Bất phương trình mũ và các logarit

Bài 5 Bất ph−ơng trình mũ và logarit 1. Bất ph−ơng trình mũ Đó là bất ph−ơng trình có dạng af(x) > ag(x) (hoặc af(x) ≥ ag(x) ). (1) Để giải (1), ng−ời ta th−ờng dựa vào các phép biến đổi t−ơng đ−ơng sau af(x) > ag(x) f(x) > g(x)  ⇔  a1> a1> af(x) > ag(x) f(x) < g(x)  ⇔  0a<<1 0a<<1. Ví dụ 1. Giải các bất ph−ơng trình sau 4x2 −+15x 13 xx2 −−6 1 3x−4 a) 21> ; b)  < 4 . (1) 4 Giải. a) Bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với x2 − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞). 4x− 2 3x−4 1 b) (1) ⇔ 4x − 15x + 13 < 4 − 3x (vì 4 =  ) . 4 ⇔ 4x2 − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3)2 < 0 ⇔ x ∈ ∅. (vô nghiệm) Ví dụ 2. Giải bất ph−ơng trình x25x − 5x+2 ≤ 0. (2) Giải. (2) ⇔ 5x.(x2 − 52) ≤ 0 ⇔ x2 − 52 ≤ 0 (vì 5x > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5. Ví dụ 3. Giải bất ph−ơng trình 2 xx− 2 a) 778 <+1x− (8 7)x 6, (3) 2 b) 6x−(5x −+7,2x 3,9 −255)≥0. (4) 2 2 xx− − xx− a) (3) ⇔ 778 <+.7( 8 ) 6. (5) xx− 2 Đặt 78 = y. Từ (5) ta có  7 (y −+7)(y 1) y6<+  < 0  y ⇔  y   y0> y0> ⇔ 0 < y < 7. Trở lại biến cũ, ta có 1 x2 (5) ⇔ x1−< ⇔ (x − 4 +−2 2)(x 4 −2 2) <0 8 ⇔ x ∈ (−∞, 4 − (,−∞ 4− 22)∪ (4+ 22,+ ∞).  6x−=0 x6=    2  2 b) (4) ⇔ 52x −+7,2x 3,9 − 55≥ 0 ⇔ x7− ,2x+≥1,40    x6< . x6<  x6=  1 1 ⇔ x(−−x7)≥0 ⇔ x ∈ −∞, ∪ {6}. 5 5  x6< Chú ý. Để đơn giản trong quá trình giải, ta có thể dùng ẩn phụ. Chẳng hạn đối với bất ph−ơng trình f(ax) ≥ 0, 0 < a ≠ 1, ta đặt t = ax để đi đến hệ f(t)≥ 0  t0> . Ví dụ 4. Giải các bất ph−ơng trình sau xx 72 11 a) 31 > , (6) 33 11 b) > . (7) 31xx−−12−1 Giải. a) (6) ⇔ 3172−−x x > tt2 + −<720 ⇔ 72 − x − x > 0 ⇒  tx=≥0 0t≤<8 ⇔  ⇔ 0 ≤ x < 64. tx= 13−−x1− 3x+1 b) (7) ⇔ > 0. (8) (3xx−−1)(1 3 −1) Đặt t= 3x, (8) có dạng 2 t0> t0>   t 4  2t−−  2t−   ⇔  3 > 0 3 > 0  t  t (t −−1)1 (t −−1)1  3  3  3 t −  3  2 1t< < ⇔ > 0 ⇔  2 (t −−1)(4 t)   t4> t0>  x 3  3 13<< 0x<<log Từ đó (8) ⇔  2 ⇔  3   2 x 43< log3 4 < x. Ví dụ 5. Giải bất ph−ơng trình (2)3x +(42)x ≥2.8x. (9) 3 3x x tt+−2≥0 22  (9) ⇔ +≥2 ⇔  x 22 2 t0= >  2 2 (t −+1)(t t +2) ≥0 x  2 ⇔  x ⇔ ≥1 2 2 t0=>  2 (vì t2 + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0]. Chú ý : Khi giải bất ph−ơng trình mũ ta có thể logarit hóa hai vế. Ví dụ 6. Giải các bất ph−ơng trình a) 52x−1 < 73−x , (10) x1− 44 5(3/ 4)x−1 b)  > (11) 55 5 Giải. