Các quy luật cơ bản phân bố xác xuất ứng dụng trong thủy văn

Ch−¬ng 2 C¸c qui luËt c¬ b¶n cña ph©n bè x¸c suÊt øng dông trong thuû v¨n 2.1 Tæng quan Khi dùa trªn lý thuyÕt ®−êng cong ph©n bè mËt ®é x¸c suÊt ®· xÐt trong ch−¬ng 1, c¸c thñ thuËt ®¬n gi¶n nhÊt cña viÖc s¬ ®å ho¸ vµ kh¸i qu¸t c¸c tËp thèng kª cã thÓ thùc hiÖn hoµn chØnh vµ thÓ hiÖn d−íi d¹ng chung nhÊt. §−êng cong ph©n bè nhËn ®−îc ®èi víi c¸c s¬ ®å thèng kª kh¸c nhau t¹o thµnh mét hÖ thèng ph¸t triÓn cña kh¸i qu¸t to¸n häc cã lîi cho viÖc m« t¶ c¸c tãnh chÊt h¹ng réng cña hiÖn t−îng ngÉu nhiªn. C¸c d¹ng ®−êng cong ph©n bè kh¸c nhau hoÆc dùa trªn c¸c s¬ ®å x¸c suÊt tËp trung ®−îc x¸c ®Þnh vÒ mÆt lý thuyÕt , hoÆc tù thÓ hiÖn sù kh¸i qu¸t ho¸ c¸c qui luËt thèng kª ®Æc tr−ng cho c¸c ph¹m trï x¸c ®Þnh cña tËp thùc nghiÖm. Tuy nhiªn, trong bÊt kú tr−êng hîp nµo c¸c ®−êng cong ph©n bè x¸c suÊt trong thÓ trõu t−îng ®Òu ph¶n ¸nh qui luËt thèng kª thùc ®Æc tr−ng bëi c¸c hiÖn t−îng ngÉu nhiªn ®¹i chóng. H×nh thøc biÓu diÔn c¸c qui luËt ph©n bè liªn quan chÆt chÏ víi viÖc chia ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ra c¸c d¹ng liªn tôc vµ rêi r¹c. §¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c lµ biÕn cña tÖp (tËp hîp) cã thÓ thÓ hiÖn ë d¹ng liÖt x¸c ®Þnh b»ng sè x1, x2, ..., xn, ... Khi gi¶i c¸c bµi to¸n thùc hµnh kh¸c th−êng cã vÊn ®Ò víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ nguyªn. §Ó lÊy vÝ dô vÒ tËp thuû v¨n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã thÓ chØ ra sè kh« h¹n s«ng ngßi vµo mçi n¨m trong mïa hÌ nhËn ®−îc tõ N n¨m trªn ph©n bè xª -ri c¸c n¨m Ýt vµ nhiÒu n−íc. Khi nghiªn cøu c¸c tËp thèng kª c¸c hiÖn t−îng thiªn nhiªn th−êng cã vÊn ®Ò víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, cã nghÜa lµ víi c¸c hiÖn t−îng mµ kÕt qu¶ thö cã thÓ nhËn mäi gi¸ trÞ trong giíi h¹n kho¶ng ®ang xÐt. C¸c ®¹i l−îng nh− vËy lµ sai sè ®o ®¹c vµ gi¸ trÞ thµnh phÇn tËp c¸c ®Æc tr−ng kh¸c nhau cña chÕ ®é thuû v¨n (l−u l−îng n−íc vµ phï sa, mùc n−íc, vËn tèc dßng ch¶y v.v..). Râ rµng khi m« t¶ ph©n bè c¸c ®¹i l−îng nh− vËy vÒ nguyªn t¾c kh«ng thÓ viÕt vµ ®¸nh sè tÊt c¶ chóng vµo mét liÖt x¸c ®Þnh, thËm chÝ trong giíi h¹n kho¶ng ®ñ hÑp. C¸c ®¹i l−îng nµy t¹o nªn 56 mét tËp v« h¹n. NÕu khi xÐt tËp c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã thÓ g¾n mçi gi¸ trÞ cña nã x1, x2, ..., xn, ... víi mét x¸c suÊt ®Æc tr−ng x¸c ®Þnh bëi nã p(xi) th× trong tr−êng hîp liÖt liªn tôc c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chØ cã thÓ nãi vÒ x¸c suÊt r¬i vµo kho¶ng cho tr−íc cña nã (bï lµ rÊt nhá). Thùc tiÔn, khi nghiªn cøu c¸c tËp thèng kª c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc chÆt chÏ dïng phÐp tÝnh bëi c¸c thñ thuËt nhãm vµ m« t¶ ®å thÞ c¸c tËp thèng kª ®· tr×nh bµy trong ch−¬ng 1. Khi ph©n tÝch lý thuyÕt c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc thay tÇn sè thùc nghiÖm bëi mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt vµ t−¬ng øng lµ thay m«men thùc nghiÖm b»ng biÓu thøc tÝch ph©n cña chóng. ¸p dông cho viÖc nghiªn cøu c¸c qui luËt ph©n bè tËp c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c sÏ tr×nh bµy qui luËt ph©n bè