Bồi dưỡng tư duy sáng tạothông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông

phương pháp giải bài tập 5.1 và 5.2)    dxxx xx 2 0 1cossin 2cos5sin3 2 -2ln2 Tương tự cách làm của bài tập 5.3 ta có phương pháp tổng quát để làm dạng toán trên như sau: Tổng quát:Tính tích phân dx cxbxa kxnxmb a   cossin cossin Bước 1: Đưa msinx + ncosx + k = A(asinx + bcosx + c )’ +B(asinx + bcosx +c) + C Bước 2: Đồng nhất hệ số để tìm A và B, C Bước 3: Tách dx cxbxa kxnxmb a   cossin cossin thành tổng 3 tích phân mới. Các bước sáng tạo ra bài tập mới để có hệ số A, B đẹp: -Lấy mẫu số bất kì Ví dụ: 5sinx + 3cosx+2 -Tính đạo hàm của mẫu số ( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx - Lấy A, B, C là 2 số bất kì, ví dụ A=1, B =5, C=5 Tử số = (5cos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx+2 )+5 = 22 sinx+20cosx+5 Vậy ta có bài tập tích phân mới dx xx xx   4 0 2cos3sin5 5cos20sin22 Ta có bài toán tương tự sau:Tính tích phân 1) dx xx xx  4 0 3cos2sin 3cos2sin Bài toán 6 Tính tích phân: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 26 6.1)I= dt tt ) 1 1 2 1 1 ( 1 2 2   6.2)J = dttt )1 1 2 1 ( 5 3   6.3) K= 4 1 dt tt ) 2 1 2 1 ( 4 3   6.4) M = dttt ) 21 ( 2 3 2  6.5) E=   1 0 21 t dt 6.6) F = 2       1 0 2 1 2 2 dt t tt Bài làm 6.1) I =ln 1 2 22 1t - ln 1 2 2 1t = (ln ) 2 21 ln2(ln) 2 21 ln 2 3  =ln 4 3 6.2) J = ln 5 3 2t - ln 5 3 1t = (ln )2ln4(ln)1ln3  =ln 2 3 6.3) K = 4 1 ( ln 4 3 2t - ln 4 3 2t )= 4 1 ((ln )5ln6(ln)1ln2  ) = 4 1 ln 3 5 6.4)M = 2 3 2  t dt  3 2 2t dt = ln 32t -2 dtt  3 2 2 =ln 3 1 2 3  6.5) Đặt t =tan u. dt =  duu2tan1 t= 0 0 u , 4 1  ut M =   1 0 21 t dt =   1 0 2 2 tan1 )tan1( u duu =  4 0  du = 4 0  u = 4  6.6) F = 2 2ln4 3 11 1ln22 23 1 0 23      tttt Nhận xét và bình luận 1)Trên là bài tập tích phân khá đơn giản tuy nhiên khi dạy đến bài tập này ta không nên dừng lại ở đó, giáo viên nên hướng dẫn các em xây dựng hệ thống bài tập mới trên hệ thống bài tập cơ bản, sau đó nâng thành dạng tổng quát, xây dựng hệ thống các bài tập tương tự tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình. Cách sáng tạo bài tập mới: Bước 1: Biến đổi bài toán ban đầu. Bước 2: Thay t bằng các hàm số của biến x để tạo các bài tập mới. Ví dụ: t= 2x+1,t =sinx,... Bước 3:Tạo ra bài tập mới 2) Bài toán trên có thể biến đổi thành: bài toán 6.1) Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 27 I =    dt tt 1 2 2 )1)( 2 1 ( 2 1   1 2 2 )1)(12( tt dt =   1 2 2 2 132 tt dt =ln 4 3 *) Đặt t = cos x từ đó suy ra dt = dcosx = -sinx dx Đổi cận 01cos, 42 2 cos  xxxx  Vậy I =   0 4 2 1cos3cos2 sin  xx xdx  4 0 2 1cos3cos2 sin  xx xdx   4 0 2cos32cos sin  xx xdx Vậy ta có bài tập mới 1)Tính tích phân:   4 0 2cos32cos sin  xx xdx (Đề thi thử trung học phổ thông quốc gia chuyên Hưng Yên 2015) *) Đặt t = cosx thì dt = -sinxdx Đổi cận 42 2 ,01  xtxt .    