Cách xác định chuyển vị trong hệ thanh đàn hồi tuyến tính

Chương 4 CÁCH XÁC ðỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH ðÀN HỒI TUYẾN TÍNH BỘ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO TRƯỜNG Cð CN& QT SONADEZI ------------------- BÀI GiẢNG: CƠ HỌC KẾT CẤU ThS. VÕ XUÂN THẠNH I/. Khái niệm 1/. ðịnh nghĩa: Biến dạng là sự thay ñổi hình dạng, kích thước của các phân tố dưới tác dụng của tải trọng hoặc các tác ñộng của các nguyên nhân khác Biến dạng của một công trình là do kết quả biến dạng của các phân tố trong các cấu kiện của công trình 2 Chuyển vị là sự thay ñổi vị trí của các ñiểm trên công trình khi công trình bị biến dạng Một phân tố trong công trình có 3 khả năng: •Không chuyển vị mà có biến dạng (xét phân tố A) •Có chuyển vị và có biến dạng (xét phân tố 2) •Có chuyển vị nhưng không có biến dạng (xét phân tố 3) A 2 3 3 2/. Phân loại chuyển vị: •Chuyển vị thẳng của một ñiểm •Chuyển vị xoay của tiết diện tại một ñiểm ñang xét a/. Các nguyên nhân gây ra chuyển vị: •Tải trọng tác dụng •Sự thay ñổi của nhiệt ñộ •Sự chuyển vị cưởng bức của các gối tựa 4 K K’ ϕ • II/. Vận dụng biểu thức thế năng ñể xác ñịnh chuyển vị : • 1/.Cách tính trực tiếp từ biểu thức thế năng: • Cách tính nầy chỉ áp dụng tính chuyển vị tại vị trí lực tập trung P Vậy : P UPTU 2. 2 1 =∆⇔∆==       −−−−=−= ∑∫∑ ∫∑∫ dsEF Nds GF Qds EJ MAU 222 * 222 υ       ++=∆ ∑∫ ∑∫∑∫ dsEF Nds GF Qds EJ M P 222 2 222 υ 5 P z PzM −= l ( ) EJ Pldz EJ Pz P ds EJ M P l 32 2 2 2 3 0 22 = − =      =∆ ∫∑∫ Ví dụ : 6 2/. Cách xác ñịnh theo ñịnh lý Castiglinato: Phát biểu ñịnh lý: ñạo hàm riêng thế năng biến dạng ñàn hồi theo lực Pk nào ñó sẽ bằng chuyển vị tương ứng với phương và vị trí của lực Pk ñó k k P U ∂ ∂ =∆       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∑∫∑ ∑∫∫ dsP N EF Nds P Q EG Qds P M EJ M kkk k ... υ 7 P z PzM −= l ( ) ( ) EJ Pldzz EJ Pzds P M EJ M l k 3 3 0 =− − =      ∂ ∂ =∆ ∫∑∫ Ví dụ: xét ví dụ trước 8 * Chú ý: • Nếu thì chuyển vị cùng chiều với Pk và ngược lại • Nếu tải trọng là lực phân bố có thể thay thế bằng lực tập trung ñể tính • Trường hợp Pk là mô men tập trung thì chuyển vị tương ứng là chuyển vị xoay • Nếu cần tìm chuyển vị tại vị trí nào ñó thì có thể ñặt thêm lực Pk tại vị trí ñó. Sau khi xác ñịnh ñược chuyển vị thì cho Pk =0 sẽ ñược kết quả cần tìm 0>∆k 9 10 III/. Công thức tổng quát xác ñịnh chuyển vị của hệ thanh ( công thức Maxwell-Morh 1874) a/. Ký hiệu chuyển vị : Pk Trạng thái “k” q Trạng thái “m” 1/. Công thức ( ) dsM h ttdsNt ds EF NNds GF QQds EJ MM zRP k mm kcm mkmkmk jmjkkmk ∑∫∑∫ ∑∫∑∫∑∫∑ − + +++=+∆ 12 . α α υ Chia 2 vế cho Pk , ta có : ( ) dsM h ttdsNt ds EF NNds GF QQds EJ MM zR k mm kcm mkmkmk jmjkkm ∑∫∑∫ ∑∫∑∫∑∫∑ − + ++++−=∆ 12 . α α υ 11 12 Là chuyển vị tại liên kết j ở trạng thái “m” jmZ Là phản lực tại liên kết j tương ứng với chuyển vị do lực Pk=1 gây ở “k” jmR jmZ 0. >jmjm ZR Khi và cùng chiều jmZ jmR mmm NQM ,, Nội lực ở trạng thái “m” kkk NQM ,, Nội lực ở trạng thái “k” do Pk =1 gây ra + + + + + * Các chú ý + công thức Morh chỉ áp dụng cho hệ gồm những thanh thẳng hoặc cong với ñộ cong bé 5 1≤ r h +Khi tính hệ ở trạng thái ‘’k’’ chỉ cần ñặt lực Pk =1 + nếu cần tìm chuyển vị thẳng thì Pk là lực tập trung + nếu tìm chuyển vị góc xoay thì Pk là mô men tập trung 13 + nếu kết quả 0>∆km Thì chuyển vị cùng chiều với Pk ñã giả ñịnh và ngược lại 14 2/. Vận dụng công thức Morh vào các bài toán chuyển vị a/. Hệ dầm và khung chịu tải trọng Trong hệ dầm và khung chịu ảnh hưởng của biến dạng ñàn hồi dọc và trượt là rất nhỏ so với biến dạng uốn , nên trong tính toán thường cho phép bỏ qua ảnh hưởng của chúng , lúc nầy ta có 15 Ví dụ 2.1 : xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng tại B . Cho biết ñộ cứng của thanh dầm E.J =const 16 Giải : 17 Ví dụ 2.2 : xác ñịnh chuyển vị ngang tại B , cho biết ñộ cứng của các thanh là như nhau và EJ = const 18 19 b/. Hệ dàn khớp chịu tải trọng Trong hệ dàn , các thanh chỉ tồn tại lực dọc , nên: Các ñại lượng F.E,N,N mk Thường bằng const ñối với từng thanh dàn . Suy ra: 20 Ví dụ 2.3: Xác ñịnh chuyển vị nằm ngang tại mắt dàn số 5, cho biết ñộ cứng trong các thanh dàn là như nhau và EF= const 21 Giải 22 Trạng thái “m” Xác ñịnh Nim. Kết quả thể hiện trong bảng Trạng thái “k” Xác ñịnh Nik. Kết quả thể hiện trong bảng ∑= i i imik l EF NN x5 ( ) 02611 >+==∆ ∑ EFd.plEFNN imikkm 23 c/. Hệ tĩnh ñịnh chịu chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa: Nguyên nhân nầy không gây ra nội lực trong hệ tĩnh ñịnh nên N=M=Q= 0, nên : 24 Ví dụ 2.4: xác ñịnh ñộ võng tại B và góc xoay tại C 25 26 [ ] [ ] ϕϕϕ .2.1.2.. aaVMZRy AAjmjkB −∆=∆−−=∆−−−=−= ∑ 27 d/. Hệ tĩnh ñịnh chịu biến thiên nhiệt ñộ: Nguyên nhân nầy cũng không gây ra nội lực trong hệ tĩnh ñịnh 28 Nếu constt,t,h, mm =α 12 trên từng ñoạn thì : T2m ,t1m ,tcm là biến thiên nhiệt ñộ thớ dưới , thớ trên và thớ giữa của thanh ( ) ( )kk N,M ΩΩ Là diện tích của biểu ñồ ( ) ( )kk N,M trên từng ñoạn thanh ( ) ( )kk N,M ΩΩ lấy dấu theo dấu của biểu ñồ ( ) ( )kk N,M 29 Ví dụ 2.5: xác ñịnh ñộ võng tại tiết diện k của hệ cho trên hình vẽ , cho biết cmh;cmh;C).,( BCABo 20301021 15 ===α −− 30 Giải 31 VI/. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu ñồ (Veraxaghin) 1/. Công thức tính chuyển vị : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )mkmkmkkcmkmmjmjkkm QQNNMMNtMtthzR +++Ω+Ω−+−=∆ ∑∑∑ .. 