Báo cáo Các kết quả nghiên cứu theo nhiệm vụ 3 - Đề tài kc.03.08 nhãm sản phẩm robot RE

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CHƯƠNG TRÌNH KC.03 YZ YZ YZ YZ YZ YZY YZ YZ YZY YZ YZ YZY “NGHIÊN CỨU THIẾT KẾ, CHẾ TẠO CÁC ROBOT THÔNG MINH PHỤC VỤ CHO CÁC ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG” Mà SỐ: KC.03.08 BÁO CÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU THEO NHIỆM VỤ 3 - ĐỀ TÀI KC.03.08 Nhãm s¶n phÈm robot re HÀ NỘI 2006 1 MỤC LỤC I. Giới thiệu chung 3 II. Tổng quan về kỹ thuật tái hiện ngược và những vấn đề cơ bản về mô phỏng các đường cong, mặt cong không gian 7 2.1. Giíi thiÖu chung vÒ kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc 7 2.1.1. Qu¸ tr×nh thiÕt kÕ 7 2.1.2. Qu¸ tr×nh “s¶n xuÊt ng−îc” 8 2.1.3. Qu¸ tr×nh kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc 8 2.1.4. øng dông kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc 9 2.1.5. C¸c lo¹i ®Çu dß sè hãa 10 2.1.6. C¸c m¸y ®o phôc vô kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc 11 2.2. Ph−¬ng ph¸p m« t¶ ®−êng cong trªn m¸y tÝnh 14 2.2.1. C¸c phÐp néi suy vµ xÊp xØ ®−êng cong 14 2.3. Ph−¬ng ph¸p m« t¶ c¸c mÆt cong trªn m¸y tÝnh 31 2.3.1. Giíi thiÖu chung vÒ mÆt cong 31 2.3.2. C¸c mÆt cong tù do 32 2.4. §Æt vÊn ®Ò vÒ néi dung nghiªn cøu 37 III. Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo Robot RE 38 3.1. Nghiªn cøu thiÕt kÕ, chÕ t¹o Robot RE 38 3.1.1. Giíi thiÖu chung 38 3.1.2. §éng häc Robot RE-01 42 3.1.3. Ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n ®éng häc Robot RE-02 43 3.1.4. HÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot RE-01 44 3.1.5. Ph−¬ng ¸n chÕ thö Robot RE-01 55 2 3.2. ThiÕt kÕ Robot RE - 02 56 3.2.1. Ph©n tÝch kÕt cÊu 56 3.2.2. ThiÕt kÕ c¬ cÊu d¹ng pantograph 57 3.2.3. TÝnh to¸n c¬ cÊu tay m¸y pantograph 58 3.3. TÝnh to¸n vÒ ®é chÝnh x¸c cña robot RE - 02 73 3.3.1. Tæng quan vÒ sai sè phÐp ®o dïng c¬ cÊu tay ®o 73 3.3.2. TÝnh to¸n sai sè cña robot RE 74 IV. Nghiªn cøu, thiÕt kÕ, chÕ t¹o Robot RE-03 ho¹t ®éng theo täa ®é trô 81 4.1. Giíi thiÖu chung 81 4.2. C¸c m«®un hîp thµnh Robot RE-03 82 V. X©y dùng c¸c ch−¬ng tr×nh phÇn mÒm t¸i hiÖn bÒ mÆt cong kh«ng gian 100 5.1. C¬ së thuËt to¸n x©y dùng c¸c ®−êng cong vµ mÆt cong kh«ng gian 100 5.1.1. C¸c thuËt to¸n x©y dùng ®−êng cong 100 5.1.2. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ®iÓm tùa vµ l−u tr÷ d÷ liÖu cña ®−êng cong 104 5.1.3. Mét sè vÝ dô t¸i hiÖn ®−êng cong 105 5.1.4. Mét sè kÕt qu¶ t¸i hiÖn ®−êng cong ®−îc thùc hiÖn b»ng robot RE 107 5.2. C¬ së thuËt to¸n x©y dùng mÆt cong kh«ng gian 109 5.3. ThuËt to¸n qu¶ bãng r¬i 123 5.4. X©y dùng ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh 127 5.5. Ch−¬ng tr×nh phÇn mÒm t¸i hiÖn c¸c bÒ mÆt cong phøc t¹p 133 VI. KÕt luËn 143 Tµi liÖu tham kh¶o 145 3 b¸o c¸o tãm t¾t C¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu nhiÖm vô 3 ®Ò tµi kc.03.08 nhãm s¶n phÈm robot re I. Giíi thiÖu chung Robot RE là gọi tắt tên một nhóm robot phục vụ kỹ thuật tái hiện ngược (Reverse Engineering). Nhận xét rằng, cơ cấu của các máy đo toạ độ CMM (Coordinate Measuring Machines) rất quen biết trong công