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (vì hai vế d−ơng) ⇔ (2 + log57)x < 3log57 + 1. 13+ log7 ⇔ x < 5 . 2l+ og5 7 41 43 3 b) (11) ⇔ (x −+1)log log >x −1 − 5552 54 2 43 1 45 ⇔ xlog −>log − 5554 2 52 3 4 log5 − 5 ⇔ x < 5 . 43 2log5 − 54 Ví dụ 7. Tìm a để bất ph−ơng trình sau nghiệm đúng với mọi x, 92xx++(2a1)3+4a2−3>0. (12) Đặt t = 3x, (12) có dạng f(t) := t2 + 2(2a + 1)t + 4a2 − 3 > 0. (13) Bài toán trở thành : tìm a để (13) đúng với mọi t > 0. Ta có f(t) = (t + 2a + 1)2 − 4(a + 1) a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) đúng với mọi t. b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2a+1)(t + 2a + 1 + 2a+1) > 0 t2<− a−1−2a+1 ⇔  t2>− a−1+2a+1 Để (13) đúng với mọi t > 0, cần và đủ là −2a − 1 + 2a+≤1 0 ⇔ 2a+1≤2a+1 (14)  1 4(a +≤1) 4a2 +4a +1 a ≥− ⇔  ⇔  2 2a +≥1 0  2 4a − 3 ≥ 0 3 ⇔ a ≥ . 2  3 Đáp số a ∈ (−∞, −1) ∪  ,)+∞ .  2 Ví dụ 8. Giải và biện luận a) a2 − 9x+1 − 8a.3x > 0, (15) b) a2 − 2.4x+1 − a.2x+1 > 0. (16) a) (15) ⇔ a2 − 8a.3x − 9x+1 > 0 ⇔ (a − 4.3x2) −>25.9x 0 4.3xx−>a 5.3 (17) ⇔ (4.3x2−>a) (5.3x)2 ⇔  xx 4.3 −<a −5.3 . (18) 3ax <− ⇔  (19) x2+ 3a< . + Với a = 0, (19) vô nghiệm x + Với a < 0 (19) ⇔ 3 < −a ⇔ x < log3(−a) 4 x+2 + Với a > 0 (19) ⇔ 3 < a ⇔ x < log3a − 2. b) Đặt t = 2x, (16) có dạng 8t22+ 2at −<a 0  t0> (a −−t)229t >0 (a − 4t)(a +>2t) 0 ⇔  ⇔  t0> t0> ⇔ + Với a = 0, hệ vô nghiệm a + Với a < 0, hệ t−ơng đ−ơng với t < − 2 a nghĩa là (16) nghiệm đúng với mọi x ∈ −∞,log2 − 2 + Với a > 0, hệ t−ơng đ−ơng với a 0 < t < hay x ∈ (−∞, log a − 2). 4 2 Ví dụ 9. Với mỗi a (a > 0, a ≠ 1), giải aa2x + x+2 −≥11. (20) Đặt t = ax > 0. Lúc đó (20) có dạng ta22+−t1≥1 ⇔ (21 −−aa24+4−a2+a4+4 ⇔ tt−−≥1. 22   −+aa24+4 0t<<  2 (vô nghiệm)  22 ta+−t1≤−1    24  −+aa+4 ⇔  tt≥=o   2  −+aa24+4 t ≥24 ⇔ −−aa+8 2 tt≤ = 1 22 2 ta+−t1≥1   24  −+aa+8  tt≥=2   2 Vì t2 > to > 0 và t1 < 0 nên (21) ⇔ t ≥ t2. Từ đó a) Nếu 0 < a < 1 thì (20) ⇔ x ≤ logat2. 