nhÞ thøc vµ ph©n bè Piecson III, khi xÐt nã nh− tr−êng hîp riªng cña qui luËt ph©n bè nhÞ thøc. TiÕp theo trªn c¬ së ngo¹i suy phæ biÕn qui luËt ph©n bè nhÞ thøc khëi ®iÓm trong tr−êng hîp c¸c ®¹i l−îng liªn tôc vµ nh− vËy ®· chuyÓn tíi ph©n bè gamma hoÆc ®−êng cong Piecson III vµ dÉn tíi hÖ qu¶ do S. N. Krixki vµ M. Ph. Menkel còng nh− G. N. Brocovits thùc hiÖn. Khi cã sù øng dông réng r·i trong thuû v¨n qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ta coi nã lµ c¬ së khi tr×nh bµy qui luËt ph©n bè chuÈn. Tõ c¸c ®−êng cong ph©n bè kh¸c nhau xÐt c¸c ph−¬ng tr×nh Gudrits vµ Gumbel ®−îc sö dông −u thÕ trong thùc tiÔn thuû v¨n ë n−íc ngoµi. Tõ sè c¸c biÕn ®æi ®a d¹ng biÕn ngÉu nhiªn dõng mét c¸ch chi tiÕt ë biÕn ®æi logarit thØnh tho¶ng vÉn ®−îc sö dông khi tÝnh to¸n dßng ch¶y trong n−íc vµ n−íc ngoµi. Kh¶o cøu c¸c ®−êng cong ®¶m b¶o thùc nghiÖm ®Æc thï kh¸i qu¸t cña c¸c ®Æc tr−ng thuû v¨n kh¸c nhau xÐt vÝ dô nghiªn cøu cña G. P. Kalinhin vµ L. M. Konarevski. Mét sè ph©n bè cã c¸c gi¸ trÞ bæ sung khi tÝnh to¸n thuû v¨n cã thÓ tr×nh bµy theo møc ®é cÇn thiÕt trong c¸c ch−¬ng kh¸c. C¸c ph©n bè ®ã lµ ph©n bè Student, Phiser, χ2 vµ c¸c ph©n bè kh¸c sö dông khi ph©n tÝch mÉu c¸c biÕn ngÉu nhiªn . BiÓu thøc gi¶i tÝch cña ®−êng cong ph©n bè m« t¶ tèt nhÊt tËp thùc nghiÖm c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã thÓ thu ®−îc b»ng nhiÒu ph−¬ng ph¸p , vÒ sè l−îng tuy r»ng h¹n chÕ khi thùc hiÖn c¸c ®iÒu kiÖn chung sau ®©y. 57 1. HiÓn nhiªn, ®−êng cong ph©n bè cÇn dùa trªn mét s¬ ®å thèng kª x¸c ®Þnh mµ d−íi t¸c ®éng cña nã t¹o nªn hiÖn t−îng ngÉu nhiªn nµy hoÆc kia. VËy, vÝ dô qui luËt ph©n bè chuÈn xuÊt hiÖn trong c¸c tr−êng hîp khi mµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ang nghiªn cøu cã thÓ thÓ hiÖn d−íi d¹ng tæng (hoÆc hµm tuyÕn tÝnh) mét sè lín c¸c sè h¹ng thµnh phÇn (nh©n tè) ®éc lËp víi nhau, mçi sè ¶nh h−ëng nhá tíi tæng. NÕu ®iÒu kiÖn cuèi cïng ®−îc tho¶ m·n vµ ¶nh h−ëng cña mét sè trong c¸c sè h¹ng h×nh thµnh ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chiÕm −u thÕ th× ®Æc ®iÓm cña ph©n bè sè h¹ng ®ã ¶nh h−ëng tíi qui luËt ph©n bè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ang nghiªn cøu. Khi nhËn lµm c¬ së s¬ ®å lý thuyÕt mèi liªn hÖ cña sù xuÊt hiÖn ®¹i l−îng ngÉu nhiªn kh«ng ph¶i lµ tæng mµ lµ tÝch mét sè ®ñ lín c¸c t¸c ®éng thµnh phÇn hay nãi c¸ch kh¸c vµo tæng cña c¸c logarit cña chóng ta thu ®−¬cj qui luËt ph©n bè logarit chuÈn. Khi giíi h¹n b»ng c¸c vÝ dô nµy ta thÊy ý nghÜa thèng kª kh¸c, khi xÐt c¸c qui luËt ph©n bè sÏ ®−îc lµm s¸ng tá khi tr×nh bµy chóng. 2. Trong ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè cÇn ph¶i gi¶m c¸c tham sè, x¸c ®Þnh b»ng sè theo sè liÖu thùc nghiÖm. §iÒu kiÖn nµy rÊt quan träng khi ph©n tÝch thèng kª c¸c dao ®éng nhiÒu n¨m cña c¸c ®¹i l−îng thuû v¨n v× tËp thèng kª cña chóng th−êng h¹n chÕ bëi vµi chôc sè h¹ng (n¨m quan tr¾c). Cïng víi nã ta cßn biÕt r»ng c¸c tham sè ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè ®−îc x¸c ®Þnh víi sai sè cµng lín th× tÖp thèng kª cµng nhá vµ ®¹i l−îng m«men thèng kª cµng cao dïng ®Ó tÝnh to¸n c¸c tham sè ®−êng cong ph©n bè. ThËt vËy, nÕu nh− gi¸ trÞ trung b×nh sè häc vµ hÖ sè biÕn ®æi n»m trong tham sè ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè cã thÓ x¸c ®Þnh theo c¸c tËp thèng kª mét c¸ch th«ng th−êng theo c¸ch cña c¸c nhµ thuû v¨n cã ®é tin cËy t−¬ng ®èi, th× tÝnh to¸n hÖ sè bÊt ®èi xøng theo chuçi nh©n t¹o, tøc lµ g¾n víi tuyÕn ®o thuû v¨n x¸c ®Þnh víi sai sè lín; x¸c ®Þnh ®é nhän trong c¸c tr−êng hîp nh− vËy hoµn toµn mÊt ý nghÜa do sai sè qu¸ lín. Liªn quan t¬Ý ®iÒu ®ang bµn trªn tham sè nµy víi tÝnh to¸n thuû v¨n hÇu nh− kh«ng sö dông. Cho nªn khi gi¶i c¸c bµi to¸n thuû v¨n ng−êi ta chØ sö dông c¸c ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè chØ cã hai hoÆc cïng l¾m lµ ba tham sè x¸c ®Þnh theo tËp thèng kª ban ®Çu ( trung b×nh sè häc, hÖ sè biÕn ®æi, hÖ sè bÊt ®èi xøng). Cã thÓ nhËn thÊy r»ng hÇu nh− víi c¸c tÝnh to¸n thèng kª ng−êi ta sö dông kh«ng qu¸ 4 tham sè ®Ó x¸c ®Þnh d¹ng ®−êng cong ph©n bè. Ngoµi c¸c yªu cÇu chung ®· nªu trªn trong quan hÖ cña ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè , khi ph©n tÝch thèng kª dao ®éng nhiÒu n¨m cña dßng ch¶y s«ng ngßi xuÊt hiÖn c¶ c¸c ®iÒu kiÖn phô. Do vËy, ®¹i l−îng dßng ch¶y s«ng ngßi lµ thùc 58 d−¬ng, ®−êng cong ph©n bè m« t¶ dao ®éng cña chóng kh«ng ®−îc c¾t vµo phÇn gi¸ trÞ ©m, v× nã m©u thuÉn víi b¶n chÊt vËt lý cña hiÖn t−îng ®ang xÐt. Sù h¹n chÕ cña c¸c ®−êng cong ph©n bè bëi giíi h¹n trªn kh«ng thùc hiÖn ®−îc v× kh«ng cã c¸c thñ thuËt t−¬ng xøng c¨n b¶n ®iÒu chØnh nã. Cã nh÷ng t×m tßi x¸c ®Þnh gi¸ trÞ kh¶ n¨ng lín nhÊt cña ®Æc tr−ng dßng ch¶y ®ang xÐt th−êng dÉn tíi kh«ng ph¶i lµ cùc ®¹i tuyÖt ®èi mµ lµ ®¹i l−îng ®−îc xem nh− lµ mét gi¸ trÞ nµo ®ã cã x¸c suÊt v−ît bÐ. Ngoµi ra, trong thùc tiÔn tÝnh to¸n thuû v¨n ng−êi ta kh«ng sö dông gi¸ trÞ x¸c suÊt v−ît hµng n¨m, tiÕn tíi 0 mµ nhËn mét x¸c suÊt h÷u h¹n ®ñ thùc, chÆn bëi c¸c gi¸ trÞ ®¶m b¶o trªn nguyªn t¾c 1; 0,1% vµ ®«i khi trong c¸c tr−êng hîp hiÕm 0,01%. Nh− vËy, thiÕu h¹n chÕ ®−êng cong ph©n bè tõ phÝa c¸c ®¹i l−îng l−u l−îng n−íc lín trong kho¶ng ngo¹i suy kh«ng m©u thuÉn víi b¶n chÊt vËt lý cña dao ®éng dßng ch¶y s«ng ngßi vµ kh«ng ®i tíi lêi gi¶i kh«ng thùc tÕ, tøc lµ v¬Ý viÖc nhËn c¸c gi¸ trÞ dßng ch¶y tÝnh to¸n lÖch nhiÒu c¸c ®¹i l−îng lÊy tõ tµi liÖu ®o ®¹c thuû v¨n. Cã thÓ nhËn thÊy r»ng c¸c t×m kiÕm øng dông ®−êng cong ph©n bè giíi h¹n tõ phÝa c¸c ®¹i l−îng dßng ch¶y lín bëi mét giíi h¹n cè ®Þnh nµo ®ã trong nhiÒu tr−êng hîp dÉn tíi nhËn ®−îc c¸c ®¹i l−îng dßng ch¶y tÝnh to¸n thËm chÝ v−ît qu¸ c¸c ®−êng cong t−¬ng øng víi viÖc xo¸ kh«ng h¹n chÕ trong vïng c¸c ®¹i l−îng d−¬ng. TÊt nhiªn ®iÒu ®ã liªn quan víi tÝnh kh«ng x¸c ®Þnh cña viÖc thµnh lËp giíi h¹n trªn. Thªm vµo ®ã cã thÓ nãi r»ng nhiÒu vÝ dô sö dông c¸c ®−êng cong ph©n bè kh«ng giíi h¹n trong khoa häc vµ trong kü thuËt ®Ó m« t¶ chuçi thèng kª kh«ng thÓ v« cïng lín víi suÊt ®¶m b¶o tiÕn tíi 0. VÝ dô nh− sai sè kÝch th−íc khi chuÈn bÞ chi tiÕt nµy hay chi tiÕt kia th−êng ®−îc m« t¶ bëi qui luËt ph©n bè chuÈn traØ dµi tõ - ∞ ®Õn ∞, mÆc dï biÕt r»ng sai sè chuÈn bÞ chi tiÕt kh«ng thÓ lín v« h¹n do ®¹i l−îng cña chi tiÕt h¹n chÕ bëi kÝch th−íc chuÈn bÞ sö dông khi xö lý. C¸c h×nh ¶nh nªu trªn, còng nh− −íc l−îng sù