nghiệp, cũng như cơ cấu của các thiết bị tay đo hoặc CMM cầm tay (Portable coordinate measuring machine - PCMM) đều có cấu trúc động học như các loại cơ cấu robot. Trên cơ sở nhận xét đó hoàn toàn có thể vận dụng và phát triển các phương pháp nghiên cứu kỹ thuật robot để nghiên cứu các thiết bị đo CNC, kể cả phần cứng và phần mềm. Các phương pháp hiện đại trong kỹ thuật robot tỏ ra có nhiều ưu điểm nổi trội so với các phương pháp kinh điển khi vận hành khai thác các thiết bị CMM. Như đã biết các thiết bị CMM kinh điển, các rất đắt tiền. Nhiều xí nghiệp đang có nhu cầu bức súc trang bị các thiết bị này. Trên hình 1 là ví dụ về máy CMM và khi được lắp thêm loại đầu đo có thể quay nghiêng so với trục thẳng đứng, ví dụ đầu đo hình 2. Trong trường hợp này sơ đồ động của máy CMM ngoài 3 bậc tự do chuyển dịch theo 3 trục toạ độ còn có các bậc tự do bổ sung để tạo các độ nghiêng của trục đầu đo. 4 Hình 1 Máy đo CMM Hình 2. Đầu đo quay nghiêng được Còn trên hình 3 là một kiểu PCMM để bàn. Đó là tay đo 6 bậc tự do Spin Arm của hãng Mitutoyo. Ngoài ra còn có Micro Scribe 3D, Stringer PCMM, 3000i của Cim Core. Sơ đồ động của các thiết bị này đều là những cơ cấu chuỗi hở, như nhiều loại cơ cấu tay máy robot thường gặp. 5 Hình 3. Máy PCMM để bàn Một vấn đề quan trọng của thiết bị CMM là nâng cao độ chính xác đo lường. Ngày nay có xu thế không đơn thuần nỗ lực nâng cao độ chính xác chế tạo thiết bị, vì đó là những việc rất khó khăn và rất đắt tiền. Vì thế người ta còn đồng thời nghiên cứu đề xuất những phần mềm có thể suy luận của phép đo với số làn đo ít nhất có thể. Với cách đặt vấn đề như trên, Đề tài đã triển khai đề mục nghiên cứu các nhóm sản phẩm robot RE với các nội sung sau: 1. Vận dụng các phương pháp của robotics để nghiên cứu các đặc tính hình động học, nhất là độ chính xác của các cơ cấu máy CMM 2. Xây dựng các chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức tạp với số phép đo tối thiểu. 3. Nghiên cứu cải tiến các cơ cấu thiết bị CMM để có khả năng hiện thực trong điều kiện chỉ có các trang bị thông thường cho công nghệ chế tạo. 6 Trong lĩnh vực này Đề tài đã nhận được các kết quả qua: 1. So với các phương pháp kinh điển thì vận dụng các phương pháp hiện đại trong robotics tỏ ra hiệu quả hơn khi giải các bài toán động học thuận, động học ngược và bài toán di chuyển nhỏ liên quan đến độ chính xác cơ cấu tay đo, nhất là đối với trường hợp cơ cấu nhiều khâu phức tạp. 2. Xây dựng được chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức tạp với số phép đo giảm thiểu và đã được cấp giấy bản quyền tác giả. 3. Đề xuất và tạo dựng thành công một loại thiết bị CMM kiểu mới (hình 4), hoạt động theo tọa độ trụ Z = Z (r, ϕ), có độ chính xác đảm bảo, mà giá thành thấp. Hình 4 Thiết bị CMM kiểu mới hoạt động theo tọa độ trụ 7 II. TỔNG QUAN VỀ TÁI HIỆN NGƯỢC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ MÔ PHỎNG CÁC ĐƯỜNG CONG, MẶT CONG KHÔNG GIAN. 2.1. Giới thiệu chung về kỹ thuật tái hiện ngược (Reverse Engineering) “Kỹ thuật tái hiện ngược” là một khái niệm được dịch từ một thuật ngữ tiếng Anh là Reverse Engineering (RE). Nhiều khi nó còn được hiểu và dịch với các tên