5 b) Nếu a > 1 thì (20) ⇒ x ≥ logat2. Ví dụ 10. Giải bất ph−ơng trình a1xx+ a− > với a > 0, a ≠ 1. (22) a1x−−12a−x a1xx+ a− a2xx−−a−1+1+a−x (22) ⇔ −>0 ⇔ > 0 a1xx−−12a− (axx−−1)(1 2a− ) (a−xx− 2)a 12− ax ⇔ > 0 ⇔ > 0 . (23) (axx−−1)(a 2) (axx−−1)(a 2) Đặt t = ax > 0, (23) cho ta 1  1 t − 0t< < 2 < 0 ⇔  2 (24) (t −−1)(t 2)  1t< < 2 a) Với 0 < a < 1, (24) cho ta  x 1 0a− og2  2 a  ⇔  x 0x>>loga 2. 1a<<2 b) Với a > 1 xl<− oga 2 (24) ⇔  0x<<loga 2 2. Bất ph−ơng trình logarit Các tính chất sau đây của logarit hay đ−ợc sử dụng g(x) > 0 logaaf(x) > log g(x)  a)  ⇔ f(x) > g(x) a1>  a1> , f(x) > 0 logaaf(x) > log g(x)  b)  ⇔ g(x) > f(x) 0a<<1  0a<<1, 0f< (x)<1  0g< (x)< 1 c) logf(x) g(x) > 0 ⇔ f(x) > 1  g(x) > 1, 6 0f< (x)<1  g(x) > 1 d) logf(x) g(x) < 0 ⇔ f(x) >1  0g< (x)<1, Ví dụ 1. Giải bất ph−ơng trình 2 a) log5(x − x) < 0 (1) x1− b) log > 0, (2) 3 x2− 2 x(x −>1) 0 Giải. a) (1) ⇔ 0 < x − x < 1 ⇔  2 xx− −<10 x0<  x1> 15−+15 ⇔  ⇔ x ∈ ,0 ∪ 1,  15−+15 22 <<x  22 x1− 1 b) (2) ⇔ >1 ⇔ > 0 ⇔ x > 2. x2− x2− Ví dụ 2. Giải 2 xlog1 (x ++x 1)>0. (3) 5 2 (3) ⇔ xlog5(x ++x 1)<0⇔ x0>  2 xx++1 0 ⇔  ⇔  ⇔ x < −1. x0< x0<  2 xx++1>1 Ví dụ 3. Giải bất ph−ơng trình xx+2 a) log3(3 −1).log1 (3 −9) >−3 (4) 3 24 b) 7 −+log2x log2x >4. (5) x Giải. a) Đặt t = log3(3 − 1). Khi đó (4) có dạng t(−−2 t) >−3 ⇔ t22 + t−<30 ⇔ −3 < t < 1. Do đó 28 (4) ⇔ 33−3x<−1<3 ⇔ < 34x < 27 7 28 ⇔ log <<x log 4 3327 2 b) Đặt t = log2 x ta nhận đ−ợc bất ph−ơng trình 7t− +2t>4 ⇔ 7t− >−42t 7t−≥0  42−<t0 2t< ≤ 7   ⇔  ⇔ 3 42−≥t0  < t2≤ .   4  2 7t−≥4t−16t+16 Chú ý. Trong khi giải bất ph−ơng trình logarit, đôi khi ng−ời ta dùng công thức f(x)g(x) = ag(x)loga f(x). Ví dụ 4. Giải bất ph−ơng trình 2.x2lg(x−1) ≥+1 (x −1)lgx . (6) (6) ⇔ 2.102lg(x−−1)lgx ≥+1 10lg(x 1)lgx Đặt t = 10lg(x−1)lgx , ta có 2t2 − t −≥1 0 (2t +1)(t −≤1) 0  ⇔  ⇔ t ≥ 1. t0> t0> Từ đó, (6) ⇔ 10lg(x−1)lgx ≥ 1 ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0 lg(x −≥1) 0  lgx ≥ 0 x ≥∈ 2 hay x [2, +∞). ⇔  ⇔ lg(x −≤1) 0 (vì hệ sau vô nghiệm)  lgx ≤ 0 Ví dụ 5. Giải các bất ph−ơng trình sau 4x − 5 1 a) log 2 ≥ (7) x |x− 2| 2 3 b) logx2x ≤ logx(2x ). (8) Giải. a) Điều kiện có nghĩa là x022>≠,x1  5  4x − 5 ⇔ x > , x ≠ 2.  > 0 4 |x− 2|  5 x,>≠x2  5  4 x,>≠x2 (7) ⇔  ⇔  4 (9) 4x − 5  ≥ x 4x − 5 ≥−x | x 2 | |x− 2| 8 x2> x2>   2 4x −≥5 x(x −2) x6− x+≤50 (9) ⇔  ⇔  5 5  <<x2  <<x2 4 4 4x −≥5 −x(x −2)  2  x2+ x−≥50 2x<≤5 ⇔  ⇔ x ∈ (2, 5]∪−[ 6 1, 2).  61−≤x<2. b) Điều kiện x ≠ 1, x > 0. Đặt t = logx2, (8) có dạng t + 1 ≤ t+ 3 ⇔ t1+<0  t3+≥0 −≤3t<−1  ⇔  t1+≥0 −≤1t≤1   2 (t +≤1) t +3 x1>  −3l≤≤ogx 21 Từ đó (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔ 0x<<1  −3l≤≤ogx 21 x2≥ 1 ⇔  ⇔ x ∈ 0, 3 ∪[2, +∞).  1   0x<≤3  2   2 Ví dụ 6. Giải bất ph−ơng trình log (x22−−4x 11) −log (x2−4x −11)3 511≥ 0. (10) 25−−x3x2 2 x4−−x11>0 Điều kiện  ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ (2 + 2 25−−x3x≠0 15 , +∞) = D 2 2 3log5(x −−4x 11) Với x ∈ D, log11(x −−4x 11) = . log511 Do đó, trên D 3 log (x2 −−4x 11) (10) ⇒ 2 − 5 (11)  2 log511 25−−x3x log (x2 −−4x 11) 3 ⇔ 5 ≤ 0 (vì 2 − < 0 ) 2 25−−x3x log511 9  2  2 log5(x −−4x 11) ≥0 x4− x−≥111   2 2 25−−x3x2 0 ⇔  ⇔   2  2 log5(x −−4x 11) ≤0 x4− x−≤111    2  2 25−−x3x>0 3x + 5x −<2 0 x(∈−∞,−2)∪[6,+∞)  ⇔ 1 x2∈−,  3 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞). Ví dụ 7. Giải các bất ph−ơng trình a) x(logx1++(x−1) +−x1)logx1x ≤2. (12) Giải : Điều kiện x0>  x1−>0  ⇔ x > 1. x1+>0 x1+≠1 Đặt xtlogx1+ (x−1) = . Khi đó 1 logx1+ (x−1) 1 t > 0, x = t , logx1+ x = logx1+ t logx1+ (x −1) logx1+ x hay logx1+x = logx−1t ⇔ t = (x −1) . Từ đó (12) có dạng 2t ≤ 2 ⇔ t ≤ 1 hay logx1+ (x−1) x1≤ ⇔ logx1+ (x −1) ≤ 0 (vì x > 1) ⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2. Kết luận 1 < x ≤ 2. Ví dụ 8. Giải loga(x − a) > log1 (x +1), (13) a ở đây 0 < a ≠ 1. Giải. Điều kiện x > a. Khi đó 22 (13) ⇔ logaa(x −>a) −log (x +a) ⇔ loga (x − a ) > 0 . (14) 22 xa− > 1 2 a) a > 1, khi đó (14) ⇔  ⇔ x > 1a+ xa> 22 x− a< 1 2 b) 0 < a < 1, lúc đó (14) ⇔  ⇔ a < x < 1a+ . xa> 10 Đáp số : x ∈ (1+a2 ,+∞) với a > 1 x ∈ (a, 1+ a2 ) với 0 < a < 1. Ví dụ 9. Giải bất ph−ơng trình log2 x ++log x 2 aa> 1 ; 0 < a ≠ 1. (15) loga x − 2 Điều kiện x > 0, logax − 2 ≠ 0 hay 0 < x ≠ a2. Đặt t = loga x . Khi đó (15) có dạng tt2 ++2 t42 + > 1 ⇔ > 0 ⇔ t > 2 t2− t2− Trở lại biến cũ xa> 2  a1> t > 2 ⇔ loga x > 2 ⇔  0x< < a2  0a< <1. x∈+(a2, ∞) khi a >1 Kết luận  2 x(∈<0,a)khi0a<1. 11