1 2 2 2 132 tt dt =   0 4 2 1cos3cos2 sin  xx xdx Vậy ta có bài tập mới: 2) Tính tính phân:   0 4 2 1cos3cos2 sin  xx xdx *) Đặt t = 2 x ta có dt = 2 1 dx Đổi cận 2 2 2 ,21  xtxt     2 2 2 1 2 3 4 2 2 1 xx dx   2 2 2 23xx dx Vậy ta có bài tập mới 3)Tính tính phân:   2 2 2 23xx dx Bài toán 6.2 Biến đổi    23 1 12 1 1 1 2 1 2  tttttt *)Nếu đặt t =e x dxededt xx  Đổi cận 5ln5,3ln3  xexe xx Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 28 23 1 1 1 2 1 2  xx eett Vậy J =  5ln 3ln 2 23 xx x ee dxe    5ln 3ln 32 xx ee dx Vậy ta có bài tập mới 1)Tính tích phân:    5ln 3ln 32 xx ee dx (ĐH- khối B -2006) *) Nếu đặt t = x3 thì dt =3x2dx Đổi cận 3333 55,33  xxxx J=   3 3 3 5 36 2 23 3 xx dxx Ta có bài toán mới: 2) Tính tích phân:   3 3 3 5 36 2 23 3 xx dxx *)    23 1 12 1 1 1 2 1 2  tttttt Nếu đặt t = 1+x dxxddt  )1( Đổi cận 451,231  xxxx xxxxtt  22 1 2)1(3)1( 1 1 1 2 1 Vậy J =  5ln 3ln 2 23 xx x ee dxe   4 2 2 xx dx Vậy ta có bài tập mới 3)Tính tích phân:   4 2 2 xx dx Bài tập 6.3: dt tt ) 2 1 2 1 ( 4 3   = dtt  4 3 2 4 4 đặt t = 42 x dx x x dt 42   t =3 42  x =3 lấy x = 5 t =4 42  x =4 lấy x = 22 Từ đó ta có K = 4 1 dt t  4 3 2 4 4 =   22 5 22 .4 xx xdx =   22 5 2 .4xx dx Ta có bài tập mới: Tính tích phân:   22 5 2 .4xx dx (đại học khối A _2003) Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 29 *) Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta có bài toán: 2) Tính tích phân   4 7 2 .9xx dx (đại học An Ninh -1999) *) Xét bài toán ( ĐH – B 2012) Tính tích phân dx xx x  1 0 24 3 23 Giải: Đặt t = x2 suy ra dt = 2xdx. Với x =0 thì t = 0, x =1 thì t = 1 Khi đó dx xx x  1 0 24 3 23 = 2 1 2 1 )2)(1( 2.1 0 22 2  dxxx xx 2 1 )2)(1( 1 0  tt tdt   1 0 ) 1 1 2 2 ( dt tt = (ln 1ln 2 1 2  tt ) 2ln 2 3 3ln10  Bài toán 6.4) M = dt tt ) 21 ( 2 3 2  = dtt t 2 3 2 2 Đặt t =2 + lnx thì dt =d lnx = x dx t = 2 thì ln x =0 từ đó x =1 t = 3thì ln x =1 từ đó x = e ln x = t-2 ; dt x dx  dt tt ) 21 ( 2 3 2  =   dtx x dx xe 2 1 ln2 ln  = 21 )ln2( ln xx xdxe  Ta có bài tập. 1) Tính tích phân: 2 1 )ln2( ln xx xdxe  ( Đại học khối B -2010) * ) Đại học khối B -2010 ngoài cách làm trên ta cò n có cách làm khác như sau: +) Phương pháp đưa vào vi phân: 2 1 )ln2( ln xx xdxe  = 21 )ln2( )ln2(ln x xxde   = 2 1 )ln2( )ln2()2ln2( x xdxe   = )ln2( )ln2( 1 x xde   - 2 1 )ln2( )ln2(2 x xde   = ln 2ln2 1  ex 2 1 )ln2( )ln2( x xde   = ln3- ln2 - 2   ex 1 1 1 ln2    = ln 3 1 2 3  + ) Phương pháp tích phân từng phần: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 30 Đặt       xu xx dx dv ln )ln2( 2 Từ đó suy ra       x du x v 1 ln2 1 2 1 )ln2( ln xx xdxe  =- lnx. e x 1ln2 2  + )ln2(1 xx dxe  =   3 1 )ln2( )ln2( 1 x xde   =  3 1 ln  ex 1ln2   3 1 ln 2 3 Nhận xét và bình luận: Ở bài tập trên có sử dụng phương pháp tích phân từng phần, vậy phương pháp này được sử dụng khi nào ?, cách đặt u, dv như thế nào cho nhanh và hiệu quả? Dấu hiệu: Thường được sử dụng đối với các bài có 2 loại hàm khác nhau trở lên. Cách đặt u, dv : Ta thường ưu tiên u theo thứ tự sau: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ Giải thích: log( hàm loga) Nhì đa( hàm đa thức) Tam lượng( hàm lượng giác) Tứ mũ ( hàm số mũ) Ví dụ: D-2006 Tính tích phân: dxex e x  1 2)2( Ta có trong dấu tích phân có hàm đa thức và hàm số mũ, vậy đặt u = x-2, dv=e2xdx *) Nếu ta đặt t =sinx +2 khi đó : Sinx + 2 = 2 thì x=0 Sinx + 2 = 3 thì x= 2  dt = dsinx = cosx dx  dt =cosx dx  222 2sin sin221   x x t t tt dt tt ) 21 ( 2 3 2  =   2 0 2 cos.)2(sin sin  xdx x x =   2 0 2 .)2(sin cos.sin  x xdxx Vậy ta có bài toán mới 2)Tính tích phân:   2 0 2 .)2(sin cos.sin  x xdxx Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 31 Bài toán 6.5 E=   1 0 21 t dt *) ta đặt t = x - x 1 . Vậy dt = dx x       2 1 1 1+ t2 =1+ (x- 2)1 x = x2 + 2 1 x -1 t =0 thì x- 01  x 012  x lấy x=1 t =1 thì x- 11  x 012  xx lấy x= 2 51   1 0 21 t dt =         2 51 1 2 2 2 1 1 1 1 x x dx x =     2 51 1 24 2 1 1 xx dxx Vậy ta có bài toán mới 1) Tính tích phân     2 51 1 24 2 1 1 xx dxx ( Đại học Ngoại Thương 2001) Ta có 121 3 1 2  t dt *) Đặt  tx 12      tdtxdx tx 122 t = 313 2  x lấy x =2 t = 111 2  x lấy x = 2  3 1 21 t dt  2 2 2tx xdx   2 2 2 1xx dx Có bài toán mới sau 2) Tính tích phân:   2 2 2 1xx dx ( Đại học Bách Khoa Hà Nội 1995) * ) Đề đại học BÁCH KHOA HÀ NỘI còn có cách làm khác như sau: Đặt x = t tdt dx t 2cos sin cos 1         32 1 cos2 cos 1 2 42 1 cos2 cos 1 2   tt t x tt t x Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 32 x t tttt x 22 2 cos1 cos 1 . cos 1 1 cos 1 cos 1 1  = t tt sin coscos 1    2 2 2 1xx dx =  3 4 2 sin cos 1 . cos 1 cos sin  t tt dt t tdt =  3 4 sin sin   t tdt =  3 4   dt Vì t 0sin 3 , 4      t  3 4   dt = 12  Bài toán 6.6 Biến đổi 2       1 0 2 1 2 2 dt t tt =2       1 0 2 1 1 tdt t t Đặt t = 1x thì t2 =x-1 hay x = t2 +1 từ đó dx=2tdt Đổi cận 21,10  xtxt Vậy 2       1 0 2 1 1 tdt t t =       2 1 11x xdx Ta có bài toán mới sau Tính tích phân :       2 1 11x xdx ( ĐH _ A _2004) * Bài toán A-2004 cò n có cách làm khác như sau Đặt t = 1 + 1x       11 )1(2 2tx dttdx Đổi cận 11,22  txtx       2 1 11x xdx =2      21112 1 2      t dttt dt t ttt     2 1 23 143 =2 dt t tt      2 1 2 143 = 2      21 23 ln4 2 3 3 tt tt 2ln4 3 11  Tổng quát dx cbax xpb a       )( với p(x) là một đa thức chứa x, m, n, c là các hằng số ta đặt t = bax  +c hoặc t = bax  Bằng phương pháp như trên ta có thể giải các bài tập sau: 1) Đại