Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác

Mục lục 1 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Lời mở đầu Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán. Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm, người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh hoạt để tự giải được các bài tập Toán. Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài. Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng: Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác. Bài giảng số 2: Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức Brahmagupta’s. Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giác Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác Bài giảng số 4: Tổng và tích hữu hạn các hàm lượng giác Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng giác hơn nữa Bài giảng số 5:Ứng dụng lượng giác Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5 xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác. Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 3 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn. Hà Nội, ngày 19/5/2007 Sinh viên :Nguyễn Thị Thu Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 4 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận dụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biến đổi cơ bản. Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để học sinh luyện tập tốt các công thức lượng giác. Sự luyện tập này rất cần thiết để học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trong các bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập: §1: Hệ thức cơ bản của lượng giác §2:Công thức cộng cung §3: Hàm số lượng giác của những góc bội §4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng §5: Sử dụng định lý Viet bậc 3 Bài tập Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 5 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §1: Hệ thức cơ bản của lượng giác 1) sin2α + cos2 α = 1 ∀α 2) 1 + tg2α = 1 cos2 α 3) 1 + cotg2α = 1 sin2 α Bài toán 1.1 Biết sinα + cosα = m. Hãy tính theo m các biểu thức sau: 1) A = sin3 α + cos3 α 2) B = sin7 α + cos7 α Bài giải 1) A = sin3α + cos3 α Từ giả thiết suy ra: m2 = (sinα + cosα)2 = 1 + 2 sinα. cosα ⇒ sinα. cosα = m 2 − 1 2 Ta có A = (sinα + cosα)3 − 3 sinα. cos α(sin2 α + cos2α) ⇒ A = m2 − 3(m 2 − 1 2 ) 2) B = sin7 α + cos7 α ⇒ B = (sin3α + cos3 α)(sin4 α + cos4 α) − sin3 α. cos3 α(sinα + cosα) Ta có sin4 α + cos4α = (sin2 α + cos2 α)2 − 2 sin2 α. cos2 α = 1− 2 sin2 α. cos2 α Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 6 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác = 1− 1 2 (m2 − 1)2 Vậy B = [m3 − 3(m 2 − 1 2 )].[1 − 1 2 (m2 − 1)2]−m.(m 2 − 1 2 )3 *Chú ý: ∀k ∈ Z+ sink α + cosk α đều có thể tính theo m. Bài toán 1.2 Biết rằng (sinα + cosα) hữu tỉ. Chứng minh rằng ∀n ∈ Z+ sinn α + cosn α cũng là hữu tỉ Bài giải Chứng minh quy nạp Với n=1: (sinα + cosα) hữu tỉ. Với n=2: (sin2α + cos2 α) = 1 hữu tỉ. Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến n ∈ Z+ nghĩa là: sinn α+cosn α là hữu tỉ. Ta chứng minh sinn+1 α + cosn+1 α là hữu tỉ. Thật vậy, ta có: sinn+1 α + cosn+1 = (sinn α + cosn)(sinα + cosα)− − sinα. cosα(sinn−1 α + cosn−1 α) Theo giả thiết quy nạp: (sinα + cosα); (sinn−1 α + cosn−1); (sinn α + cosn) là các số hữu tỷ Mà sinα. cosα = (sinα + cosα)2 − 1 2 ⇒ sinα. cosα là số hữu tỷ Suy ra sinn+1 α + cosn+1 là số hữu tỷ ⇒Đpcm Vậy sinn α + cosn α là số hữu tỉ. Bài toán 1.3 Biết sinα − cosα = 1. Hãy tính A = sin3α + cos4 α Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 7 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giải Từ giả thiết: sinα − cosα = 1 bình phương hai vế ta được: sinα. cosα = 0 ⇔ [ cosα = 0 ⇒ sinα = 1 ⇒ sin3 α + cos4 α = 1 sinα = 0 ⇒ cosα = −1 ⇒ sin3 α + cos4 α = 1 Vậy A=1 Bài toán 1.4 Biết 3 sin4 α + 5 cos4 α = 5. Hãy tính giá trị của B = 5 sin4α + 3 cos4α Bài giải Từ giả thiết: 3 sin4α + 5 cos4 α = 5 ⇒ 3 sin4 α + 5(1− sin2 α)2 = 5 ⇒ 3 sin4 α + 5 + 5 sin4 α − 10 sin2α − 5 = 0 ⇒ 8 sin4 α − 10 sin2 α = 0 ⇒ sin2 α(4 sin2α − 5) = 0 ⇔  sin2 α = 54 > 1(loi) sin2 α = 0 ⇒ cos2 α = 1 ⇒ 5 sin4 α + 3 cos4α = 5.0 + 3.1 = 3 Vậy B=3 Bài toán 1.5 Biết 1 cos x − tgx = 2. Hãy tính giá trị của C = 1 cos x + tgx Bài giải Ta có 1 + tg2α = 1 cos2α ⇔ 1 cos2 α − tg2α = 1 ⇔ ( 1 cosα − tgα)( 1 cosα + tgα) = 1 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 8 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ ( 1 cosα + tgα) = 1 ( 1 cosα − tgα) = 1 2 Bài toán 1.6 Ký hiệu fk(x) = 1 k (sink x + cosk x). Chứng minh rằng: f4(x)− f6(x) = 1 12 ∀x Bài giải Ta có: f4(x) = 1 4 (sin4 x + cos4 x) = 1 4 [(sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x] ⇒ f4(x) = 1 4 (1 − 1 2 sin2 2x) = 1 4 − 1 8 sin22x f6(x) = 1 6 (sin6 x + cos6 x) = 1 6 [(sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)] ⇒ f6(x) = 1 6 (1 − 3 sin2 x cos2 x) = 1 6 − 1 8 sin22x ⇒ f4(x)− f6(x) = 1 12 ∀x Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 9 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §2: Công thức cộng cung 1) cos(a + b) = cos a cos b− sina sin b 2) cos(a− b) = cos a cos b + sin a sin b 3) sin(a+ b) = sin a cos b + sin b cos a 4) sin(a− b) = sin a cos b− sin b cos a 5) tg(a + b) = tga + tgb 1− tgatgb 6) tg(a− b) = tga− tgb 1 + tgatgb 7) cotg(a + b) = cotga.cotgb − 1 cotga + cotgb 8) cotg(a− b) = cotga.cotgb + 1 cotgb − cotga Bài toán 1.7 Tính giá trị của 1) cos pi 12 2) tg pi 8 Bài giải 1) Ta có: cos pi 12 = cos( pi 4 − pi 6 ) = cos pi 4 cos pi 6 + sin pi 4 sin pi 6 = √ 6 + √ 2 4 2) Ta có: tg pi 8 = tg( pi 4 − pi 8 ) = tg pi 4 − tgpi 8 1 + tg pi 4 tg pi 8 = 1 − tgpi 8 1 + tg pi 8 ⇔ 1− tgpi 8 = tg pi 8 + tg2 pi 8 ⇔ tg2pi 8 + 2tg pi 8 − 1 = 0 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 10 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ (tgpi 8 + 1)2 − 2 = 0 ⇔ (tgpi 8 + 1 − √ 2)(tg pi 8 + 1 + √ 2) = 0 ⇔ tgpi 8 = √ 2 − 1 hoặc tgpi 8 = −√2 − 1 (loại vì tgpi 8 > 0 ) Vậy tg pi 8 = √ 2− 1 Bài toán 1.8 Biết rằng:sin a + 7 sin b = 4(sin c + 2 sin d)cos a + 7 cos b = 4(cos c + 2 cos d) Chứng minh rằng: 2 cos(a− d) = 7 cos(b− c) Bài giải Giả thiết suy ra: sin a− 8 sin d = 4 sin c− 7 sin b)cos a− 8 cos d = 4 cos c − 7 cos b) Bình phương các đẳng thức trên và cộng lại ta được: 1 + 64 − 16 cos(a− d) = 16 + 49 − 56 cos(b− c) ⇔ 2 cos(a− d) = 7 cos(b− c) Bài toán 1.9 Biết rằng tg(a + b) = √ 5 tg(a− b) = √3 Hãy tính tg2a và tg2b ? Bài giải Ta có: tg2a = tg[(a + b) + (a− b)] = tg(a + b) + tg(a− b) 1− tg(a + b)tg(a− b) = √ 5 + √ 3 1−√15 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 11 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác tg2b = tg[(a + b)− (a− b)] = tg(a + b)− tg(a− b) 1 + tg(a + b)tg(a− b) = √ 5−√3 1 + √ 15 Bài toán 1.10 Chứng minh tg10 là số vô tỷ Bài giải Giả sử phản chứng: tg10 là số hữu tỷ Áp dụng công thức: tg2α = 2tgα 1− tg2α ta suy ra tg20, tg40, tg80, tg160, tg320 là số hữu tỷ. Mặt khác ta có: tg320 = tg(300 + 20) = tg300 + tg20 1 − tg300tg20 = 1√ 3 + tg20 1 − 1√ 3 .tg20 là số vô tỷ Suy ra mâu thuẫn với giả thiết tg320 là số hữu tỷ Suy ra giả thiết phản chứng là sai Vậy tg10 là số vô tỷ Bài toán 1.11 M ABC có tgA,tgB,tgC là các số nguyên dương. Hãy tính tgA,tgB,tgC Bài giải Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ A ≤ 600 ⇒ 0 < tgA ≤ √3 ⇒ tgA = 1 ⇒ A = 450 ⇒ B + C = 1350 ⇒ −1 = tg(B + C) = tgB + tgC 1− tgBtgC ⇒ (tgB − 1)(tgC − 1) = 2 ⇒ tgB = 2, tgC = 3 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 12 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 1.12 Biết cos x + cos y + cos z cos(x + y + z) = sin x + sin y + sin z sin(x+ y + z) = a Chứng minh rằng: cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a Bài giải Ta có: cos(x+ y) = cos(x+ y+ z− z) = cos(x+ y+ z) cos z +sin(x+ y+ z) sin z Tương tự: cos(y + z) = cos(x + y + z) cos x + sin(x + y + z) sinx cos(z + x) = cos(x + y + z) cos y + sin(x + y + z) sin y Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được cos(x+ y)+ cos(y + z) + cos(z + x) = cos(x+ y + z)(cos x+ cos y +cos z)+ + sin(x + y + z)(sinx + sin y + sin z) Từ giả thiết ta có: (cos x + cos y + cos z) = a cos(x + y + z) sin x + sin y + sin z = a sin(x + y + z) Suy ra cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a(cos2(x + y + z) + sin2(x + y + z)) ⇒ cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 13 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §3: Hàm số lượng giác của những góc bội sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1 − 2 sin2 a tg2a = 2tga 1 − tg2a cotg2a = cotg2 − 1 2cotga sin 3a = 3 sin a− 4 sin3 a cos 3a = 4 cos3 a− 3 cos a tg3a = 3tga − tg3a 1− 3tg2a cotg3a = cotg3a− 3cotga 3cotg2a− 1 Hệ quả: sin2 a = 1 − cos 2a 2 cos2 a = 