Các đề thi đại học từ năm 2002 đến 2009 – Phần hình học không gian

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2009 – Phần hình học không gian. Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc , cho 2 đường thẳng : 1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất. Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 ) Bài 2 : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a 1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B và B1D. 2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD , A1D1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1N. Đáp số : 1) 2) Góc giữa MP và C1N bằng 900 Bài 3 : D – 2002 : 1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp ( ABC ) , AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ). 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x – y + z = 0 và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là : ( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0 Xác định m để đường thẳng dm song song với mp ( P ) . Đáp số : 1) 2) m = - 1 / 2 Bài 4 : A – 2003 : 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện . 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau. Đáp số : 1) Số đo của góc phẳng nhị diện bằng 1200. 2) a) b) Bài 5 : B – 2003 : 1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 600 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4 điểm B’ , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho 2 điểm A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 0 ; 8 ) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) = 5. Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng dk là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình : Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + 5 = 0. Đáp số : 1 vtcp của dk là Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ; ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM. b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN Đáp số : a) Góc giũa SA và BM bằng 300 . Khoảng cách giũa SA và BM bằng : b) Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho điểm A ( - 4 ; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d :. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳn d. Đáp số : Bài 9 :D – 2004 : 1)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0 a)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ b)Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 1. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và AC’ lớn nhất 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) Đáp số : 1) a) b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa 2 đt trên lớn nhất bằng khi a = b = 2. 2) Phương trình mặt cầu : Bài 10 - A 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0. a.Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b.Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d. Đáp số : a) Có 2 điểm : I ( - 3 ; 5 ; 7 ) , I’ ( 3 ; - 7 ; 1 ) b) Phương trình tham số của Bài 11 - B 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B1(4; 0; 4) a.Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1). b.Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. Đáp số : a) A1 ( 0 ; - 3 ; 4 ) , C1 ( 0 ; 3 ; 4 ) , Pt mặt cầu : b) Pt mp ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, Tọa độ điểm N ( 0 ; - 1 ; 4) => MN = Bài 12. D 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1: và d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng a.Chứng minh rằng: d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2 b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích DOAB (O là gốc toạ độ) Đáp số : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0. b) Ta có A ( - 5 ; 0 ;– 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) => SOAB = 5 Bài 13- A 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. b.Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a biết cosa= Đáp số : a) b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 ( ). Vì ( Q) chứa A’ và C nên : c + d = 0 và a + b + d = 0. => c = - d = a + b. Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0 Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) . Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 1). Ta có : Với a = -2b : Chọn b = -1 => a = 2 . ta có ptmp : 2x – y + z – 1 = 0 Với b = -2a : Chọn a = 1 => b = - 2 . ta có ptmp : x – 2y - z + 1 = 0 Bài 14- B 2006 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng : d1: d2: a.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. b.Tìm toạ độ các điểm M Î d1, N Î d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M ( 0 ; 1 ; - 1 ) , N ( 0 ; 1 ; 1 ) Bài 15- D 2006 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d1: d2: a.Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b.Viết phương trình đường thẳng D đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 Đáp số : a) A’ ( -1 ; - 1 ; 4 ) b) Pt chính tắc của Bài 16 - A 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d1: và d2: a.Chứng minh rằng: d1 và d2 chéo nhau. b.Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2 Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho => M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 3) Phương trình chính tắc của d : Bài 17- B 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0 a.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b.Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất Đáp số : a) ( S) có tâm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ tròn có bk r = 3 nên ( Q ) phải chứa tâm I của mc ( S). Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên mp ( Q) có vtpt là => ( Q) : y – 2z = 0. Bài 18 - D 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) và đường thẳng D: a.Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất Đáp số : a) Ptđt d : b) M( - 1 ; 0 ; 4 ) Bài 19 - A 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2 ;5 ;3) và đường thẳng a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d) b) Viêt phương trình mặt phẳng (a) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới (a) là lớn nhất. Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d => H ( 3 ; 1 ; 4 ) b) Là mp đi qua H và vuông góc với AH => ptmp : x – 4y – z + 3 = 0. Bài 20 - B 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) . a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC. Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0. b) Gọi M( x ; y ; z ) thuộc ( P).Ta có hệ pt : Hoặc M thuộc đt v góc với mp ( ABC ) tại trung điểm I ( 0 ; - 1 ; 1 ) của BC. Tọa độ điểm M là nghiệm của hpt : Bài 21- D 2008 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3) a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đáp số : a) Pt m cầu ( S) : , tâm I ( 3 / 2 ; 3 / 2 ; 3 / 2 ) b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC => H ( 2 ; 2 ; 2 ) Bài 22 – A 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Đáp số : V=3a3Ö15/5 Bài 23 – B 2009 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Đáp số V= 9a3/208 Bài 24 – D 2009 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Đáp số V = 4a3/9 d= 2aÖ5/5