChuùc caùccaùc emem oânoân taäptaäp toáttoát !! MATH.COM.VN - Trang 38 – MATHVN