t−¬ng øng cña s¬ ®å lý thuyÕt ph©n bè x¸c suÊt víi tµi liÖu quan tr¾c thuû v¨n chøng tá r»ng viÖc sö dông c¸c ®−êng cong ph©n bè kh«ng h¹n chÕ bëi c¸c gi¸ trÞ lín kh«ng dÉn tíi m©u thuÉn víi b¶n chÊt vËt lý cña tËp c¸c ®¹i l−îng thuû v¨n vµ cã thÓ ®−îc xÐt nh− lµ ph−¬ng tiÖn hoµn toµn chÊp nhËn cña m« t¶ to¸n häc c¸c qui luËt thèng kª trong giíi h¹n suÊt ®¶m b¶o sö dông thùc tÕ. Nh− vËy, ®èi víi ®−êng cong ph©n bè sö dông ®Ó m« t¶ dao ®éng dßng ch¶y s«ng ngßi nhiÒu n¨m vµ chuçi c¸c tham sè kh¸c cña chÕ ®é thuû v¨n (x), cã thÓ ®Æt c¸c ®iÒu kiÖn biªn sau: 0 ≤ x < ∞. 59 Th−êng c¸c ®−êng cong ph©n bè lý thuyÕt sö dông trong thuû v¨n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®¬n ®Ønh. Nã sinh ra nh− lµ hËu qu¶ cña yªu cÇu ®ång nhÊt vµ ®éc lËp ngÉu nhiªn cña c¸c ®¹i l−îng thuû v¨n ®ang xÐt . ThËt vËy, tÝnh ®a ®Ønh cña ph©n bè lµ hËu qu¶ cña viÖc thèng nhÊt mét vµi tÖp víi c¸c ph©n bè rÊt kh¸c nhau . Nh−ng do khi gi¶i c¸c bµi to¸n thuû v¨n th−êng dïng phÐp víi c¸c ®¹i l−îng ®ång pha, tÊt nhiªn dù ®o¸n r»ng ph©n bè cña chóng sÏ ®¬n ®Ønh. Do ®−êng cong ph©n bè sö dông khi gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh to¸n dßng ch¶y s«ng ngßi ë d¹ng vi ph©n cÇn cã d¹ng chung nh− sau: b¾t ®Çu tõ mét gi¸ trÞ d−¬ng nµo ®ã (hoÆc 0), sau ®ã khi t¨ng ®¹t tíi gi¸ trÞ cùc ®¹i (®Ønh) vµ khi h¹ ®i vµo vïng ®¹i l−îng v« cïng lín. Sö dông c¸c ®−êng cong ph©n bè gi¶i tÝch cho phÐp thùc hiÖn viÖc lµm tr¬n c¸c ph©n bè thùc nghiÖm, nhÊn m¹nh khi ®ã c¸c nÐt qui luËt nhÊt cña tÖp thèng kª ®ang xÐt vµ lo¹i trõ c¸c ¸p ®Æt ngÉu nhiªn cña sè liÖu thùc nghiÖm chØ ®Æc tr−ng cho mÉu ®−îc chän vµ kh«ng mang tÝnh qui luËt theo toµn bé tËp tæng thÓ. Sö dông c¸c ®−êng cong ph©n bè gi¶i tÝch cho kh¶ n¨ng thµnh lËp c¸c qui luËt thèng kª dÆc thï cho d·y c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®Æc tr−ng cho mét vµ chØ mét hiÖn t−îng nh−ng ®−îc h×nh thµnh trong c¸c ®iÒu kiÖn b¶n chÊt kh¸c nhau. Cô thÓ, sù thµnh lËp t−¬ng tù ®−îc øng dông réng r·i trong c¸c nghiªn cøu thuû v¨n víi môc ®Ých lµm s¸ng tá c¸c qui luËt thèng kª ®Æc thï cho chuçi dßng ch¶y n¨m vµ dßng ch¶y cùc ®¹i . Víi sù m« t¶ ph©n tÝch nhê ®−êng cong ph©n bè chuçi t¹o ra trªn c¬ së tµi liÖu quan tr¾c n¶y sinh c¸c bµi to¸n c¬ b¶n sau: 1. Chän c¸c ®−êng cong ph©n bè phï hîp nhÊt víi tËp thèng kª ®ang xÐt. Trong ®iÒu kiÖn sö dông chän läc h¹n chÕ theo sè l−îng c¸c sè liÖu thuû v¨n d¹ng hµm ph©n bè th−êng ban ®Çu ®−îc chän trªn c¬ së tÝnh ®Õn c¸c luËn ®iÓm chung, cô thÓ lµ sù phï hîp cña qui luËt ph©n bè øng dông bëi c¸c ®iÒu kiÖn biªn thay ®æi c¸c ®Æc tr−ng thuû v¨n ®ang xÐt. TiÕp theo tiÕn hµnh sù kiÓm tra réng r·i (øng dông cho c¸c ®iÒu kiÖn kh¸c nhau cña s«ng ngßi ) tiÝnh phï hîp cña qui luËt ph©n bè x¸c suÊt ®ang nhËn víi tµi liÖu thùc nghiÖm. Sù kiÓm tra nµy ë giai ®o¹n ®Çu sö dông ®−êng cong ph©n bè ®Ó tÝnh to¸n c¸c ®Æc tr−ng thuû v¨n ®−îc hoµn thµnh trªn c¬ së so s¸nh trùc tiÕp c¸c ®−êng cong ®¶m b¶o gi¶i tÝch vµ thùc nghiÖm. TiÕp theo lµ thö c¸c thñ thuËt −íc l−îng kh¸ch quan nh− chØ tiªu thèng kª χ2, chØ tiªu Kolmogorov - Smirnov vµ v.v.. 2. Sau khi chän d¹ng hµm ph©n bè n¶y sinh bµi to¸n x¸c ®Þnh gi¸ trÞ sè cña c¸c tham sè hµm ®ã, chóng ®−îc tÝnh theo sè liÖu quan tr¾c cho ®Æc tr−ng dßng ch¶y nµy hoÆc kia cña thµnh phÇn nµo ®ã thuéc chÕ ®é thuû v¨n s«ng ngßi. Sù lùa chän ®óng hµm ph©n bè vµ c¸c tham sè b»ng sè cña nã x¸c ®Þnh theo sè liÖu thùc nghiÖm 60 ( trung b×nh sè häc, hÖ sè biÕn ®æi, hÖ sè bÊt ®èi xøng), ®¶m b¶o tõ quan ®iÓm nguyªn t¾c b×nh ph−¬ng tèi thiÓu, sù lµm tr¬n tèt nhÊt ph©n bè thùc nghiÖm . 