1 + cos 2a 2 tg2a = 1 − cos 2a 1 + cos 2a sin3 a = − sin 3a + 3 sin a 4 cos3 a = cos 3a + 3 cos a 4 Bài toán 1.13 Chứng minh rằng: ∀x : cos3 x sin x − sin3 x cos x = 1 4 sin 4x Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 14 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giải Ta có: cos3 x sin x − sin3 x cos x = 1 2 cos2 x. sin 2x− 1 2 sin2 x. sin 2x = 1 2 sin 2x(cos2 x − sin2 x) = 1 2 sin 2x. cos 2x = 1 2 sin 4x Bài toán 1.14 Chứng minh rằng: ∀x : 1. sin4 x + cos4 x = 3 4 + 1 4 cos 4x 2. sin6 x + cos6 x = 5 8 + 3 8 cos 4x Bài giải 1. Ta có: sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 1− 1 2 sin2 2x = 1− 1 4 (1 − cos 4x) = 3 4 + 1 4 cos 4x 2. Ta có: sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) = 1− 3 sin2 x cos2 x = 1− 3 4 sin2 2x = 1− 3 8 (1 − cos 4x) = 5 8 + 3 8 cos 4x Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 15 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 1.15 Tính: 1. cos pi 24 2. sin 180 Bài giải 1. Ta có: cos2 pi 24 = 1 + cos pi 12 2 (∗) Lại có: cos2 pi 12 = 1 + cos pi 6 2 = 1 + √ 3 2 2 = 2 + √ 3 4 ⇒ cos pi 12 = 1 2 √ 2 + √ 3 = 1 2 √ 2 (1 + √ 3) Thay vào (*) ⇒ cos2 pi 24 = 1 + 1 2 √ 2 (1 + √ 3) 2 = 1 + 2 √ 2 + √ 3 4 √ 2 ⇒ cos pi 24 = 1 2 √ 1 + 2 √ 2 + √ 3√ 2 2. Ta có: sin 540 = cos 360 Suy ra: 3 sin 180 − 4 sin3 180 = 1− 2 sin2 180 ⇔ 4 sin3 180 − 3 sin3 180 − 2 sin2 180 + 1 = 0 ⇔ (sin 180 − 1)(4 sin2 180 + 2 sin 180 − 1) = 0 Vì sin 180 < 1 suy ra: 4 sin2 180 + 2 sin 180 − 1 = 0 ⇔ sin 180 = −1 ± √ 5 4 mà sin 180 > 0 nên sin 180 = −1 +√5 4 Vậy sin 180 = √ 5− 1 4 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 16 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 1.16 Chứng minh rằng: 1. cos 200. cos 400. cos 800 = 1 8 2. cos pi 7 . cos 2pi 7 . cos 3pi 7 = 1 8 3. tg50.tg550.tg650.tg750 = 1 Bài giải 1. Ta có: cos 200. cos 400. cos 800 = 1 sin 200 . sin 200. cos 200. cos 400. cos 800 = 1 2 sin 200 sin 400. cos 400. cos 800 = 1 4 sin 200 sin 800. cos 800 = 1 8 sin 200 . sin 1600 = 1 8 sin 200 . sin 200 = 1 8 2. Ta có: cos pi 7 . cos 2pi 7 . cos 3pi 7 = − 1 sin pi 7 sin pi 7 . cos pi 7 . cos 2pi 7 . cos 4pi 7 = − 1 2 sin pi 7 sin 2pi 7 . cos 2pi 7 . cos 4pi 7 = − 1 4 sin pi 7 sin 4pi 7 . cos 4pi 7 = − 1 8 sin pi 7 sin 8pi 7 = 1 8 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 17 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác 3. Ta có: tg3x = 3.tgx − tg3x 1 − 3tg2x = tgx(3 − tg2x) 1 − 3tg2x = tgx.( √ 3 − tgx)(√3 + tgx) (1 + √ 3tgx)(1 −√3tgx) = tgx. ( tg600 − tgx 1 + tg600tgx ) . ( tg600 + tgx 1 − tg600tgx ) = tgx.tg(60 − x).tg(60 + x) Suy ra: tg50.tg550.tg650.tg750 = tg50.tg(60 − 5)0.tg(60 + 5)0.tg750 = tg(3.5)0.tg750 = tg150cotg150 = 1 Bài toán 1.17 Biết rằng:cos x + cos y + cos z = 0cos 3x + cos 3y + cos 3z = 0 Chứng minh rằng: cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0 Bài giải Ta có: 0 = cos 3x+cos 3y+cos 3z = 4(cos3 