học ĐN -1997 Tính tích phân I =       7 2 12x dx Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 33 2) Dự bị DDH1 A -2007 Tính tích phân J =       4 0 112 12 x dxx 3) ĐHSPQN-1999 Tính tích phân T=       2 0 3 23 )1( x dxx 4) CĐXD -2005 Tính tích phân T=         3 1 3 31 )3( xx dxx 5) ĐH D-2009 Tính tích phân M=       3 1 1 xe dx 6) Với bài toán I =   2 1 2 2 13 xx xx dx ( ĐH_ Khối B-2014) Ta làm như sau : lấy tử chia mẫu ta được   2 1 2 2 13 dx xx xx =  2 1 dx + dx xx x  2 1 2 12 = x 21 +   2 1 2 2 )( xx xxd = 1+ln 3ln121 2  xx 7) ĐH D -2013 Tính tích phân   1 0 2 2 1 )1( x x =  1 0 dx +   1 0 2 1 2 dx x x =  1 0 dx +   1 0 2 2 1 )1( x xd = x 2ln11ln 10 21 0  x 8) ĐH D -2011 Tính tích phân   4 0 212 14 dx x x Đặt t = tdtdxtxx  ),1(2412 2 Đổi cận x = 0 34;1  txt   4 0 212 14 dx x x =   3 1 3 2 32 dt t tt   3 1 2 ) 2 10 542( dt t tt Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 34 = 5 3 ln10 3 34 2ln1052 3 2 3 1 2 3      tttt Bì nh luận : Bài tập 6 đều là các hàm đa thức và được biến đổi thành a)   1 2 2 2 132 tt dt b) dt t  4 3 2 4 4 c) dt t t 2 3 2 2 d)   1 0 21 t dt e)       1 0 2 1 1 tdt t t f) dt t ttt     2 1 23 143 *Vậy ở câu a,b khi gặp tích phân của các hàm đa thức f(x) mà mẫu số có bậc lớn hơn bậc ở tử số mà mẫu là phương trì nh bậc 2 : ax2 +bx +c có 2 nghiệm x1, x2 ta làm như thế nào ? Phương pháp: Phân tích mẫu số thành nhân tử đưa f(x) về dạng f(x) = xxxxa dcx ))(( 21   Sử dụng phương pháp hệ số bất định Phân tích f(x) = 21 xx B xx A  Từ đó tách tích phân phức tạp trở thành tổng của hai tích phân đơn giản *) ở câu c ta tách thành tổng các tích phân mới f(x) =  22)( dcx B dcx A dcx bax    *) Ở câu d nếu mẫu không phân tích được thành nhân tử hay nói cách khác phương trì nh ax2 +bx +c =0 có 0 thì phân tích ax2 +bx +c = a ( x-x1)2 + m2  Đặt x- x1 = mtant sau đó sử dụng phương pháp đổi biến số *) Ở câu e và f nếu f(x) là đa thức có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta phải sử dụng phương pháp chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số để từ tích phân phức tạp chia thành các tích phân đơn giản hơn. Cách sáng tạo ra các bài tập tích phân phức tạp thực ra chỉ là tổng các tích phân đơn giản, giáo viên cũng có thể tự mình tạo ra các bài tập mới nhằm tạo nên cho bản thân mình các tài liêu phong phú hơn. Vậy việc dạy và học toán không nên chỉ dừng lại ở việc giải bài tập sau đó gấp sách lại ta nên xem xét lật đi lật lại bài toán xem có còn cách nào để giải bài tập nào khác không , bài tập này có liên hệ với các bài tập khác không? Nếu giáo viên giúp cho học sinh thường xuyên luyện tập các kĩ năng như vậy các em học sinh sẽ cảm nhận môn toán không còn khó và khô khan nữa, các em sẽ thấy hứng thú hơn khi học môn toán rất nhiều.