3. Khi xÐt c¸c sai sè cã thÓ cña viÖc x¸c ®Þnh tham sè ph©n bè bÞ chi phèi bëi tÝnh h¹n chÕ cña lùa chän ®ang xÐt trong tÝnh to¸n quan träng lµ ®¸nh gi¸ ®Þnh l−îng c¸c sai sè ®ã. Sù ®¸nh gi¸ nh− vËy ®−îc thùc hiÖn hoÆc nhê sö dông c«ng thøc lý thuyÕt rót ra mét vµi h¹n chÕ, hoÆc víi øng dông ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm thèng kª. 2.2 Qui luËt ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c Trong thùc tiÔn tÝnh to¸n thuû v¨n ®−êng cong Piecson III ®−îc phæ biÕn réng r·i nhÊt khi thÓ hiÖn kh¸i qu¸t ®−êng cong ph©n bè nhÞ thøc ®èi víi tr−êng hîp ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc. Qui luËt ph©n bè nhÞ thøc t−¬ng øng víi viÖc lÆp mét thÝ ngjiÖm duy nhÊt víi c¸c ®iÒu kiÖn kh«ng ®æi vµ chØ cã hai kÕt qu¶ xuÊt hiÖn (x¸c suÊt p) vµ kh«ng xuÊt hiÖn (x¸c suÊt q = 1- p) cña biÕn cè ngÉu nhiªn . Mçi gi¸ trÞ cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n bè theo qui luËt ph©n bè nhÞ thøc thÓ hiÖn sè tr−êng hîp (m) thùc hiÖn ®−îc biÕn cè ngÉu nhiªn nµo ®ã tõ n tr−êng hîp cã thÓ. Tr×nh bµy s¬ ®å qui luËt ph©n bè nhÞ thøc cã thÓ thùc hiÖn ®−îc nhê c¸c ®Þnh lý céng vµ nh©n x¸c suÊt . Theo ®Þnh lý céng x¸c suÊt suy ra r»ng x¸c suÊt xuÊt hiÖn mét biÕn cè ®éc lËp kh«ng b¸o tr−íc b»ng tæng x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã, hoÆc nãi c¸ch kh¸c lµ nÕu biÕn cè ngÉu nhiªn A cã thÓ xuÊt hiÖn ë mét sè d¹ng A1, A2, A3, ..., An, cã c¸c x¸c suÊt kh¸c nhau - p1, p2, ..., pn, th× x¸c suÊt xuÊt hiÖn ®¹i l−îng A ë d¹ng A1, A2, A3, ..., Ak, (k<n) sÏ b»ng tæng x¸c suÊt c¸c biÕn cè A1, A2, A3, ..., Ak, tøc lµ: P = p1 + p2 + ... + Pk Cã khi ng−êi ta viÕt ®Þnh lý nµy d−íi d¹ng: ),K(p...)B(p)A(p)K...BA(P +++=∪∪∪ C¸c biÕn cè A, B, ..., K lµ ®éc lËp. Ký hiÖu ∪cã nghÜa lµ "hoÆc". Theo ®Þnh lý nh©n x¸c suÊt suy ra r»ng x¸c suÊt trïng cña mét vµi biÕn cè ngÉu nhiªn ®éc lËp b»ng tÝch x¸c suÊt cña chóng. 61 BiÕn cè ngÉu nhiªn ®éc lËp ®−îc hiÓu lµ c¸c biÕn cè mµ kÕt qu¶ thö nghiÖm lÇn sau kh«ng phô thuéc vµo lÇn tr−íc, vµ do vËy lÇn thö sau kh«ng thÓ ®o¸n trªn c¬ së thùc hiÖn nh÷ng lÇn thö tr−íc. §Þnh lý nh©n x¸c suÊt th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng: P(AB...K) = p(A)p(B)...p(K). Khi ®ã còng gi¶ thiÕt r»ng biÕn cè A, B, ..., K lµ ®éc lËp víi nhau. T−¬ng øng víi nhøng ®iÒu nªu trªn qui luËt ph©n bè nhÞ thøc nhËn ®−îc khi gi¶i quyÕt bµi to¸n sau: TiÕn hµnh n lÇn thö ®éc lËp, mµ kÕt qu¶ thö biÕn cè cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ d−¬ng 0, 1, 2, ..., n víi c¸c x¸c suÊt p0, p1, p2, ..., pn. X¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A duy nhÊt b»ng p, cßn x¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè ng−îc B (kh«ng xuÊt hiÖn A) b»ng q. Yªu cÇu x¸c ®Þnh x¸c suÊt Pm xuÊt hiÖn biÕn cè A m lÇn víi n lÇn