x+cos3 y+cos3 z)−3(cos x+cos y+cos z) Vì cos x + cos y + cos z = 0 suy ra: cos3 x + cos3 y + cos3 z = 0 Từ giả thiết suy ra: cos x+cos y = − cos z Lập phương hai vế được: cos3 x + cos3 y + 3 cos x cos ycos x + cos y = − cos3 z ⇒ cos3 x + cos3 y + cos3 z = 3 cos x cos y cos z Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 18 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇒ cos x cos y cos z = 0 Không mất tổng quát, giả sử cos x = 0 ⇒ cos y + cos z = 0 ⇒ cos y = − cos z Khi đó: cos 2x. cos 2y. cos 2z = (2 cos2 x− 1)(2 cos2 y − 1)(2 cos2 z − 1) = −1(2 cosy −1)2 ≤ 0 Vậy cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0 Bài toán 1.18 Chứng minh rằng: (4 cos2 90 − 3)(4 cos2 270 − 3) = tg90 Bài giải Từ công thức cos 3a = 4 cos3 a− 3 cos a ⇒ 4 cos2 a− 3 = cos 3x cos x Ta có: (4 cos2 90 − 3)(4 cos2 270 − 3) = cos 27 0 cos 90 . cos 810 cos 270 = cos 810 cos 90 = sin 90 cos 90 = tg90 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 19 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng 1) Công thức biến đổi tổng thành tích cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a− b 2 cos a− cos b = −2 sin a + b 2 sin a− b 2 sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a− b 2 sina− sin b = 2 cos a + b 2 sin a− b 2 tga + tgb = sin(a + b) cos a. cos b tga− tgb = sin(a− b) cos a. cos b cotga + cotgb = sin(a + b) sin a. sin b cotga − cotgb = − sin(a− b) sina. sin b 2) Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = 1 2 [cos(a− b) + cos(a + b)] sina sin b = 1 2 [cos(a− b)− cos(a + b)] sin a cos b = 1 2 [sin(a− b) + sin(a + b)] Bài toán 1.19 Tính các tổng sau: Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 20 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác 1. cos pi 5 + cos 3pi 5 2. cos pi 7 − cos 2pi 7 + cos 3pi 7 3. tg90 − tg270 − tg630 + tg810 Bài giải 1. Ta có: cos pi 5 + cos 3pi 5 = 2 cos pi 5 cos 2pi 5 = 2 1 sin pi 5 sin pi 5 cos pi 5 cos 2pi 5 = 1 sin pi 5 . sin 2pi 5 cos 2pi 5 = 1 2 sin pi 5 . sin 4pi 5 = 1 2 sin pi 5 . sin pi 5 = 1 2 2. Ta có: cos pi 7 − cos 2pi 7 + cos 3pi 7 = − cos 6pi 7 − cos 2pi 7 − cos 4pi 7 = − ( cos 2pi 7 + cos 4pi 7 + cos 6pi 7 ) = − 1 2 sin pi 7 . ( 2 sin pi 7 cos 2pi 7 + 2 sin pi 7 cos 4pi 7 + 2 sin pi 7 cos 6pi 7 ) = − 1 2 sin pi 7 . ( sin 3pi 7 − sin pi 7 + sin 5pi 7 − sin 3pi 7 + sin 7pi 7 − sin 5pi 7 ) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 21 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác = − 1 2 sin pi 7 . ( − sin pi 7 + sin 7pi 7 ) = − 1 2 sin pi 7 . ( − sin pi 7 ) = 1 2 3. Ta có: tg90 − tg270 − tg630 + tg810 = (tg90 + tg810)− (tg270 + tg630) = 1 cos 90. cos 810 − 1 cos 270. cos 630 = 1 cos 90. sin 90 − 1 cos 270. sin 270 = 2 sin 180 − 2 sin 540 = 2(sin 540 − sin 180) sin 180. sin 540 = 4 cos 360. sin 180 sin 180. sin 540 = 4 Bài toán 1.20 Chứng minh rằng ∀x, y, z ta luôn có: 1. sinx + sin y + sin z − sin(x + y + z) = 4 sin x + y 2 sin y + z 2 sin z + x 2 2. cos x + cos y + cos z + cos(x + y + z) = 4 cos x + y 2 cos y + z 2 sin z + x 2 Bài giải 1. V T = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 + 2 cos x + y + 2z 2 sin −x − y 2 = 2 sin x + y 2 (cos x− y 2 − cos x + y + 2z 2 ) = 4 sin x + y 2 sin x + y 2 sin y + z 2 sin z + x 2 = V P Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 22 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác 2. Ta có: V T = 2 cos x + y 2 cos x− y 2 + 2 cos x + y + 2z 2 cos x + y 2 = 2 cos x + y 2 (cos x− y 2 + cos x + y + 2z 2 ) = 4 cos x + y 2 cos y + z 2 sin z + x 2 *Liên hệ với M ABC : Chứng minh rằng: 1. sinA + sinB + sinC = 4 cos A 2 cos B 2 cos C 2 2. sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = = −4 sin nA 2 sin nB 2 sin nC 2 (khi n = 4k, n ∈ N∗) = 4 cos nA 2 cos nB 2 cos nC 2 (khi n = 4k + 1, n ∈ N∗) = 4 sin nA 2 sin nB 2 sin nC 2 (khi n = 4k + 2, n ∈ N∗) = −4 cos nA 2 cos nB 2 cos nC 2 (khi n = 4k + 3, n ∈ N∗) 3. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin A2 sin B 2 sin C 2 Bài giải Áp dụng các đẳng thức trên với lần lượt (x,y,z) bằng (A,B,C);(nA,nB,nC), trong đó: A,B,C >0 và A+B+C = pi ta thu được các đẳng thức sau: 1. sinA+sinB+sinC−sin(A+B+C) = 4 sin A + B 2 sin B + C 2 sin C + A 2 ⇒ sinA + sinB + sinC − sin pi = 4 sin(pi 2 − C 2 ) sin( pi 2 − A 2 ) sin( pi 2 − B 2 ) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 23 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác sinA + sinB + sinC = 4 cos A 2 cos B 2 cos C 2 2. sin(nA) + sin(nB) + sin(nC)− sin(nA + nB + nC) = = 4 sin nA + nB 2 sin nB + nC 2 sin nC + nA 2 ⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC)− sin(npi) = = 4 sin( npi 2 − nC 2 ) sin( npi 2 − nA 2 ) sin( npi 2 − nB 2 ) ⇒ sin(nA)+sin(nB)+sin(nC) = 4 sin(npi 2 −nC 2 ) sin( npi 2 −nA 2 ) sin( npi 2 −nB 2 ) (∗) Khi n = 4k, n ∈ N∗. Ta có: sin( npi 2 − nC 2 ) = sin(2kpi − nC 2 ) = sin(−nC 2 ) = − sin nC 2 Suy ra: sin( npi 2 − nA 2 ) = − sin nA 2 sin( npi 2 − nB 2 ) = − sin nB 2 ⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = −4 sin nA 2 sin nB 2 sin nC 2 (khi n = 4k, n ∈ N∗) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 24 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác (∗) Khi n = 4k + 1, n ∈ N∗. Ta có: sin( npi 2 − nC 2 ) = sin(2kpi + pi 2 − nC 2 ) = sin( pi 2 − nC 2 ) = cos nC 2 Suy ra: sin( npi 2 − nB 2 ) = cos nB 2 sin( npi 2 − nA 2 ) = cos nA 2 ⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = 4 cos nA 2 cos nB 2 cos nC 2 (∗) Khi n = 4k + 2, n ∈ N∗. Ta có: sin( npi 2 − nC 2 ) = sin(2kpi + pi − nC 2 ) = sin(pi − nC 2 ) = sin nC 2 Suy ra: sin( npi 2 − nA 2 ) = sin nA 2 sin( npi 2 − nB 2 ) = sin nB 2 ⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = 4 sin nA 2 sin nB 2 sin nC 2 (∗) Khi n = 4k + 3, n ∈ N∗. Ta có: sin( npi 2 − nC 2 ) = sin(2kpi + 3pi 2 − nC 2 ) = sin( 3pi 2 − nC 2 ) = − cos nC 2 Suy ra: sin( npi 2 − nB 2 ) = − cos nB 2 sin( npi 2 − nA 2 ) = − cos nA 2 ⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = −4 cos nA 2 cos nB 2 cos nC 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 25 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Các đẳng thức đã được chứng minh 3. cosA + cosB + cosC + cos(A +B + C) = = 4 cos A + B 2 cos B + C 2 cos C + A 2 ⇒ cosA + cosB + cosC + cos(pi) = 4 cos(pi 2 − C 2 ) cos( pi 2 − A 2 ) cos( pi 2 − B 2 ) ⇒ cosA + cosB + cosC − 1 = 4sinC 2 sin A 2 sin B 2 ⇒ cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin A 2 sin B 2 sin C 2 Bài toán 1.21 Biết  sinα + sin β = a cosα + cos β = b a, b 6= 0 Chứng minh rằng: sin(α + β) = 2ab a2 + b2 Bài giải Từ giả thiết ta có:  2 sin α + β 2 cos α − β 2 = a 2 cos α + β 2 cos α − β 2 = b ⇒ tg(α + β 2 ) = a b Từ công thức biểu diễn theo tg của góc chia đôi: sin a = 2tg a 2 1 + tg2 a 2 ta có: sin(α + β) = 2. a b 1 + (a b )2 = 2aba2 + b2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 26 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 1.22 Biết rằng:sin x + sin y + sin z = 0cos x + cos y + cos z = 0 Chứng minh rằng: sin 2x + sin 2y + sin 2z = cos 2x + cos 2y + cos 2z = 0 Bài giải Ký hiệu A = sin 2x + sin 2y + sin 2z B = cos 2x + cos 2y + cos 2z Từ giả thiết:sin x + sin y + sin z = 0 (1)cos x + cos y + cos z = 0 (2) ⇒ sin x + sin y = − sin zcos x + cos y = − cos z (∗) Bình phương 2 đẳng thức của (*) và cộng lại ta được: cos(x− y) = −1 2 Tương tự: cos(y − z) = −1 2 cos(z − x) = −1 2 Nhân 2 đẳng thức (1)và(2)với nhau ta được: 1 2 (sin 2x + sin 2y + sin 2z) + sin(x + y) + sin(y + z) + sin(z + x) = 0 (∗∗) Ta có: sin 2x + sin 2y = 2 sin(x + y) cos(x− y) = 2 sin(x + y).(−1 2 ) = − sin(x + y) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 27 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Tương tự sin 2y + sin 2z = − sin(y + z) sin 2z + sin 2x = − sin(z + x) Suy ra: 2A = −[sin(x + y) + sin(y + z) + sin(z + x)] Thế vào (**) ⇒ 1 2 A− 2A = 0 ⇒ A = 0 Ta chứng minh B=0 Bình phương đẳng thức (1)và (2) rồi trừ đi cho nhau ta được: cos 2x+cos 2y +cos 2z +2[cos(x+ y)+ cos(y+ z)+ cos(z + x)] = 0 (∗ ∗ ∗) Ta có: cos 2x+ cos 2y = 2 cos(x+ y) cos(x− y) = 2 cos(x+ y).(−1 2 ) = − cos(x+ y) Tương tự cos 2y + cos 2z = − cos(y + z) cos 2z + cos 2x = − cos(z + x) Suy ra: 2B = −[cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x)] Thế vào (***) ⇒ B − 4B = 0 ⇒ B = 0 Bài toán 1.23 Biết rằng:sin x + sin y + sin z = 0cos x + cos y + cos z = 0 Chứng minh rằng: sin(x + y + z) = sin 3x + sin 3y + sin 3z 3 cos(x + y + z) = cos 3x + cos 3y + cos 3z 3 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 28 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giải Ta có: sin 3x + sin 3y + sin 3z = 3(sin x + sin y + sin z)− 4(sin3 x + sin3 y + sin3 z) ⇒ sin 3x + sin 3y + sin 3z = −4(sin3 x + sin3 y + sin3 z) Từ sin x + sin y