Bài tập giải tích

Bài tập giải tích dành cho hệ VB2 và hệ VLVH GV: ThS Trần Thị Tuấn Anh 1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH Dạng 1 : dùng ñịnh nghĩa liên tục và ñịnh nghĩa ñạo hàm Bài 1. Cho hàm số ( ) 1 0 0 xe x x xy f x m x  − − ≠ = =   = neáu neáu 1. Xác ñịnh m ñể ( )f x liên tục tại 0x = . 2. Tính ( )0f ′ ứng với giá trị của m vừa tìm ñược ở trong câu 1. Bài 2. Cho hàm số ( ) neáu neáu 2 1 cos 0 0 x x x xy f x m x  + − ≠= =   = 1. Xác ñịnh m ñể ( )f x liên tục tại 0x = . 2. Tính ( )0f ′ ứng với giá trị của m vừa tìm ñược ở trong câu 1. Bài 3. Cho hàm số ( ) 2 2 1 0 0 xe x x xy f x m x  − − ≠= =   = neáu neáu 1. Xác ñịnh m ñể hàm số liên tục tại 0x = . 2. Tính ( )0f ′ ứng với giá trị của m vừa tìm ñược ở trong câu 1. Bài 4. Cho hàm số ( ) neáu neáu 2 1 cos( 1) 1 1 1 x x x xy f x m x  − − − ≠ −= =   = 1) Xác ñịnh m ñể ( )f x liên tục tại 1x = . 2) Tính ( )1f ′ ứng với giá trị của m vừa tìm ñược ở trong câu 1 Bài 5. Cho hàm số: ( ) 24 6 ( 2) 2 ( 2) xe x x xf x m x + − − ≠ − +=   = − a) Xác ñịnh m ñể f liên tục tại 2x = − . b) Tính ( )2f ′ − ứng với giá trị của m vừa tìm ñược ở trong câu a. Bài tập giải tích dành cho hệ VB2 và hệ VLVH GV: ThS Trần Thị Tuấn Anh 2 Dạng 2 : tính các giới hạn dạng vô ñịnh 1. 2. 0 sin 3 sin2 lim sinx x x x→ − 3. 2 22 2 3 lim 2 x x e x x x − → − + − 4. 3 0 2 1 1 lim x x x x→ + − + 5. ( ) 1 1 2 lim ln 2 3 x x e x x + →− − − + 6. +→0 lim ln x x x 7. ( ) − → + − − 2 2 3 lim ln 1 x x e x x 8. →0 lim cot x x gx 9. 2 30 2 ln(1 ) 2 lim x x x x x→ + − + 10. 30 lim x tgx x x→ − 11. 30 sin lim x x x x→ − 12. sin 20 sin 1 lim x x e x x→ − − 13. 2 40 2cos 2 lim x x x x→ − − 14. lim 2 x x e x→+∞ . 15. → − − 20 sin 4 sin2 lim 1xx x x e 16. 1 3 2 lim lnx x x x→ − − 17. →0 ln(cos5 ) lim ln(cos2 )x x x Dạng 3 : tính các tích phân 18. 0 xI xe dx +∞ − = ∫ 19. +∞ = ⌠ ⌡ 2 1 1 J dx x 20. 2 0 xI xe dx +∞ − = ∫ 21. = − ⌠ ⌡ 2 2 1 4 x J dx x 22. = ∫ 1 0 ln 2K x xdx 23. +∞ = + ⌠ ⌡ 5 4 dx J x x 24. +∞ + ⌠ ⌡ 7 9 dx x x 25. 2 3 5x x x dx x   − +    ⌠  ⌡ 26. 2 0 2 5 dx I x x +∞ = + + ⌠ ⌡ 27. 0 1 1 dx I x − = + ⌠ ⌡ Bài tập giải tích dành cho hệ VB2 và hệ VLVH GV: ThS Trần Thị Tuấn Anh 3 Dạng 4 : tính vi phân hàm một biến Bài 6. Tính ñạo hàm của hàm: 1xy e x x−= − Bài 7. Tìm vi phân cấp hai của hàm số sau : y = 2 1 x x + Bài 8. Tìm vi phân cấp hai của hàm số sau : y = 5 3xx e Dạng 5 : tính vi phân và cực trị hàm nhiều biến Bài 9. Tìm cực trị của hàm số 3 3 6x y xy+ − Bài 10. Cho hàm số: ( ) ( )= + +2 3, ln 1f x y x y 1) Tìm vi phân toàn phần của f . 2) Tính 2d f . Bài 11. Cho hàm số: ( ) 2 2, 2 4 5 4 2 10f x y x xy y x y= − + − − + 1. Tìm ( ),df x y và ( )2 ,d f x y . 2. Tìm cực trị của hàm. Bài 12. Cho hàm số: ( ) = + +, 2 3 1f x y x y 1) Tìm vi phân toàn phần của f . 2) Tính ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 , f f x y . Bài 13. Cho hàm số: ( ) −= 3 2, yf x y x e 1) Tìm vi phân toàn phần của f . 2) Tính 2d f . Bài 14. Cho hàm số: ( ) ( )= + −, sinxyf x y e x y 1. Tìm ∂ ∂ ∂ ∂ , f f x y và vi phân toàn phần của f . 2. Tính 2d f . Dạng 6 : Các bài toán kinh tế Bài 15. Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng ñó là PQD −= 300 . Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là 1033319 23 ++−= QQQC Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể có ñược lợi nhuận tối ña. Bài 16. Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị trường là PQD −= 2640 . Hàm chi phí 10010002 ++= QQC Bài tập giải tích dành cho hệ VB2 và hệ VLVH GV: ThS Trần Thị Tuấn Anh 4 a. Hãy xác ñịnh mức thuế t trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất b. Nếu ta muốn doanh nghiệp sản xuất ít nhất là 300 sản phẩm thì ta có thể ñịnh mức thuế trên một sản phẩm tối ña là bao nhiêu? Bài 17. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu của loại sản phẩm trên từng thị trường lần lượt là: 1 21 2 340 ; 300D DQ P Q P= − = − và hàm tổng chi phí 2 20 10C Q Q= + + . Tìm mức sản lượng phân phối trên từng thị trường ñể xí nghiệp có lợi nhuận tối ña Bài 18. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu của loại sản phẩm trên từng thị trường lần lượt là: 1 21 2 520 2 ; 340D DQ P Q P= − = − và hàm tổng chi phí 2 20 10C Q Q= + + . Tìm mức sản lượng phân phối trên từng thị trường ñể xí nghiệp có lợi nhuận tối ña Bài 19. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại sản phẩm này là: = − + 1 1 2 450DQ P P , = + −2 1 21500 2DQ P P Hàm tổng chi phí là: ( ) = + +2 21 2 1 1 2 2,C Q Q Q QQ Q . Hãy tìm các mức sản lượng cần sản xuất ñể xí nghiệp ñạt lợi nhuận tối ña. Bài 20. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại sản phẩm này là: = − + 1 1 2 250DQ P P , = + −2 1 21750 2DQ P P Hàm tổng chi phí là: ( ) = + +2 21 2 1 1 2 2,C Q Q Q QQ Q . Hãy Hãy tìm các mức sản lượng cần sản xuất ñể xí nghiệp ñạt lợi nhuận tối ña. Bài 21. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại sản phẩm này là: 1 1 2 500DQ P P= − + , 2 1 22000 2DQ P P= + − Hàm tổng chi phí là: ( ) = + +2 21 2 1 1 2 2,C Q Q Q QQ Q . Hãy tìm các mức sản lượng cần sản xuất ñể xí nghiệp ñạt lợi nhuận tối ña. Bài 22. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu của loại sản phẩm trên trên hai thị trường lần lượt là: 1 21 2 710 2 ; 430D DQ P Q P= − = − với 1 2, P P là giá của sản phẩm này trên từng thị trường. Biết hàm tổng chi phí 2 20 10C Q Q= + + trong ñó 1 2Q Q Q= + Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể xí nghiệp có lợi nhuận tối ña. Bài 23. Một công ty ñộc quyền nhập một loại hàng. Biết hàm cầu của loại hàng hóa là = −860 DQ P Tìm hệ số co giãn của hàm cầu tại mức giá 200P = . Bài 24. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu của loại sản phẩm trên trên hai thị trường lần lượt là: 1 21 2 810 2 ; 490D DQ P Q P= − = − Bài tập giải tích dành cho hệ VB2 và hệ VLVH GV: ThS Trần Thị Tuấn Anh 5 với 1 2, P P là giá của sản phẩm này trên thị trường một và hai . Biết hàm tổng chi phí 2 20 10C Q Q= + + trong ñó Q là sản lượng. Tìm mức sản lượng và lượng hàng phân phối trên từng thị trường của loại sản phẩm trên ñể xí nghiệp có lợi nhuận tối ña Bài 25. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu của loại sản phẩm trên từng thị trường lần lượt là: 1 21 2 780 2 ; 480D DQ P Q P = − = − và hàm tổng chi phí 2 20 10C Q Q= + + . Tìm mức sản lượng và lượng hàng phân phối trên từng thị trường của loại sản phẩm ñể xí nghiệp có lợi nhuận tối ña. Bài 26. Một xí nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm lợi nhuận là 1 1 2 2 1 2 2( , )PQ PQ C Q Q tQΠ = + − − Trong ñó cho 1 213, 16, 2P P t= = = và hàm tổng chi phí 2 21 1 2 2 3C Q QQ Q= + + + . Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường của loại sản phẩm ñể xí nghiệp có lợi nhuận tối ña