thö. Trong c¸c phô lôc kü thuËt biÕn cè A ®−îc hiÓu lµ l−îng s¶n phÈm tèt trong dung l−îng nµo ®ã cña tËp, cßn biÕn cè ng−îc lµ s¶n phÈm cã lçi. §· cã lÇn thö [58] xÐt c¸c tËp thèng kª ®¹i l−îng dßng ch¶y tõ quan ®iÓm cña qui luËt ph©n bè nhÞ thøc . Trong tr−êng hîp ®ã biÕn cè A coi lµ thêi ®o¹n m−a, trong thêi gian ®ã dßng ch¶y ®−îc h×nh thµnh, vµ biÕn cè ng−îc lµ thêi ®o¹n kh«ng m−a. Khi ®ã ng−êi ta coi r»ng b¾t ®Çu thêi ®o¹n m−a vµ kh«ng m−a lµ c¸c biÕn cè ®éc lËp, do vËy x¸c suÊt thêi ®o¹n m−a (p) vµ kh«ng m−a (q) lµ kh«ng ®æi trong mäi lÇn thö. Trong c¸c x©y dùng lý thuyÕt x¸c suÊt kinh ®iÓn coi m« h×nh qui luËt ph©n bè nhÞ thøc th−êng xÐt s¬ ®å cuèn hót (víi vßng quay tiÕp theo) c¸c qu¶ cÇu trong lång chøa p cÇu ®ªn vµ q cÇu tr¾ng. Râ rµng c¸c vÝ dô trªn ®Òu dÉn tíi mét s¬ ®å to¸n häc thèng nhÊt. V× lÏ ®ã ta copi kÕt luËn qui luËt ph©n bè nhÞ thøc lµ bèi c¶nh chung cña bµi to¸n. Trong tr−êng hîp khi thùc hiÖn thÝ nghiÖm cÇn xuÊt hiÖn mét trong hai biÕn cè A hoÆc B cã x¸c suÊt p hoÆc q vµ tæng x¸c suÊt cña chóng p + q = 1, v× biÕt ch¾c ch¾n r»ng hoÆc A, hoÆc B trong thÝ nghiÖm sÏ ®−îc thùc hiÖn. XÐt tuÇn tù c¸c tr−êng hîp víi 2, 3, 4 lÇn thö, sau ®ã kh¸i qu¸t cho n lÇn thö. NÕu x¸c suÊt biÕn cè víi 1 lÇn thö b»ng p, th× víi 2 lÇn thö kh¶ n¨ng x¶y ra biÕn cè A 0 lÇn (tøc lµ kh«ng x¶y ra biÕn cè A, c¶ hai lÇn ®Òu xuÊt hiÖn biÕn cè B), 1, 2 lÇn. Trªn c¬ së lý thuyÕt nh©n vµ céng x¸c suÊt t−¬ng øng sÏ b»ng: P0 = qq; P1 = pq+qp; P2= pp 62 Nh− vËy, x¸c suÊt P(m) xuÊt hiÖn biÕn cè m lÇn (0; 1; 2) trong hai lÇn thö (n=2) cã ph©n bè nh− sau: m ... 0 1 2 P( m) ... q2 2p q p2 §èi víi ba lÇn thö (n=3) t−¬ng tù ta nhËn ®−îc: m . .. 0 1 2 3 P (m) . .. q 3 3 pq2 3 p2q p 3 Ph©n bè x¸c suÊt nµy t−¬ng øng víi ph©n bè sè h¹ng cña nhÞ thøc: (p+q)2 = p2 + 2pq + q2 (p+q)3=p3+3p2q+3pq2+p3 ThÊy r»ng sè tr−êng hîp xuÊt hiÖn (hay kh«ng xuÊt hiÖn ) ®¹i l−îng A trong mçi ph©n bè b»ng n+1. Qui luËt ph©n bè x¸c suÊt trªn dÔ dµng më réng cho sè lÇn thö kh«ng h¹n chÕ. Gi¶ sö thÝ nghiÖm n lÇn. Kh«ng cÇn xÐt tíi trËt tù xuÊt hiÖn biÕn cè ngÉu nhiªn cã thÓ thùc hiÖn cho lÇn n+1 tiÕp theo: 1) kh«ng xuÊt hiÖn n lÇn biÕn cè A 2) xuÊt hiÖn (n-1) lÇn biÕn cè B vµ 1 lÇn biÕn cè A 3) xuÊt hiÖn (n-2) lÇn biÕn cè B vµ 2 lÇn biÕn cè A ............................................................................ m+1) xuÊt hiÖn (n-m) lÇn biÕn cè B vµ m lÇn biÕn cè A, v.v... n) xuÊt hiÖn 1 lÇn biÕn cè B vµ ( n-1) lÇn biÕn cè A n+1) xuÊt hiÖn n lÇn biÕn cè A. X¸c suÊt tr−êng hîp thø nhÊt lµ qn. Tr−êng hîp thø hai cã thÓ x¶y ra mét trong c¸c d¹ng: hoÆc lµ xuÊt hiÖn biÕn cè A trong lÇn thö thø nhÊt, hoÆc lÇn thø hai, 63 hoÆc lÇn thø ba, v.v.. cho ®Õn lÇn cuèi cïng, h¬n n÷a trong mäi tr−êng hîp cßn l¹i ®Òu xuÊt hiÖn biÕn cè B; x¸c suÊt mçi biÕn cè trong c¸c d¹ng nµy b»ng nhau vµ b»ng qn-1p, v× sè l−îng c¸c d¹ng nµy b»ng n, nªn x¸c suÊt tr−êng hîp thø hai sÏ b»ng: P2 = nq n-1p Trong tr−êng hîp thø ba x¸c suÊt mçi d¹ng b»ng qn-2p, cßn sè d¹ng khi thùc hiÖn tr−êng hîp thø ba, tÊt nhiªn, b»ng sè kÕt hîp tõ n thµnh tè theo 2, tøc lµ: . n )1n(nC2n −= Suy ra x¸c suÊt tr−êng hîp thø ba b»ng: .pqCP 22n2n3 −= B»ng c¸ch t−¬ng tù cã thÓ t×m thÊy x¸c suÊt mäi tr−êng hîp cßn l¹i. Phï hîp víi qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ®· tr×nh bµy, kh¸i qu¸t cho n thµnh viªn, cã thÓ viÕt d−íi d¹ng sau: .1pnqp...pq !m )1mn)...