gọi khác nhau như “kỹ thuật đảo chiều” hay là “kỹ thuật ngược”. Đây là một khái niệm còn tương đối mới mẻ không những ở nước ta mà còn với nhiều nước trên thế giới. Thuật ngữ này xuất hiện và có bản chất từ bài toán kỹ thuật lấy mẫu các chi tiết và vật thể với sự trợ giúp của máy tính. Từ các mẫu vật đã có sẵn như là các tác phẩm điêu khác, các chi tiết cần gia công nhưng không còn bản vẽ chi tiết v.v. Bài toán đặt ra là làm sao để chế tạo được các chi tiết giống hệt với các mẫu đó. Với mục tiêu như vậy dẫn đến ý tưởng là dựng lại mô hình bằng cách xác định tọa độ các điểm trên bề mặt của vật thể. Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả các điểm của vật thể đó, vì như vậy số điểm đo sẽ rất lớn và khó có thể kiểm soát được. Vấn đề ở đây là số điểm đo nhỏ nhất nhưng vẫn đủ để dựng lại chính xác hình dáng hình học của vật thể. Có rất nhiều thuật toán và phương pháp xây dựng các đường và bề mặt không gian dựa trên các điểm tựa. Sau đây ta sẽ tìm hiểu chung về các thuật toán đó và xây dựng phần mềm tái hiện các đường và bề mặt không gian qua các điểm tựa. 2.1.1. Quá trình thiết kế Trong thiết kế kỹ thuật thông thường người thiết kế sẽ xuất phát từ ý tưởng của mình về sản phẩm trong tương lai. Khái niệm ban đầu ấy được xuất phát từ những yêu cầu cụ thể của một nhiệm vụ kỹ thuật nào đó. Với mục đích đã được xác định ý tưởng thiết kế sẽ nảy sinh và một hình hài của 8 sản phẩm được định hình sơ bộ trong óc người thiết kế. Nó có hình dáng ra sao, kích thước lớn nhỏ thế nào v.v. sẽ là những khái niệm đầu tiên. Với những ý tưởng như vậy nó sẽ đựoc kết hợp với quan niệm của người thiết kế để từng bước hình thành nên sản phẩm. Cũng như ý tưởng ban đầu thì quan niệm của mỗi người thiết kế sẽ rất khác nhau. Từ quan niệm của mình sẽ đi đến thiết kế chi tiết. Trong bước này các kích thước, hình dáng sẽ được xác định và thể hiện thông qua các bản vẽ chi tiết CAD/CAM và các chương trình gia công CNC. Bước tiếp theo của quá trình thiết kế là khâu sản xuất dựa trên những bản vẽ chi tiết hoặc các chương trình CNC đã được thiết lập. Kết thúc khâu sản xuất sẽ cho ta một sản phẩm hoàn thiện của qúa trình thiết kế này. 2.1.2. Quá trình “sản xuất ngược” Trong phần trên ta đã chỉ ra một quá trình thiết kế và sản xuất truyền thống với quy trình được mô tả sơ lược như sau: Ý tưởng → Quan niệm thiết kế → Thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC → Sản xuất → Sản phẩm hoàn thiện. Trong sơ đồ này bước khởi đầu là ý tưởng về sản phẩm rồi qua các bước tiếp theo để đi đến sản xuất ra sản phẩm cuối cùng. Quá trình “sản xuất ngược” (tức là ngược lại quá trình sản xuất) sẽ có điểm xuất phát từ một sản phẩm cụ thể đã có sẵn rồi thông qua sản phẩm này để quay lại quá trình sản xuất ra nó. Lược đồ của quá trình này như sau: Sản xuất ↓ Start → Sản phẩm hoàn chỉnh 2.1.3. Quá trình kỹ thuật tái hiện ngược 9 Quá trình này cũng có điểm xuất phát là một sản phẩm hoàn chỉnh và nó được xem như một vật mẫu. Nhưng ở đây không như quá trình sản xuất ngược là quay lại ngay sản xuất, mà đối với kỹ thuật tái hiện ngược còn qua khâu thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC. Nghĩa là mẫu sản phẩm hoàn chỉnh sẽ được tái hiện lại thông qua chương trình mô phỏng CAD/CAM hoặc chương trình gia công CNC rồi từ đó sản xuất ra sản phẩm hoàn chỉnh. Sơ đồ của quá trình kỹ thuật tái hiện ngựoc có thể được mô tả như sau: Thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC ↓ Kỹ thuật Sản xuất tái hiện ngựoc ↓ Start → Sản phẩm hoàn chỉnh 2.1.4. Ứng dụng kỹ thuật tái hiện ngược Đúng như tên gọi của phương pháp: kỹ thuật tái hiện ngược, bài toán đặt ra ở đây là đã có một sản phẩm hoàn chỉnh nào đó và ta cần phải dựng lại mô hình của nó thông qua hệ thống CAD/CAM hoặc chương trình CNC. Tiến đến việc sản xuất ra các phiên bản là sự sao chép y hệt với nguyên bản ban đầu của nó. Với đặc điểm của phương pháp như đã nêu, kỹ thuật tái hiện ngược có thể được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán kỹ thuật như: - Thiết kế chi tiết dựa vào mẫu đã có - Lưu giữ hình dáng, tính chất của mẫu vật hoặc nguyên mẫu ban đầu. - Phục hồi những thiết kế không còn bản vẽ 10 - Đánh bóng sản phẩm - Tạo mẫu nhanh 2.1.5. Các loại đầu dò số hóa Qua các đặc điểm của kỹ thuật tái hiện ngược ta có thể thấy nhiệm vụ của bài toán này là dựng lại mô hình của vật mẫu. Như vậy ta phải nắm bắt được tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể bằng cách đo với các phương pháp đo tọa độ trong không gian 3 chiều. Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể. Vì vậy vấn đề đặt ra là với một số lượng hạn chế các điểm đo ta vẫn dựng lại được chính xác mô hình của vật thể thông qua các chương trình phần mềm. Để nắm bắt được tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể ở đây người ta dùng phương pháp quét số hóa. Đây là phương pháp tập hợp thông tin về hình dạng của các vật thể 2 hoặc 3 chiều. Tập dữ liệu điểm thu được có thể dùng để thiết lập các chương trình gia công NC hoặc làm dữ liệu đầu ra của hệ thống CAD. Các loại sensor sẽ là công cụ thực hiện việc quét số hóa này. Sau đây ta tìm hiểu một số loại sensor thường được dùng trong kỹ thuật này. 2.1.5.1. Đầu dò điểm tiếp xúc Với loại sensor này khi thực hiện thao tác đo, đầu dò sẽ tiếp xúc trực tiếp với bề mặt cần đo. Tiếp điểm của đầu đo và bề mặt là tọa độ cần xác định của phép đo. Ưu điểm của loại sensor này là độ chính xác cao, giá thành thấp, lực tiếp cận nhỏ. Còn nhược điểm là tốc độ xác định dữ liệu điểm chậm 2.1.5.2. Đầu quét liên tục Đây cũng là loại đầu dò tiếp xúc, nhưng khác với loại trên chỉ ghi nhận dữ liệu điểm khi có lệnh của người thao tác. Còn với loại sensor này 11 dữ liệu sẽ được ghi liên tục khi đầu quét di trượt trên bề mặt đo. Vì vậy tập dữ liệu chứa một số lượng rất lớn điểm đo. Ưu điểm của phương pháp đo này là độ chính xác tương đối cao, dữ liệu liên tục. Nhược điểm là đầu dò có thể chệch hướng khi đo. 2.1.5.3. Đầu quét laser Không như hai loại đầu quét kể trên là có sự tiếp xúc của đầu đo với bề mặt cần đo. Ở đây đầu đo sẽ sử dụng kỹ thuật laser để bắt các điểm đo. Các tia laser với cường độ lớn sẽ được phát ra đến bề mặt đo vì vậy sẽ đo được các bề mặt lớn với khoảng cách tương đối xa. Đặc điểm nổi bật của phương pháp này là bắt dữ liệu nhanh, đầu đo không tiếp xúc cơ học với bề mặt, do vậy