Các đề thi vào lớp 10 chuyên toán tin

CAÙC ÑEÀ THI VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN-TIN TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP.HCM Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net MỤC LỤC Năm học 1993 – 1994 ............................................................................................ 3 Năm học 1994 – 1995 ............................................................................................ 6 Năm học 1995 – 1996 ............................................................................................ 8 Năm học 1996 – 1997 ............................................................................................ 11 Năm học 1997 – 1998 ............................................................................................ 13 Năm học 1998 – 1999 ............................................................................................ 16 Năm học 1999 – 2000 ............................................................................................ 19 Năm học 2000 – 2001 ............................................................................................ 22 Năm học 2001 – 2002 ............................................................................................ 25 Năm học 2002 – 2003 ............................................................................................ 28 Năm học 2003 – 2004 ............................................................................................ 31 Năm học 2004 – 2005 ............................................................................................ 34 Năm học 2005 – 2006 ............................................................................................. 37 Năm học 2006 – 2007 ............................................................................................ 40 Năm học 1993 – 1994 Ngày thứ nhất Bài 1 Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai số tự nhiên nào đó. a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2nP cũng là các số “Pitago”. b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không phải là các số “Pitago”. Bài 2 a) Giải phương trình căn thức : 343 49 4 3 12 3x x x− = − − b) Chứng minh đẳng thức 4 449 20 6 49 20 6 3 2 + + − = Bài 3 Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa. Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C thắng D. Bài 4 Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một cô đang đọc sách. Biết thêm rằng : 1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách. 2. Mận không viết thư và không sửa áo. 3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo. 4. Mai không đọc sách và không sửa áo. 5. Mơ không đọc sách và không viết thư. Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 3 Bài 5 Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều O ABC . Các đường thẳng , ,AO BO CO cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A1,B1,C1 tương ứng. Biết rằng : 1 1 1 1 1 1AB O CA O BC O CB O BA O AC S S S S S S+ + = + ++ + + + + + O Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC. Ngày thứ hai Bài 1 Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau A và B, mỗi tập có n phần tử. Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng : 1 2 1... }{ n nA a a a a−< < < <= và 1 2... }{ n nB b b b b− 1< < < <= Hãy chứng minh đẳng thức : |a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|=n2 Bài 2 Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này. Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn, M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM. Bài 4 Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 4 Bài 5 Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các xâu A,B,C ,… như sau : A=(a1,a2,…,a32) B=(b1,b2,…,b32) C=(c1,c2,…,c32) với ai,bi,ci,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32. Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy. Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau : _ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui tắc : (a1,a2,…,a32) ⇒ (ak,ak+1,…,a31,a32,a1,a2,…,ak-1). _ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc A&B ⇒ C, với 1 nếu (ai = 1,bi = 0) hay (a1 = b1 = 1) c1 = 0 nếu (ai = 1,b i= 0) hay (a1 = 0,b1 = 1) Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng, bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 5 Năm học 1994 – 1995 Ngày thứ nhất Bài 1 Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết : a) A và C b) B và E c) B và F d) A và F e) A và D Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết. Bài 2 a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó (Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi 1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ. b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ? Bài 3 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia hết cho y. Bài 4 a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất : a b c d< < < f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d| b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực. Bài 5 Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I. Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc . 060BAC∠ = Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 6 Ngày thứ hai Bài 1 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 4 2 x xy y x xy y ⎧⎪⎨⎪⎩ 13 6 − + = + − = − Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c. b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh AB : AC : BC = 3 : 4 : 5. Bài 3 Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m ta có : 1 2 3, , ,..0 :a a a≥ . amn = an + am . Bài 4 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn các tính chất sau : i) x và y đều có hai chữ số ii) x = 2y iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x. Bài 5 Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con. Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 1200. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 7 Năm học 1995 – 1996 Ngày thứ nhất Bài 1 Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời “có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi : a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau. b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau. c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”. d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có” thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi. Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao cho AE CF BE DF = . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD. Bài 3 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số A abcd= thỏa điều kiện : i) 2( 2abd b d a= + − ) ii) A + 72 là một số chính phương Bài 4 a) Chứng minh với mọi giá trị thực của x ta luôn có : 2 4 23 6 12 5 10 9x x x x 5+ + + − + ≥ b) Giải phương trình : 2 4 23 6 12 5 10 9 3 4 2 2x x x x x+ + + − + = − − x Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 8 giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố định. Ngày thứ hai Bài 1 Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng : 1> a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi k n≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n. b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi k n≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n. Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau : 1 2 xyz m x y xyz y z xyz z x ⎧ =⎪ +⎪⎪ =⎨ +⎪⎪ =⎪ +⎩ trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực. Bài 3 Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 2 1995, ,...,a a a 2 1 2 1995 1 1995 1( 2 ... 1995 ) ( ... ) 2 A a a a a a+ + + > + + Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 9 Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD. a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài nhau thì ta luôn có AB + CD ≤ AD + BC b) Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi. Bài 5 a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho : 135 180AOB≤ ∠ ≤o o b) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh . Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao cho: ( 5n ≥ ) 11 180 180AOB n ⎛ ⎞− ≤ ∠ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ o o. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 10 Năm học 1996 – 1997 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho số nguyên k. a) Chứng minh chia hết cho 11 khi và chỉ khi với t là số nguyên 2 5kk + + 5 5 1 11 4k t= + b) Chứng minh không chia hết cho 121. 2 3kk + + Bài 2 Giải phương trình . 4 4( 2) ( 3)x x− + − = Bài 3 Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi C là đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. a) Chứng minh rằng tâm của C nằm trên đường thẳng AI. b) Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A ⇔ C tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC. Bài 4 Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau. Bài 5 Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, ở một bảng có kết quả như sau : A nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 11 Ngày thứ hai Bài 1 Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình 2 1 0x px+ + = ; c,d là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh hệ thức : 2 1 0y qy+ + = 2( )( )( )( ) (a c a d b c b d p q− − − − = − ) Bài 2 Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện : 2 2 2 5 9 x y z x y z + + =⎧⎨ + + =⎩ Chứng minh : 71 , , 3 x y z≤ ≤ Bài 3 a) Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện tích tứ giác ABCD. b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi. Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM tại N. Tìm quĩ tích điểm N. Bài 4 Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho 1n n 1− + + là số hữu tỉ Bài 5 a) Chứng minh với , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương. 3N ≥ b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương. 3nm ≥ Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 12 Năm học 1997 – 1998 Ngày thứ nhất Bài 1 Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì 1 1 1 1 1 1 1x xy y yz z zx + + =+ + + + + + Bài 2 Cho phương trình . 2( 2) (2 1) 3m x m x m+ − − − + = 0 a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia. Bài 3 Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km. Thị trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d (km/h) không đổi. Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x (km/h) không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y (km/h) không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A một khoảng cách là 1 3 D . Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B; tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là 5 27 D . Hãy tìm vận tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa. Bài 4 Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kỳ nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 13 tròn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường thẳng BD và CD. Bài 5 Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : 12345...585960A = . a) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A1 tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất; b) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A2 tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất. Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm tất cả các số dương x, y thỏa : 1 4 3 3 x y x y ⎧ + ≤⎪⎨⎪ + =⎩ b) Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa : 1 4 9 3 12 x y z x y z ⎧ + + =⎪⎨⎪ + + ≤⎩ Bài 2 a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 5. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 25. Bài 3 Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đó mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước. Biết rằng : i) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý. Còn số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 14 ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người đã đi Pháp. a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước. b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp. Bài 4 a) Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD , ta có : AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta có: AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra. Bài 5 Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa : (*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau. a) Chứng minh n ≤ 36 b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2, a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 15 Năm học 1998 – 1999 Ngày thứ nhất Bài 1 a) Giải phương trình 5 2x x 7− = − . b) Giải hệ phương trình 2 3 1 3 2 7 x y x y 5+ − =⎧⎨ + =⎩ Bài 2 a) Chứng minh hằng đẳng thức : 2 2 2 2( 1) 4 4 (m m m m m m+ − + + = + + 21) 0 . b) Cho phương trình 2 2( 1) 1mx m m x m− + − + + = (1). Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1. Bài 3 a) Giải và biện luận theo m bất phương trình ( 2)( 3 ) ( 3)( 1)x x m x x m+ − > − + − b) Cho 3 3 2 1 1: a b a bA ab a ba b 2− − − − ⎛ ⎞− −= −⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎝ ⎠ . Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A. Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q. BP cắt CQ tại I. a) Cho CM = 1, hãy tính BI, CI. b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I. Bài 5 Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 16 Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội xếp thứ 3 được 5 điểm. Các đội còn lại có số điểm khác nhau. Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và số điểm của các đội còn lại (có giải thích rõ). Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2n-1 chia hết cho 7. b) Cho số nguyên tố p ≥ 5. Đặt A = 3p – 2p – 1. Chứng minh A chia hết cho 42p. Bài 2 Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai : P = “a = 2b + 5” Q = “(a + 1) chia hết cho b” R = “(a + b) chia hết cho 3” S = “(a + 7b) là số nguyên tố” a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích). b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn lại. Bài 3 a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng, trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 2 2 . b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1 32 . Bài 4 Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : x + y + z = p + q + r = 1 và pqr ≤ 1 2 . Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 17 a) Chứng minh rằng nếu : x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥ 2 x y+ b) Chứng minh rằng : px + qy + rz ≥ 8xyz Bài 5 a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, 8 thành 1 dãy a1, a2,…, a8 sao cho với 2 số ai, aj bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy nằm giữa ai và aj đều khác 2 i ja a+ . b) Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên 1 luôn tìm được cách sắp thành dãy a ,2,..., N 1, a2,…, aN sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a). Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 18 Năm học 1999 – 2000 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho . 2( ) 2( 2) 6 1f x x m x m= − + + + a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 2 a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 21 1x y y x− + − =1 (1) Chứng minh rằng (2) 2 2 1x y+ = b) Từ đẳng thức (2) có suy ra đẳng thức (1) được hay không ? Giải thích rõ câu trả lời. Bài 3 a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 3x y z+ + = , 1 1 1 1 3x y z + + = . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3. b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình : 2 3 1 1 1 1 3 2 1 x y z x y z y z ⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + =⎩ Bài 4 Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1 và 4 tiếp xúc ngoài với nhau. Một tiếp tuyến chung ngoài của tiếp xúc với lần lượt tại A, B. Tìm bán kính của đường tròn (C) tiếp xúc đồng thời và AB. 1 2( ),( )C C 1 2( ),( )C C 1 2( ),( )C C 1 2( ),( )C C Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 19 Bài 5 a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3). Chứng minh rằng dù lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau. b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt. Điều khẳng định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời. Ngày thứ hai Bài 1 a) Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0. Viết phương trình bậc hai nhận 3 31 2,x x làm hai nghiệm. b) Giải bất phương trình : 2 2 2( 4 10) 7( 4 11) 7x x x x+ + − + + + < 0 4 Bài 2 a) Khai triển biểu thức 4 ( 1)n n+ + thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp. Bài 3 Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác. a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của 2 21 2S S S 2 3+ + . b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và AB. Đường thẳng đi qua P1 và song song BC cắt AB và AC tại BB1 và C1. Đường thẳng đi qua P2 và song song CA cắt BC và BA tại C2 và A2. Đường thẳng đi qua P3 và song song AB cắt CA và BC tại A3 và B3B . Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC1BB1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 20 Bài 4 Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước n x n ô bằng các viên gạch dạng như hình vẽ bên dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát. a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại một góc nhà. b) Hãy chứng minh rằng,. luôn luôn tồn tại cách lát nền nhà có kích thước 2k x 2k (k nguyên dương) với ô trống còn lại nằm ở vị trí (i, j) bất kỳ. Bài 5 a) Chứng minh đẳng thức | | 2max{ , } ,x y x y x y x y+ + − = ∀ ∈\ b) Chứng minh đẳng thức 2 2 1 1 14max , , , , 0a b a b a b a b a b c ab ab c ab ab c a b c + − + − ⎧ ⎫+ − + + + = ∀⎨ ⎬⎩ ⎭ ≠ trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 21 Năm học 2000 – 2001 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0 a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1. b) Hãy tính giá trị của biểu thức : 1 2 2 1| 2 | | 2 |A x x x x= − + − . Bài 2 a) Giải hệ phương trình : 2 6 8 x y xy − =⎧⎨ =⎩ b) Giải hệ phương trình : 2 2( ) 2( 1) x y z x y z xy z ⎧ + =⎪ = +⎨⎪ = +⎩ Bài 3 a) Giải phương trình 11x x x + + = . b) Gọi ,α β là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt là m và n. Tìm m và n nếu 5 7 α β = . Bài 4 Cho tam giác ABC có đường cao BD. Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N. a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng ADM CDN∠ =∠ . Bài 5 Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 22 a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được những điểm số nào. b) Giả sử đội bóng A được xếp