(1n(n ...pq !3 )2n)(1n(npq !2 )1n(npnqq)pq( n1nmmn 33n22n1nnn =++++−−+ +−−+−++=+ −− −−− (2.1) Tæng tÊt nhiªn lµ b»ng 1, v× q+p=1 X¸c suÊt r»ng biÕn cè B xuÊt hiÖn (n-m) lÇn, cßn biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn, sÏ b»ng: ,pqC)m(P mmnmn −= (2.2) hoÆc: ,pq )!mn(!m !npq )!mn(!m )1mn)...(1n(n)m(P mmnmmn −− −=− +−−= (2.3) tøc lµ b»ng thµnh viªn thø (n-m) , hoÆc thµnh viªn chøa ®¹i l−îng pm trong khai triÓn nhÞ thøc (q+p)m. Ph©n bè nh− thÕ gäi lµ nhÞ thøc. KÕt luËn trªn trùc tiÕp suy ra tõ s¬ ®å lËp luËn g¾n −íc l−îng x¸c suÊt kh«ng liªn tôc ( rêi r¹c ) cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®−îc ký hiÖu qua m. 64 D¹ng chung cña qui luËt ph©n bè nhÞ thøc víi n vµ p kh¸c nhau thÓ hiÖn trªn h.2.1. Khi p=0,5 qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ®èi xøng, Nã tiÕn tíi ®èi xøng víi n t¨ng vµ ngay c¶ khi p ≠ 0,5, h¬n thÕ cßn ®¹t tíi giíi h¹n nhanh h¬n khi p cµng gÇn gi¸ trÞ 0,5. Víi p 0,5 - lÖch ph¶i (©m). Kú väng to¸n häc [E(m)] ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c m, ph©n bè theo qui f) e)d) c) b)a) H×nh. 2.1 Ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c víi c¸c tham sè n vµ p kh¸c nhau a) n=10, p=0,8; b) n=10, p=0,5; c) n=10, p=0,2; d) n=5, p=0,2; e) n=20, p=0,2; f)n=15, p=0,2. luËt nhÞ thøc, b»ng np)m(Em == (2.4) §¼ng thøc 4) nhËn ®−îc nh− s . Khi sö dông c«ng thø (2.2) còng nh− biÓu thøc (1.3) vµ q ∞→ =n m(Em Víi m=0, s np ra khái dÊu tæng == )m(Em (2.=1-p, ta cã: ∑∑ == == n 0m n 0m n mC)m(mP) è h¹ng thø nhÊt b»ng k , ta cã: ∑− = −− −1n 1m p )!mn()!1m( )!1n(npau∑ = − −=− n 0m mnmm n n(!m nm)p1(p h«ng. V× thÕ lÊy tæng b¾t −− − mn1m .)p1( c −− mnm .)p1(p )!m ! ®Çu tõ m=1. §−a 65 Trong ®¼ng thøc cuèi cïng dïng phÐp thÕ y = m-1 vµ z = n-1; kÕt qu¶ nhËn ®−îc: ∑− = −−−== 1n 1m yzy ,)p1(p )!yz(!y !znp)m(Em v× n-m = z+1-(y+1) = z-y. Do ®ã tæng trong ®¼ng thøc nµy so víi (2.1) b»ng 1, vµ ta cã npm = . DÉn c«ng thøc ®Ó ph−¬ng sai ®¹i l−îng rêi r¹c ph©n bè theo qui luËt nhÞ thøc: .mm n m m2mm n mm2mm n )mm( )m( 2 n 0m 2 n 0m2 n 0m 2 n 0m n 0m 2 n 0m 2 n 0m 2 2 −=−+= = −+ = − =σ ∑∑∑ ∑∑∑∑ = = = ==== Kú väng to¸n häc m2 b»ng: ∑ ∑∑∑ = === +−=== n 0m n 0m n 0m 2 n 0m 22 ),m(mP)m(P)1m(m)m(Pmm)m(E víi P(m) - qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn m. Tæng thø hai trong biÓu thøc trªn lµ kú väng to¸n häc (1.3). Sè h¹ng ®Çu tiªn cã thÓ thÓ hiÖn d−íi d¹ng .)p1(p )!mn(!m !n)1m(m )p1(pC)1m(m)m(P)1m(m mnm n 0m n 0m n 0m mnmm n − = = = − −−−= −−=− ∑ ∑ ∑ §−a ra khái dÊu tæng n(n-1)p2 vµ thay ®æi giíi h¹n tæng: .)p1(p )!mn()!2m( )!2n(p)1n(n)m(P)1m(m mn2m n 2m 2 n 0m −− == −−− −−==− ∑∑ §−a vµo c¸c ký hiÖu míi: y=m-2 vµ z=n-2, khi ®ã: 66 .p)1n(n)p1(pCp)1n(n)m(P)1m(m 2yzy z 0y z y 2 n 0m −=−−==− − == ∑∑ Trong biÓu thøc ban ®Çu ®èi víi ph−¬ng sai thay c¸c sè h¹ng võa nhËn ®−îc: ,npq)p1(np)np1pnp(np ]np1)1n(p[nppnnpp)1n(n m)m(mP)m(P)1m(mmm)m( 222 n 0m 2 n 0m 2 n 0m 22 =−=−+−= =−+−=−+−= =−+−=−=σ ∑∑∑ === v× : 222 n 0m pnm npm)m(mP = ==∑ = Nh− vËy, ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn m ph©n bè theo qui luËt nhÞ thøc, b»ng: npq)p1(np)m(2 =−=σ (2.5) M«men trung t©m bËc ba ®èi víi qui luËt ph©n bè nhÞ thøc dÉn ra kh«ng diÔn gi¶i, v× ®· cã trong s¸ch cña Mitropolski[89], )pq(npq3 −=µ (2.6) BiÓu diÔn c¸c tham sè cña ph©n bè ®ang xÐt th«ng qua c¸c ®¹i l−îng th−êng øng dông trong thuû v¨n - hÖ sè biÕn ®æi vµ hÖ sè bÊt ®èi xøng. TÝnh ®Õn (1.22), (1.27), (2.4)-(2.6), ta ®−îc: , np q np npq m C mv ==σ= (2.7) . q )np( q pn q pnpqn q )np(npq np q )pq(npq C C 5 2/3 2/52/5 2/3 2/32/3 3 3 33v 3 s ==== ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=µ= (2.8) S¬ ®å nhÞ thøc ®èi víi ph©n bè rêi r¹c c¸c ®¹i l−îng cã thÓ t×m thÊy øng dông khi gi¶i mét sè bµi to¸n thuû v¨n. XÐt vÝ dô sau. Trong kÕt qu¶ quan tr¾c trªn mét sè con s«ng x¸c ®Þnh r»ng trong vßng 20 n¨m quan s¸t thÊy 4 tr−êng hîp s«ng kh« c¹n. Yªu cÇu x¸c ®Þnh x¸c suÊt cho thêi kú 20 n¨m cã thÓ quan s¸t thÊy s«ng kh« c¹n tõ 2 ®Õn 10 tr−êng hîp. 67 §Ó ¸p dông qui luËt nhÞ thøc ë d¹ng (2.2) cÇn biÕt gi¸ trÞ tham sè P, mµ nã trong ®a sè c¸c tr−êng hîp phô lôc thuû v¨n kh«ng biÕt tr−íc. Cho nªn x¸c ®Þnh nã ®−îc thùc hiÖn xÊp xØ trªn c¬ së c¸c sè liÖu thùc nghiÖm.Khi gi¶i c¸c bµi to¸n t−¬ng tù coi −íc l−îng P lµ tû sè: , n mP = (2.9) víi m - sè kÕt qu¶ thuËn lîi; n - sè lÇn thö. Khi sö dông c«ng thøc (2.9), ta cã: .2,0 20 4P == Sai sè trong viÖc x¸c ®Þnh P, tÝnh theo c«ng thøc (2.9) cµng lín nÕu sè lÇn thö cµng Ýt. Giíi h¹n dao ®éng cã thÓ cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (ch¼ng h¹n nh− P, x¸c ®Þnh theo mÉu ngÉu nhiªn) ®−îc ®¸nh gi¸ trong thèng kª víi viÖc sö dông kh¸i niÖm kho¶ng tin cËy, chØ ra c¸c giíi h¹n, mµ trong khuon khæ cña nã c¸c ®¹i l−îng ®ang xÐt cã thÓ thay ®æi víi c¸c møc x¸c suÊt kh¸c nhau. Kho¶ng tin cËy ®¶m b¶o kho¶ng 95 vµ 99% ®èi víi P trong tr−êng hîp ph©n bè nhÞ thøccã thÓ nhËn ®−îc khi sö dông tuú thuéc trªn h×nh 2.2 vµ 2.3. Trªn c¸c h×nh nµy thÊy r»ng ®èi víi P nhËn ®−îc P = 0,2 vµ n = 20 giíi h¹n tin cËy 99% cña P lµ 0,02 vµ 0,39. Râ rµng khi t¨ng thêi gian quan tr¾c (n) giíi h¹n tin cËy sÏ nhá h¬n.Theo biÓu thøc (2.2) ta tÝnh x¸c suÊt cho 20 n¨m sÏ lµ tuÇn tù 1, 2, . . . , 10 tr−êng hîp víi s«ng kh« c¹n trong mïa hÌ: .000086,08,0.2,0.C)12(P ,0005,08,0.2,0.C)11(P ,002,08,0.2,0.C)10(P ,0074,08,0.2,0.C)9(P ,0221,08,0.2,0.C)8(P ,0540,08,0.2,0.C)7(P ,1090,08,0.2,0.C)6(P ,1746,08,0.2,0.C)5(P ,2180,08,0.2,0.C)4(P ,2050,08,0.2,0.C)3(P ,137,08,0.2,0.C)2(P ,0576,08,0.2,0.C)1(P ,0115,08,0.2,0.C)0(P 81212 2020 91111 2020 101010 2020 1199 2020 1288 2020 1377 2020 1466 2020 1555 2020 1644 2020 1733 2020 1822 2020 1911 2020 2000 2020 == == == == == == == == == == == == == 68 HÖ sè nhÞ thøc víi n nhá cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh kh¸ ®¬n gi¶n tõ tam gi¸c Pascal: m nC n HÖ sè mnC 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 . . . . . . . . . . . Gi¸ trÞ sè cña c¸c hÖ sè mçi dßng ngang tiÕp theo trong giíi h¹n tam gi¸c Pascal ®−îc nhËn b»ng tæng hai sè ph©n bè ë dßng tr−íc ®ã vÒ hai phÝa tr¸i vµ ph¶i cña hÖ sè ®ã. §å thÞ ph©n bè víi n = 20 vµ p = 0,2 thÓ hiÖn trªn h. 2.1 d: gi¸ trÞ trung b×nh cña ®¹