có thể đo được các bề mặt với chất liệu mềm. Nhược điểm của phương pháp là: - Sự giới hạn phạm vi theo chiều trục z - Không đo được bề mặt phản xạ - Yêu cầu bề mặt đo phải thẳng góc 2.1.6. Các máy đo phục vụ kỹ thuật tái hiện ngược Trên đây ta đã biết đến các loại đầu dò dùng để bắt tọa độ các điểm. Tuy nhiên nó cần phải được gắn với một thiết bị nào đó để thực hiện tốt các thao tác của phép đo. Tùy thuộc vào độ mềm dẻo của thiết bị sẽ cho phép các thao tác đo càng dễ dàng thực hiện, điều này phụ thuộc vào cấu trúc và số bậc tự do của thiết bị đó. Trong thực tế các thiết bị có thể dùng để thao tác đo rất đa dạng, nó có thể là chuyên dụng hoặc đa năng. Sau đây ta sẽ xét đến các loại thiết bị có thể dùng cho bài toán tái hiện ngược. 2.1.6.1. Máy công cụ số hóa 12 Đây là loại máy được thiết kế chủ yếu để phục vụ việc gia công. Tuy nhiên trong những mẫu máy mới có trang bị thêm thiết bị để kết hợp làm nhiệm vụ “tái hiện ngược”. Bản chất của nó là máy gia công chi tiết cơ khí với đầu mang dao thông thường có 3 chuyển động tịnh tiến theo 3 chiều của hệ trục tọa độ Đềcác. Như vậy nếu ta thay thế đầu dao gia công bằng một đầu dò và đặt chi tiết cần lấy mẫu lên bàn máy thì lúc này ta đã có một máy với công dụng tương đương với máy đo tọa độ 3 chiều. Đầu dò sẽ quét trên bề mặt của vật mẫu và ghi lại tọa độ của các điểm cần đo. Ưu điểm của phương pháp này là: - Tận dụng máy đã có sẵn - Sự thao tác với máy đã quen thuộc - Nhanh chóng hòa nhập với máy - Vùng quét khá rộng Bên cạnh đó cũng tồn tại những nhược điểm như: - Chiếm dụng thời gian làm việc của máy - Làm việc chậm với đầu dò tiếp xúc trực tiếp 2.1.6.2. Máy đo tọa độ (Coordinate Measuring Machine: CMM) Qua tªn gäi ta còng dÔ dµng thÊy ®−îc c«ng dông chÝnh cña m¸y. §©y lµ mét lo¹i m¸y chuyªn dông ®−îc thiÕt kÕ ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é §Ò c¸c cña c¸c ®iÓm ®o. §Çu dß th−êng dïng lo¹i tiÕp xóc vµ cã 3 chuyÓn ®éng theo 3 trôc X, Y, Z trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c. M¸y ®−îc kÕt nèi víi m¸y tÝnh PC vµ cã phÇn mÒm xö lý d÷ liÖu kÌm theo. To¹ ®é c¸c ®iÓm ®o sÏ ®−îc l−u tr÷ trong bé nhí cña m¸y tÝnh sau ®ã ®−îc xö lý b»ng phÇn mÒm. KÕt qu¶ thu ®−îc sÏ lµ ®Çu ra cña c¸c hÖ thèng CAD/CAM m« pháng l¹i bÒ mÆt víi ®é chÝnh x¸c cao tuú thuéc vµo ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o còng nh− thuËt 13 to¸n vµ phÇn mÒm lµm viÖc víi d÷ liÖu. V× ®©y lµ m¸y chuyªn dông cho viÖc sè ho¸ bÒ mÆt nªn nã cã rÊt nhiÒu −u ®iÓm næi bËt nh−: - M¸y cã dung l−îng bé nhí l−u tr÷ d÷ liÖu lín. - Cã vïng quÐt réng. - KÕt nèi vµ truyÒn d÷ liÖu trùc tiÕp cho m¸y gia c«ng. - §é chÝnh x¸c rÊt cao. M¸y dïng lo¹i ®Çu ®o tiÕp xóc trùc tiÕp nªn nã còng tån t¹i nh÷ng nh−îc ®iÓm cña lo¹i thiÕt bÞ nµy nh−: - LÊy d÷ liÖu chËm. - Møc ®é c¬ ®éng thÊp 2.1.6.3- M¸y quÐt. Còng gièng nh− c¸c lo¹i m¸y ®o to¹ ®é ë trªn. M¸y quÐt nµy lµ mét thiÕt bÞ chuyªn dïng cho viÖc sè ho¸ bÒ mÆt, nh−ng cã sù kh¸c biÖt ë ®©y lµ dïng lo¹i ®Çu dß kh«ng tiÕp xóc. Do vËy tèc ®é lÊy d÷ liÖu nhanh, tiÕp cËn ®−îc víi nh÷ng vÞ trÝ khã kh¨n, nh÷ng ho¹ tiÕt nhá trªn bÒ mÆt chi tiÕt. M¸y ®−îc kÕt nèi m¸y tÝnh vµ cã phÇn mÒm thao t¸c víi d÷ liÖu nªn sÏ cho phÐp dÔ dµng t¸i hiÖn l¹i bÒ mÆt còng nh− xuÊt kÕt qu¶ sang c¸c m¸y gia c«ng sè. 2.1.6.4- M¸y ®o to¹ ®é kiÓu tay quay. §©y lµ mét lo¹i thiÕt bÞ sè ho¸ bÒ mÆt chuyªn dông cã cÊu t¹o pháng sinh nh− mét c¸nh tay cã 5 bËc tù do víi liªn kÕt lµ c¸c khíp b¶n lÒ. T¹i mçi khíp ®−îc g¾n víi mét encorder ghi l¹i chuyÓn ®éng quay t−¬ng ®èi cña 2 kh©u. Khi lµm viÖc ®Çu dß di tr−ît trªn bÒ mÆt cña vËt thÓ lµm cho c¸c khíp quay vµ c¸c encorder sÏ ghi l¹i trÞ sè gãc quay cña tõng khíp t−¬ng øng. Sau ®ã qua c¸c ch−¬ng tr×nh phÇn mÒm kÌm theo sÏ tÝnh to¸n chuyÓn ®æi 14 thµnh to¹ ®é ®iÓm 3 chiÒu cña ®Çu ®o. TËp hîp c¸c ®iÓm ®o nµy sÏ ®−îc xö lý gièng nh− ®èi víi c¸c m¸y ®o kh¸c ®· t×m hiÓu ë trªn. 2.2- Ph−¬ng ph¸p m« t¶ c¸c ®−êng cong trªn m¸y tÝnh. 2.2.1- C¸c phÐp néi suy vµ xÊp xØ ®−êng cong. C¸c ®−êng cong sö dông trong m« h×nh ho¸ h×nh häc cã thÓ ®¬n gi¶n ho¸ chØ lµ ®−êng th¼ng hoÆc ®−êng trßn. Tuy nhiªn trong c¸c øng dông kü thuËt ®ßi hái ph¶i cã c¸c ®−êng cong phøc t¹p h¬n. §−êng cong bÊt kú cã thÓ biÓu diÔn b»ng ma trËn c¸c ®iÓm, tuy vËy nã ®ßi hái sù l−u tr÷ lín vµ kh«ng thÓ biÓu diÔn chÝnh x¸c h×nh d¹ng cña ®−êng cong. V× vËy c¸c ph−¬ng tr×nh to¸n häc, cô thÓ lµ c¸c hµm ®a thøc th−êng ®−îc dïng ®Ó thÓ hiÖn c¸c ®−êng cong. §a thøc thÓ hiÖn c¸c −u ®iÓm næi bËt nh− vÒ sù ®¬n gi¶n trong tÝnh to¸n c¸c gi¸ trÞ thùc (chØ dïng c¸c phÐp tÝnh nh©n vµ céng) vµ ®Æc biÖt thuËn lîi cho viÖc tÝnh to¸n b»ng m¸y tÝnh. Bªn c¹nh ®ã c¸c øng dông trong ®å ho¹ m¸y tÝnh th−êng ®ßi hái x¸c ®Þnh c¸c tiÕp tuyÕn vµ ph¸p tuyÕn cña ®−êng cong, do vËy ph−¬ng tr×nh ®a thøc hiÓn nhiªn lµ sù lùa chän tèt nhÊt cho viÖc tÝnh vi, tÝch ph©n ®−êng cong. Trong kü thuËt c¸c ph−¬ng ph¸p to¸n häc dïng ®Ó biÓu diÔn c¸c ®−êng cong th−êng dùa trªn c¸c lý thuyÕt néi suy hoÆc xÊp xØ. Lý thuyÕt néi suy lµ bµi to¸n thiÕt kÕ ®−êng cong ®i qua tËp hîp c¸c d÷ liÖu ®iÓm. PhÐp néi suy ®−îc sö dông ®Ó tÝnh to¸n gi¸ trÞ c¸c ®iÓm l©n cËn. C¸c phÐp néi suy th−êng ®−îc dïng nh−: néi suy tuyÕn tÝnh tõng khóc (®é chÝnh x¸c thÊp), néi suy ®a thøc Lagrange, ®−êng cong tham sè bËc 3 (Hermite), ®−êng cong spline bËc 3 ... Cßn trong lý thuyÕt xÊp xØ, ®−êng cong ®−îc thiÕt kÕ mµ kh«ng cÇn quan t©m ®Õn chÊt l−îng cña phÐp néi suy, tiªu chuÈn quan träng nhÊt ë ®©y lµ ®é tr¬n, lµ sù thay ®æi côc bé trong thiÕt kÕ. Do vËy ph−¬ng ph¸p biÓu diÔn ®−êng cong xÊp xØ sÏ t¹o ra ®−êng cong tr¬n xÊp xØ c¸c ®iÓm cho s½n chø kh«ng ®i qua chÝnh x¸c tÊt c¶ c¸c ®iÓm ®ã. 15 2.2.1.1- C¸c phÐp néi suy. a. §a thøc Lagrange. XÐt mét d·y c¸c ®iÓm trªn mÆt ph¼ng: (x0 , y0), (x1, y1), ... (xn , yn) trong ®ã xi < yj víi i < j. §a thøc néi suy bËc n cã thÓ x¸c ®Þnh nh− sau: ∑ = = n i niin xLyxf 0 , )()( (2.1) trong ®ã ∏ ≠= − −= n ij j ji j i xx xx L 0 (2.2) Cã thÓ thÊy r»ng thõa sè yi = 1 khi x = xi nh−ng sÏ b»ng 0 khi x b»ng bÊt kú gi¸ trÞ to¹ ®é nµo kh¸c. Víi n = 1 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm: 01 10 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ( ) ( )n x xx x x xf x y y y y y x x x x x x ⎛ ⎞−− −= − = + − ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ + Nh−îc ®iÓm cña ®a thøc Lagrange lµ bËc cña ®a thøc phô thuéc vµo sè