12 α α kkk NQM ,, Là các biểu ñồ nội lực do ñơn vị Pk=1gây ra cho hệ trong trạng thái ”k” mmm N,Q,M Là các biểu ñồ nội lực do riêng tải trọng (ñã cho) gây ra cho hệ trong trạng thái ”m” 32 constt,t,h, mm =α 12 trên từng ñoạn thì: Chú ý : Các ñại lượng 1/EJ ; 1/EF ; 1/GF tuy không viết trong biểu thức nhưng cần hiểu ngầm là vẫn tồn tại, khi tính phải thêm các ñại lượng ñó vào Trong biểu thức không viết dấu ∑ nhưng cũng cần hiểu là phải nhân biểu ñồ trong toàn hệ 33 yMM mk .. ω=Tích số : Nghĩa là : nếu có một trong hai biểu ñồ có dạng ñường thẳng thì tích số mk MM . bằng tích của diện tích biểu ñồ ωdiện tích Với tung ñộ y của biểu ñồ cócó dạng bất kỳ dạng ñường thẳng lấy tại vị trí tương ứng với trọng tâm của Diện tích ω 34 mkmk NNQQ .;.Các tích số Cũng tính tương tự Tính chuyển vị cho dầm, khung , ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc thường rất nhỏ, có thể bỏ qua, do ñó ( )( )mkkm MM=∆ Khi tính chuyển vị cho dàn ,vì M=0,Q=o nên ( )( )mkkm NN=∆ 35 2/. Cách tạo trạng thái k Pk=1 Pk=1 Chuyển vị thẳng ñứng Chuyển vị ngang mk=1 Chuyển vị xoay Pk=1 Pk=1 CV thẳng tương ñối giữa 2 ñiểm mk=1 mk=1 CV xoay tương ñối giữa 2 ñiểm 36 3/. Cách nhân biểu ñồ y.ω 1ω Mang dấu dương nếu hai biểu ñồ cùng một phía của trục thanh . Ngược lại mang dấu âm Những chú ý khi nhân biểu ñồ y1 y2 C1 C2 2ω y1 1ω 2ω 3ω 4ω 5ω y2 y3 y4 2211 yyy ωωω −= 5544332211 yyyyyy ωωωωωω −−−+= 37 Nếu biểu ñồ lấy diện tích có hai dấu thì có thể xem Diện tích là hiệu quả của hai diện tích và ω ω 1ω 2ω y1 y2 1ω 2ω 2211 yyy ωωω −= a b c 1ω Diện tích tam giác abc 2ω Diện tích hình prabol ac 38 Ví dụ 3.1: Xác ñịnh ñộ võng tại B. chỉ xét biến dạng uốn . Cho biết EJ =const 39 Giải 40 Ví dụ 3.2: xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng tại B. Chỉ xét biến dạng uốn. Cho biết EJ = const 41 Giải 42 EJ PlPlll EJ llPl EJ yB 3 . 24 5 42 . 1 3 2 2 1 =     × −     × = Ví dụ 3.3: xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng của ñiểm E. Biết EJ = const l/2 l E q 43 L/2 L E q 8 ql 2 1ω 2ω 32 ql 2 l 3 2 hL 3 2 2 1 ××=×=ω 32 3ql 2 16 ql 2 32 ql 2 8 l 32 ql 2 l 3 2 y 2 11 ×××=× )(ω )()( 4 l 3 2 2 1 2 l 8 ql y 2 22 ××××=×ω 43 2 2 ly ×= 4 2211km ql EJ384 5 y2y2 EJ 1 =××+××== )( ωω∆∆E P=1 4 l 4 l 8 ly =1 44 Ví dụ 3.4: xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng tương ñối giữa hai tiết diện B và D theo phương nối hai ñiểm ñó. Cho biết EJ = const và như nhau cho tất cả các thanh. Chỉ xét ảnh hưởng của biến dạng uốn. 45 Giải ( )( ) 0. 48 2 2 2. . 4 1 . 2 . 3 11 . 32 >=        ×      ×==∆ EJ qlllql EJ MM mkBD 46 2m P=6kN M=8kN.m 4m 4m q=2kN/m A Tính chuyển vị ngang và chuyển vị xoay tại A Bài tập EJ 2EJ EJ Bài 1 47 2m P=6kN 4m 4m A Tính chuyển vị ngang và chuyển vị ñứng tại A 2EJ 2EJ EJ Bài 2 48