Bài tập môn toán: thể tích khối đa diện

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Quảng Nam Trường THPT Lê Quý Đôn BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANG THÀNH Tổ : Toán - Tin Trường THPT Lê Quý Đôn Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm của quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích và học toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu .Qua thực tế giảng dạy tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán. I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu xác định đường cao tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy Để xác định đường cao ta lưu ý Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy. Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy. Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mp đó Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông. Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định. Sau đây là các bài tập Bài1 Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó. Bài giải Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy Khi đó AE=AD= Ta có SAD=600 nên SE=AE.tan600=a SABC= Do đó VSABC=SE.SABC= BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp Bài giải Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy Ta có p==9a Nên SABC==6a2. mặt khác SABC=pr r== trong SDK có SD=KDtan600 = r.tan600= 2a. Do đó VSABC=SD.SABC=8a3. Bài 3 Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600, đáy là tam giác cân AB=AC=a vàBAC=1200 .Tính thể tích khối chóp đó. Bài giải Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Có SO chính là đường cao SABC=1/2.AB.AC.sin1200= và BC=2BD=2.ABsin600=a. OA=R==a SO=OA.tan600=a. Do vậy VSABC=SO.SABC=1/4a3. Bài 4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a và mpSAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN. Bài giải Hạ SH AB tại H thì SH chính là đường cao SADM=1/2AD.AM=a2 SCDN=1/2.CD.CN=.a2 Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2. mặt khác SH== do đó VSBMDN=.SH.SBMDN= Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a. Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài giải Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB. Ta có SImpABCD IC==a IB= =a và BC==a SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2 SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2 SIBC=SABCD-SIAB-SDIC= mặt khác SIBC=.IH.BC nên IH = SI=IH.tan600=. Do đó VABCD=SI.SABCD=a3 Bài 6 Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ASB= 600,CSB=900, CSA=1200 CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp. Bài giải Gọi E,D lần lượt là AC,BC SAB đều AB=a, SBC Vuông BC=a. SAC có AE=SA.sin600= AC=avà SE=SAcos600=a. ABC có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy ABC vuông tại B Có SABC=.BA.BC= SBE có BE=AC= SB2=BE2+SE2=a2 nên BE SE AC SE Do đó SE chính là đường cao VSABC= SE.SABC= Bài 7 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a,ACB=600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ. Bài giải Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a ABAC và ABA1A Nên AB mp(ACC1A) do đó AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a. Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1==2a Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a..a.a=a3. Bài 8 Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách đều ba điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó. Bài giải Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC= mặt khác A1A= A1B= A1C A1ABC là tứ diện đều gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=vàA1AG=600 A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC= Bài 9 Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB=.Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A=,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy tính thể tích trụ. Bài giải Tam giác ABC có cạnh huyền AB=và cân nên CA=CB=1; SABC=1/2.CA.CA=1/2. . MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G. A1G chính là đường cao Từ G hạ GH AC tại H Gt góc A1HG=600 Đặt AH=x(x>0) Do AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x HGA1 có A1G=HG.tan600=x. A1AG có A1A2=AG2+A1G2 3=2x2+3x2 hay x= Do đó A1G= vậy VLT=A1G.SABC= Bài 10 Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= và AD=. Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1. giải Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD Từ H hạ HMAD tại M và HNAB tại N Theo gt A1MH=600 và A1NH=450 Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M== tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông) Nên HN=AM mà AM== Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450 Suy ra x = hay x= vậy VHH=AB.AD.x= 3. II ) TÍNH GIÁN TIẾP Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác) Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A1,B1,C1 khác với S thì Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác) Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC AH / / A1E nên SAH và SA1E đồng dạng Khi đó VSABC=AH.SSBC=AH.SB.SC.sinBSC. VSABC = A1E.SSBC = A1E.SB1.SC1.sinBSC. Do vậy Nên Bài 1 Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và BSA=600, ASC=1200, CSB=900. Hãy tính thể tích chóp Bài giải Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I Vây ta có lời giải sau Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a, Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a, Ta có (theo bài 6) Mà = Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA. giải Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a. Mà VLT=A1H.SABC= nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp khối chóp CA1B1C1 có =VLT khối chóp B1ABC có =VLT Khối chóp A1B1CA do đó =VLT = Bài 3 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Bài giải DDFH K A D B C B1 C1 D1 A1 I E F J Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv) Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1 Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c” Theo TA-LET Và V1= -2.= V2= Vhh-V1= do vậy III) BÀI TOÁN ÔN TẬP Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp Bài 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C. Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE. Giải Cách 1 tính trực tiếp gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd= Tương tự gọi K là trung điểm AB Cách 2 Nên cách 1 Tính trực tiếp gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=ACd và F=BC d MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE Ta có Mặt khác Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích ) Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a,SA=2a và SA ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Bài giải Cách 1 tính trực tiếp Ta có Nên cân tại A mà AI SC nên I là trung điểm SC AI=SI= Mà cho nên Trong tam giác vuông HAI có Tương tự ta có AK= Cách 2 tính gián tiếp Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH SB, AKSD Tương tự Do đó VSAHIK= Bài 3 Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi giải nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y đặt (x,y)= và d(x,y)=d Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv) Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ VLT= d.SCDE=d.CD .CE.sin=d.b.a.sin mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm Tứ diện BCDE có VBCDE=.d(B,CDE).SCDE=.VLT Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau Do vậy VABCD=.VLT=.d.a.b.sin= hằng số l Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau” Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c. Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó Bài giải Gọi O Là tâm hcn ABCD Ta có SG=.SO và K=A GSC và K là trung điểm SC Tương tự Do đó Trong mpSBD Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên Đặt t=( ) thì Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)= với Ta có Nên (loại) f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3 do vậy VSAMKN =là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B VSAMKN =là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB III. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳngqua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF. Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA vuông góc với đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC. Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 3 Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết MpSBA vuông góc với mpSCA Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường thẳng BB1và mpABC bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng .hãy tính thể tích khối trụ đó Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600. hãy tính thể tích khối trụ Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,BC=2a. Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc . hãy tính thể tích khối lăng trụ. Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D. N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần. Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1, Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà D. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Hãy tính thể tích khối chóp. Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh AB=BC=CD=1/2.AD Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh góc vuông là SB=8a,SD=15a. hãy tính thể tích khối chóp Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh a,mpADC vuông góc mpBCD. Tính VABCD. Bài 14 Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM, BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên (A1AB),(A1BC),(A1CA) hợp với đáy (ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a,AC=2a. tính VLT. Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần. tính thể tích từng phần. Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao cho BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi mp qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC mp qua MP và song song với AI mp qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD=, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min. Baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy sao cho mpBDM vuông góc với mpBDN Tính AM.CN theo a. Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min. Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho MN=AM+BN. CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN. CMR. ....HẾT...