l−îng c¸c ®iÓm sö dông. NÕu cÇn ®é chÝnh x¸c cao h¬n th× sè l−îng ®iÓm sö dông t¨ng, t¹o ra 1 ®a thøc bËc cao h¬n dÉn ®Õn cã sù dao ®éng lín vÒ h×nh d¹ng ®−êng cong (h×nh 2.1). Trong c¸c øng dông kÜ thuËt th× c¸c dao ®éng nµy kh«ng ®−îc chÊp nhËn. 16 H×nh 2.1 Sù dao ®éng ®¸ng kÓ h×nh d¹ng ®−êng cong cña phÐp néi suy khi t¨ng sè ®iÓm sö dông. H×nh 2.2. Mét ®iÓm trªn ®−êng cong tham sè bËc ba b. §−êng cong tham sè bËc ba (Hermite). §−êng cong tham sè bËc ba ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: 10;)( 3 0 ≤≤= ∑ = ttatp i i i (2.3) x y x y y z x P(t) 17 trong ®ã P(t) lµ mét ®iÓm trªn ®−êng cong (H×nh 2.2) C¸c hÖ sè ®¹i sè ai trong (2.3) cã thÓ biÓu diÔn râ rµng theo c¸c ®iÒu kiÖn biªn, c¸c ®iÓm cuèi vµ c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn nh− sau: a0 = p(0) , a2 = -3p(0) + 3p(1) - 2p'(0) - p'(1) a1 = p'(0) , a3 = 2p(0) - 2p(1) + p'(0) + p'(1) Thay ai vµo (1.3) vµ s¾p xÕp l¹i ta cã: p(t) = (2t3 - 3t2 + 1)p(0) + (-2t3 + 3t2)p(1) +(t3 - 2t2 + t)p'(0) + (t3 - t2)p'(1) (2.4) Ph−¬ng tr×nh (2.4) nµy ®óng cho mçi ph©n ®o¹n tham sè bËc 3 cña tËp hîp c¸c ph©n ®o¹n (H×nh 2.3). Tãm l¹i ®−êng cong tham sè bËc 3 ®−îc biÓu diÔn b»ng c¸c ®a thøc bËc 3 tõng khóc víi liªn tôc vÞ trÝ vµ ®é nghiªng. C¸c gi¸ trÞ tham sè t biÕn thiªn tõ 0 ®Õn 1 ®èi víi mçi ph©n ®o¹n. [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − = )1(' )0(' )1( )0( 0001 0100 1233 1122 1)( 23 p p p p ttttp (2.5) p(0), p(1), p'(0), p'(1): hÖ sè h×nh häc. H×nh 2.3.PhÐp néi suy tham sè bËc ba tõng khóc 2 3 4 5 P 1 P P P P 18 c. §−êng cong spline bËc 3. ý t−ëng cña ®−êng cong spline dùa trªn viÖc sö dông mét thanh cong spline dÎo, máng ®Ó vÏ ®−êng cong tr¬n ®i qua mét lo¹t c¸c ®iÓm. Thanh spline tù nhiªn ®−îc t¹o d¸ng b»ng c¸ch liªn kÕt c¸c vËt chÆn nÆng víi thanh tr−ît dÎo. NÕu c¸c vËt chÆn trong thanh spline ho¹t ®éng gièng nh− c¸c gèi tùa ®¬n gi¶n th× ®−êng cong trë thµnh ®a thøc bËc 3 tõng khóc, cã ®¹o hµm bËc 2 liªn tôc t¹i mçi gèi tùa, nghÜa lµ liªn tôc vÞ trÝ, liªn tôc tiÕp tuyÕn vµ liªn tôc ®é cong. C¸c ®−êng cong spline bËc 3 tõng khóc cã nhiÒu −u ®iÓm khi sö dông trong c¸c bµi to¸n kü thuËt, ®Æc biÖt khi gi¸ trÞ d÷ liÖu t−¬ng ®èi chÝnh x¸c vµ cã sè l−îng lín, vÝ dô nh− kÕt qu¶ ®o c¬ tÝnh vËt liÖu(khèi l−îng riªng, modun ®µn håi,…), t¸i hiÖn l¹i c¸c ®−êng cong, mÆt cong khi biÕt ®−îc mét sè h÷u h¹n c¸c ®iÓm cña chóng. ThuËt ng÷ “spline” trong ®å ho¹ m¸y tÝnh vµ m« h×nh ho¸ h×nh häc dïng ®Ó chØ sù biÓu diÔn tham sè tõng khóc mét c¸ch tæng qu¸t víi møc ®é ®Æc biÖt cña sù liªn tôc tham sè. §−êng cong spline bËc ba ®−îc biÓu diÔn bëi 1 ®a thøc bËc 3 cã ®¹o hµm bËc 2 liªn tôc t¹i c¸c ®iÓm nèi chung gi÷a c¸c ph©n ®o¹n. ý t−ëng liªn tôc tham sè ®−îc biÓu diÔn b»ng ch÷ C in hoa víi c¸c chØ sè ë trªn lµ 0, 1, 2,… t−¬ng øng víi c¸c cÊp ®é liªn tôc cña ®−êng cong. D¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña tÝnh liªn tôc lµ sù liªn tôc vÒ vÞ trÝ, vµ ®−îc gäi lµ tÝnh liªn tôc C0 , nã b¶o ®¶m r»ng kh«ng cã sù gi¸n ®o¹n hoÆc b−íc nh¶y trªn ®−êng cong. ë møc ®é liªn tôc C1, ®−êng cong sÏ cã ®é dèc hoÆc lµ ®¹o hµm bËc nhÊt liªn tôc. ë møc ®é liªn tôc C2, ®−êng cong sÏ bÞ uèn cong hoÆc lµ cã ®¹o hµm bËc 2 liªn tôc vµ t−¬ng tù nh− vËy ë c¸c cÊp ®é cao h¬n. Chó ý r»ng c¸c ®iÒu kiÖn liªn tôc nµy liªn quan ®Õn c¸c ph−¬ng tr×nh tham sè nªn ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn liªn tôc tham sè. Bªn c¹nh ®ã cßn 19 tån t¹i c¸c ®iÒu kiÖn liªn tôc kh¸c nh− lµ liªn tôc h×nh häc mµ ta kh«ng xÐt ®Õn ë ®©y. NÕu c¸c ph©n ®o¹n cña ®−êng cong spline bËc 3 ®−îc tham sè ho¸ 1 c¸ch riªng rÏ, sao cho tham sè t biÕn thiªn tõ 0 ®Õn 1 ®èi víi tÊt c¶ c¸c ph©n ®o¹n th× ®−êng cong spline bËc 3 chuÈn nµy lµ tr−êng hîp ®Æc biÖt cña phÐp néi suy Hermite. PhÐp néi suy nµy ®¶m b¶o tÝnh liªn tôc cña ®¹o hµm bËc nhÊt gi÷a c¸c ph©n ®o¹n. Trong ®−êng cong spline bËc 3 nµy, c¸c gi¸ trÞ ®¹o hµm bËc nhÊt ®−îc chän sao cho nã còng trïng víi ®¹o hµm bËc 2 . Ma trËn hµm liªn kÕt tr¬n cho ®−êng cong spline chuÈn (t=0->1) trong tr−êng hîp nµy gièng nh− ma trËn dïng trong phÐp néi suy Hermite: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − 0001 0100 1233 1122 123 ttt (2.6) Hµm sè ®−êng cong spline bËc 3 ®èi víi mçi ph©n ®o¹n ®−îc x¸c ®Þnh bëi ph−¬ng tr×nh: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − = )1(' )0(' )1( )0( 0001 0100 1233 1122 1)( 23 p p p p ttttp (2.7) p(0), p(1), p'(0), p'(1): hÖ sè h×nh häc. hoÆc: P(t) = [t][M]H[G]H (2.8) ë ®©y ma trËn [t] vµ [M]H lµ bÊt biÕn ®èi víi tÊt c¶ c¸c ph©n ®o¹n cña ®−êng cong spline bËc 3. C¸c thay ®æi chØ xuÊt hiÖn trong ma trËn h×nh häc [G]H , vµ kh¸c nhau trong tõng ph©n ®o¹n. Trong ma trËn [G]H c¸c vÐc t¬ ®iÓm cuèi ®· ®−îc biÕt cho tõng ph©n ®o¹n bËc 3, nh−ng c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn 20 ph¶i ®−îc x¸c ®Þnh sao cho tÝnh liªn tôc cña ®¹o hµm bËc 2 ph¶i ®−îc b¶o ®¶m. Do ®ã t¹i mçi ®iÓm Pi cña ph©n ®o¹n c¸c gi¸ trÞ ph¶i ®−îc lùa chän sao cho ®¹o hµm bËc 2 t¹i ®iÓm cuèi cña 1 ph©n ®o¹n trïng víi ®¹o hµm bËc 2 cña ®iÓm b¾t ®Çu cña ph©n ®o¹n kÕ tiÕp. BiÓu diÔn to¸n häc cña nã nh− sau: P’’i-1(1) = P’’i(0) (2.9) §èi víi ®a thøc bËc 3: Pi(t) = a3it 3 + a2it 2 + a1it 1 + a0i (2.10) ®¹o hµm bËc 2 lµ: P’’i(t) = 6a3it + 2a2i (2.11) Thay biÓu thøc (2.11) vµo (2.9) víi c¸c gi¸ trÞ tham sè t−¬ng øng, ta cã: 6a3(i-1) + 2a2(i-1) = 2a2i (2.12) C¸c gi¸ trÞ a2 vµ a3 ®−îc tÝnh trong phÐp néi suy Hermite ®−îc thay vµo (2.12), céng víi tÝnh liªn tôc vÞ trÝ C0 , biÕn ®æi ta ®−îc: P’i-1 + 4P’i + P’i+1 = 3(Pi+1 - Pi-1) (2.13) víi l−u ý ë ®©y Pi vµ P’i ®· ®−îc biÓu diÔn thay thÕ cho Pi(0) vµ P’i(0) nh»m ®¬n gi¶n ho¸ c¸ch viÕt. Sö dông lÆp l¹i nhiÒu lÇn ph−¬ng tr×nh (2.13) cho tÊt c¶ c¸c ph©n ®o¹n cña spline bËc 3 cho phÐp tÝnh ®−îc tÊt c¶ c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn trong. Gi¶ sö ®−êng cong spline bËc 3 cã n-1 ph©n ®o¹n, tõ P0 ®Õn Pn-1, néi suy n ®iÓm. Trong tr−êng hîp nµy cã n-2 ®iÓm nèi bªn trong, dÉn ®Õn n-2 ph−¬ng tr×nh (2.13). V× cÇn n vÐc t¬ tiÕp tuyÕn nªn cÇn ph¶i cã c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc cho ®−êng spline bËc ba. Hai ®iÒu kiÖn rµng buéc th−êng sö dông lµ: 1. BiÕt c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn P’0 vµ P’n-1 t¹i c¸c ®iÓm cuèi. 21 2. §¹o hµm bËc 2 t¹i 2 ®iÓm cuèi P0 vµ Pn-1 ®Òu b»ng 0. §©y gäi lµ ®−êng cong spline bËc 3 tù nhiªn. Tr−êng