Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 6: Thiết kế bộ lọc số dựa vào hàm truyền - Lê Tiến Thường

ïp p* sẽ xấp xỉ bằng nhau, nghĩa là |zA – p*| ª |zQ – p*|. Ta có tỷ số: CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( ) ** , pzpz GzH pzpz GzH QQ Q AA A −−=−−= ( ) ( ) PAPQpz pz zH zH A Q Q A =− −= CHUƠNG 6: THIET KE BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Điềàu kiệän 3-dB, |H(zA)/H(zB)| =1/ trởû thàønh |PQ|/|PA| = 1/ hoặëc |PA| = |PQ|, cóù nghĩa làø tam giáùc vuông â PQA sẽ cân vỡ â ùùi góùc OPA = 450. Tam giáùc PQB cũng lã øø tam giáùc vuông cân. Nhơâ â øø đóù |AB| = 2|QA| = 2|PQ| = 2(1 - R). Nhưng cung bị chắén bởûi góùc Dw bằèng báùn kính đườøng tròøn, tứùc làø cóù sốá đo bằèng Dw. Cung nàøy xấáp xỉ bằèng |AB| nên â Dw = |AB| = 2(1-R) . Phương trình (6.4.4) có thể dùng như một tiêu chuẩn thiết kế quyết định giá trị R ứng với băng thông Dw cho trước. Nhờ dùng các phân số từng phần ở phương trình (6.4.3) có thể tìm đáp ứng xung nhân quả của bộ lọc. Với n ≥ 0 2 2 2 2 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Phương trình sai phân cho bộ lọc biến đổi từ phương trình (6.4.3). ta có: Suy ra Và trong miền thời gian Hoặc (6.4.5) CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( )00 0 sin sin ωωω += nR Gnh n ( ) ( ) ( ) ( )zX zaza GzXzHzH 2 2 1 11 −− ++==( ) ( ) ( )zGXzYzaza =++ −− 22111 ( ) ( ) ( ) ( )nGxnyanyany =−+−+ 21 21 ( ) ( ) ( ) ( )nGxnyanyany =−−−−= 21 21 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Hình 6.4.4. Cách thực hiện dạng trực tiếp bộ lọc cộng hưởng Ví dụ 6.4.1 Thiết kế bộ lọc cộng hưởng hai cực với đỉnh tại f0 = 500 Hz và độ rộng Dw = 32 kHz, tốc độ lấy mẫu fS = 10 kHz. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Giải: Tần số cộng hưởng chuẩn hóa là Độ rộng tương ứng Phương trình (6.4.4) dẫn ã đếán 2(1-R) = 0.02 => R = 0.99 Vớùi giáù trị tìm đượïc củûa R, ta tính đượïc cáùc thông sô áá củûa bộä lọïc: Vàø hàøm truyềàn bộä lọïc Đáùp ứùng biên â độä vàø đáùp ứùng xung ởû hình dướùi. Hằèng sốá thờøi gian hiệäu quảû củûa bộä lọïc làø neff = ln(Œ) /ln(R) = 458 cáùc mẫu thơã øøi gian. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN [ ]rad/mẫu ππω 1.02 00 == Sf f 02.02 =Δ=Δ Sf fπω 9801.0,8831.1,0062.0 1 =−== 2a aG ( ) 11 9801.08831.11 0062.0 −− +−= zzzH 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Đồ thị chỉ vẽ đến n = 300. Một phương pháp chung cho bộ lọc cộng hưởng là đặt một cặp zero ở gần các cực theo cùng hướng các cực, tức là tạo các vị trí CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 00 j* 1 j 1 rea,rea ω−ω == 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Với r nằm trong khoảng 0 ≤ r ≤ 1. Hàm truyền trở thành (6.4.6) Các hệ số bộ lọc tính theo r, R, w0 (6.4.7) Đáp ứng bình phương biên độ tương ứng là Hình 6.4.5 đưa ra sơ đồ cực/zero. Khi r < R, cực mạnh hơn zero, tức là nó gần đường tròn đơn vị hơn và tạo ra một đỉnh nhọn trong đáp ứng tần số tại w = w0. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( )( )( )( ) 2211 2 2 1 1 11 11 1 1 Re1Re1 11 00 00 −− −− −−− −−− ++ ++=−− −−= zaza zbzb zz zrezrezH jj jj ωω ωω 2 201 2 201 ,cos2 ,cos2 rbrb RaRa =−= =−= ω ω ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )2020 2 0 2 02 cos21cos21 cos21cos21 RRRR rrrrH ++−+−− ++−+−−= ωωωω ωωωωω 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Cộng hưởng có thể xem là một trường hợp đặc biệt với r = 0. Khi r > R, zero mạnh hơn cực và tạo nên một dip trong đáp ứng tần số. Đăïc biệt nếu r = 1, ta có một zero chính xác, một notch, tại w = w0. Khi cựïc vàø zero rấát gầàn nhau, nghĩa làø r ≤ R hoặëc r ≥ R, đáùp ứùng tầàn sốá kháù bằèng phẳúng trong khoảûng tầàn sốá kháùc w = ± w0, do khoảûng cáùch từø điểåm chuyểån độäng ejw so vớùi cặëp cựïc/zero gầàn bằèng nhau, nên |H(â w)| ª 1. Chỉ khi ởû gầàn khoảûng w = ± w0 thì |H(w)| mớùi thay đổåi rấát nhanh vàø tạïo ra mộät đỉnh hoặëc mộät dip. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng Hình 6.4.5 Bộ lọc cân bằng tham số (Parametric equalizer filter). CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch Trường hợp r = 1 ứng với bộ lọc notch sẽ dẫn đến những thảo luận sau. Trong trường hợp này, các hệ số bộ lọc trong phương trình (6.4.7) có thể viết là: a1 = Rb1 = -2Rcosw0, a2 = R2b2 = R2 Và hàm truyền có dạng: Vớùi N(z) làø đa thứùc tửû sốá cóù cáùc zero tạïi hai vị trí notch : CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( )( )zRN zNzRbzRb zbzbzH 12211 2 2 1 1 1 1 −−− −− =++ ++= 0ωjez ±= ( ) ( )( )112012211 00 11cos211 −−−−−−− −−=+−=++= zezezzzbzbzN jj ωωω 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch Phương pháp này có thể tổng quát hóa để xây dựng bộ lọc notch với các notch tại tại một loạt (hữu hạn) bất kỳ các tần số. Đa thức tử số N(z) được định nghĩa là đa thức có các zero trên đường tròn đơn vị tại những vị trí notch mong muốn. Ví dụ có N tần số notch mong muốn wi, i = 1, 2, , M, N(z) là đa thức bậc M có các zero tại (phương trình notch) (6.4.8) CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN Miez iji ,...,2,1, == ω ( ) ( )∏ = −−= M i j zezN i 1 11 ω 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch Đa thức mẫu số D(z) = N(rz-1) với 0 < r < 1 là Các zero của D(z) nằm cùng hướng với các zero notch, nhưng dịch vào phía trong đường tròn đơn vị tại bán kính ρ. Do đó với mỗi zero mong muốn , có một cực tương ứng . Khai triển phương trình (6.4.8) Ta cóù hàøm truyềàn ứùng vớùi bộä lọïc notch (6.4.9) CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( ) ( )∏ = −− −== M i j zezNzD i 1 11 1 ρρ ω ij i ez ω= ij i e ωρρ = ( ) MM zbzbzbzN −−− ++++= ....1 2211 ( ) ( )( ) MMM M M zbzbzb zbzbzb zN zNzH −−− −−− − ++++ ++++== ρρρρ ....1 ....1 2 2 21 1 2 2 1 1 1 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch Các hệ số mẫu số được chọn tỉ lệ với các hệ số tử số. Nếu r gần một, r ≤ 1, các khoảng cách từ điểm chuyển động ejw tới cặp cực/zerogần bằng nhau, ngoại trừ vùng quanh cặp này, nghiã là không gần w = wi. Do đó H(w) vẫn bằng phẳng ngoại trừ trong vùng xung quanh các tần số notch mong muốn. Ví dụ 6.4.3: Hệ thống DSP hoạt động tại tần số lấy mẫu 600 Hz, bị nhiễu tại tần số 60 Hz và các hài của nó. Thiết kế bộ lọc notch loại bỏ tất cả các hài mà vẫn phẳng với các tần số khác. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN Miba i i i ,...,2,1, == ρ 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch Giải: Hài cơ bản là Các hài khác tại fi = if1 ứng với w = wi. Có 10 hài nằm trong khoảng tần số Nyquist [0, fs], ký hiệu là fi, ứng với i = 0, 1, , 9. Do fs = 10f1, tất cả các hài nằm ngoài khoảng tần số Nyquist (nếu không bị lọc bởi bộ lọc chống aliasing) sẽ bị aliase thành các hài nằm trong khoảng này. Ví dụ, hài f11 = 11fs bị aliase f11 – fs = 11f1 - 10f1 = f1, và cứ như thế. Do đó bộ lọc notch số phải được thiết kế sao cho có các notch tại 10 tần số trong khoảng tần số Nyquist. Suy ra 10 nghiệm của đa thức CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN [rad/mẫu] πππω 2.0 600 6022 1 1 === Sf f 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch Bộ lọc notch tìm được là: vớùi R = r10. Hình sau đưa ra sơ đồà cựïc/zero ứùng vớùi hàøm truyềàn nàøy vàø đáùp ứùng biên â độä tương ứùng (chỉ tính toáùn giữa 0 õ ≤ w ≤ p). Chọïn R = 0.98, hoặëc r = R0.1 = (0.98)0.1 = 0.998. Báùn kính r củûa cáùc cựïc rấát gầàn đườøng tròøn đơn vị vàø do đóù tạïo ra cáùc notch rấát nhọïn tạïi cáùc hàøi mong muốán. Tạïi cáùc tầàn sốá kháùc, đáùp ứùng biên â độä bằèng phẳúng. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( )∏ = −− −=−= 9 0 110 11 i j zezzN iω ( ) ( )( ) 10 10 1010 10 1 1 1 1 1 − − − − − − −=− −== Rz z z z zN zNzH ρρ 6.4. Thiết kế cực và zero 6.4.3. Bộ Lọc Comb Và Notch CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định Trong một số ứng dụng có thể cần loại bỏ tác dụng lọc trước đó và khôi phục lại tín hiệu vào từ tín hiệu ra sẵn có. Tín hiệu ra y(n) liên hệ với tín hiệu vào theo phương trình chập: y(n) = h(n) * x(n) (6.5.1) Mụïc đích củûa phương pháùp giảûi chậäp làø nhằèm khôi â phụïc x(n) từø tín hiệäu đã biẽ áát y(n) vàø h(n). Theo lýù thuyếát, điềàu nàøy cóù thểå thựïc hiệän nhờø lọïc ngượïc, tứùc làø lọïc tín hiệäu y(n) qua bộä lọïc ngượïc: (6.5.2) Thựïc sựï, trong miềàn z từø phương trình (6.5.1) ta cóù: CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( )zHzH inv 1= 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định và trong miền thời gian: x(n) = hinv(n) * y(n) (6.5.3) hinv(n) là đáp ứng xung của bộ lọc ngược Hinv(z). Hình 6.5.1 minh họa quá trình: Hình 6.5.1: Lọïc ngượïc đểå khôi phuâ ïïc tín hiệäu ban đầàu. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzHzYzHzXzXzHzY inv==⇒= 1 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định Hai ứùng dụïng điểån hình củûa lọïc ngượïc làø cân bâ èèng kênh â (channel equalization) trong truyềàn dữ liẽ ääu hoặëc âm â thanh sốá vàø cân bâ èèng trong âm thanh xe hoâ ëëc phòøng trong hệä thốáng âm tâ ààn. Hình 6.5.2: Bộ kênh bằng kênh. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định Âm thanh tạo bởi hệ thống âm tần trong phòng nghe bị thay đổi do đặc tính phản xạ và hấp thụ của đồ vật và hình dạng tường của phòng. Tác động của phòng có thể mô hình bởi đáp ứng xung phản xạ hroom(n), sóng âm thanh thực sự đến tai người nghe là phiên bản đã bị nhiễu của tín hiệu nguyên thủy x(n) do hệ thống tạo ra: yroom(n) = hroom(n) * x(n) (6.5.4) Đáp ứng xung hroom(n) phụ thuộc vào vị trí người nghe trong phòng, nhưng có thể đo đạc được và giải chập bằng cách lọc ngược: CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định Bên cạnh việc loại tác động phản xạ nội trong phòng, người ta có thể muốn thêm tiếng phản xạ xung quanh phòng hòa nhạc để tăng phần ấm áp và sinh động. Nếu tín hiệu x(n) được nghe trong phòng hòa nhạc có đáp ứng phản xạ hhall(n), âm thanh nghe được thực sự là: yhall (n) = hhall(n) * x(n) (6.5.5) Bộ xử lý tác động âm tần DSP (DSP audio effects processor) có sẵn có thể mô phỏng đặc tính phản xạ của một phòng hòa nhạc điển hình và thực hiện phép lọc trên. Hình 6.5.3 là bộ xử lý tác động âm tần lý tưởng. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzHzXzXzHzY roomroomroomroom 1=⇒= 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định Hình 6.5.3 Bộ xử lý tác động âm tần lý tưởng. Trước tiên, giải chập âm thanh trong phòng nhờ tiền lọc tín hiệu âm tần x(n) bằng bằng bộ lọc ngược của hàm truyền phòng, dự đoán trước tác động của phòng, và chập nó với đáp ứng phản xạ mong muốn của phòng hòa nhạc. Hàm truyền khi ấy là hàm truyền hiệu quả, có dạng CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định Với bộ xử lý tác động DSP, sóng âm thanh trong phòng sẽ nghe giống như ở phòng hòa nhạc, phương trình (6.5.5). Bộ xử lý này sẽ được đề cập chi tiết trong chương 8. CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zHzHzHzHzH hallroomhallroomeff == 1 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN 6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN