Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 5: Biến đổi Z - Lê Tiến Thường

ó dạng: D(z) =(1 – p1z-1) (1 –p2z-1)(1 – pMz-1) Khai triển phân số từng phần X(z) : CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( )zD zNzX = (5.5.1) Đểå cóù thểå khai triểån dạïng z-1 thì bậäc đa thứùc tửû sốá N(z) phảûi nhỏû hơn bậäc M đa thứùc mẫu sỗ áá. Hệä sốá khai triểån Ai cóù thểå tính theo công thâ ứùc: (5.5.2) vớùi I = 1, 2, , M. Mặët kháùc, thừøa sốá (1 – pIz-1) bị bỏû khỏûi mẫu sỗ áá vàø biểåu thứùc còøn đượïc tính tạïi cựïc z = pi. Ví dụï 5.5.2: Trong ví dụï 5.2.3 biếán đổåi z đượïc viếát dướùi dạïng: CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( ) ( ) 1- M M 1- 2 2 1- 1 1 1- M 1- 2 1- 1 zp-1 A... zp-1 A zp-1 A )zp-(1 )zp-(1 )zp-(1 zN zD zNzX +++= == ( ) ( )[ ] ( )( ) 1 1 pzij 1 j pz 1 ii zp1 zNzXzp1A =≠ −= − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=−= ∏ Bởi vì đa thức tử số có bậc 1 theo biến z-1, khai triển PF có dạng: Hai hệ số đạt được nhờ (5.5.2): Nếu bậc của đa thức tử số N(z) chính xác bằng với bậc M của mẫu số D(z) thì khai triển (5.5.1) phải hiệu chỉnh bằng cách thêm số hạng phụ dạng: CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( )11 1 21 1 z25.11z8.01 z05.22 zz05.21 z05.22zX −− − −− − −− −=+− −= ( ) 121121 1 z25.11 A z8.01 A zz05.21 z05.22zX −−−− − −+−=+− −= ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 1 z8.01 z05.22zXz25.11A 1 8.0/25.11 8.0/05.22 z25.11 z05.22zXz8.01A 25.1z 1 1 25.1z 1 2 8.0z 1 1 8.0z 1 1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −=−= =− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −=−= = − − = − = − − = − (5.5.3) Các hệ số Ai, i = 1, 2, , M được tính tương tự bởi (5.5.2). hệ số phụ A0 chính là biến đổi z tại z = 0, nghĩa là: (5.5.4) Nếáu bậäc củûa N(z) lớùn hơn M thì ngườøi ta cóù thểå chia đa thứùc D(z) cho N(z), tìm sốá thương vàø đa thứùc dư, đểå màø N(z) = Q(z)D(z) + R(z) vàø kếá đóù viếát CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( ) ( ) 1- M 1- 2 1- 1 1- M 1- 2 1- 1 zp-1zp-1zp-1 )zp-(1 )zp-(1 )zp-(1 M21 0 A...AAA zN zD zNzX ++++= == ( ) 0z0 zXA == ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zD zRzQ zD zRzDzQ zD zNzX +=+== Bây giờ, số hạng thứ hai sẽ thỏa mản khai triển PF thông thường dạng (5.5.1) bởi vì bậc của đa thức dư R(z) nhỏ hơn M. Một cách khác, người ta có thể khử hoàn toàn đa thức tử số N(z), kế đó tính khai triển PF thông thường của đại lượng và cuối cùng khôi phục tử số bằng cách viết: X(z) = N(z)W(z) Chúng ta có thể xem phương pháp này như phương pháp “khử/phục hồi”. Một số ví dụ sẽ minh họa phương pháp này. CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )zD 1zW = Ví dụ 5.5.3: Chúng ta nhấn mạnh rằng khai triển PF có thể tồn tại trên một biến độc lập, z-1 nhưng không trên biến khác, z. Ví dụ biến đổi z: cóù tửû sốá bậäc 1 tương ứùng vớùi biếán z-1 nhưng bậäc 2 ứùng vớùi z. Vì thếá, nóù thỏûa mảûn khai triểån dạïng (5.5.1) tương ứùng vớùi z-1 nhưng không vơâ ùùi z. Nhiềàu sáùch thích sửû dụïng z hơn vàø do đóù đểå cóù thểå khai triểån PF, hệä sốá z đượïc chia đểå làøm giảûm bậäc củûa tửû sốá vàø kếá đóù khôi phuâ ïïc khi kếá thúùc, nghĩa làø CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( ) ( )( )( )25.1z8.0z 05.2z2zz25.11z8.01 z05.22zX 11 1 −− −=−− −= −− − ( ) ( ) ( )( ) 25.1z A 8.0z A 25.1z8.0z 05.2z2z z zX 21 −+−=−− −= Khi z được khôi phục, ta có: Dễ dàng chứng minh rằng các hệ số khai triển PF sẽ giống nhau theo 2 cách. Trong sách này, chúng tôi thích z-1 hơn và tránh các bước số học phụ mà yêu cầu viết mọi thứ theo số hạng z, cho chia z, khôi phục z, và viết lại kế quả cuối cùng theo số hạng z-1. Ví dụ 5.5.4: Tính các biến đổi z ngược hợp lý của CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) 121121 z25.11 A z8.01 A 25.1z zA 8.0z zAzX −− −+−=−+−= ( ) 2 1 z25.01 z6zX − − − += Giải: Bởi vì tử số có bậc 1 theo z-1, chúng ta có khai triển PF: trong đó: Hai cực tại ± 0.5 có cùng biên độ và vì thế chia mặt phẳng z thành 2 miền ROC I và II: |z| > 0.5 và |z| < 0.5. CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( ) 121111 1 2 1 z5.01 A z5.01 A z5.01z5.01 z6 z25.01 z6zX −−−− − − − ++−=+− +=− += 2 z5.01 z6A,4 z5.01 z6A 5.0z 1 1 2 5.0z 1 1 1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − +==⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + += −= − − = − − Đối với ROC thứ nhất, cả hai số hạng trong khai triển PF được biến đổi nhân quả thành: x(n) = A1(0.5)nu(n) + A2(– 0.5)nu(n) Bởi vì ROC này cũng chứa vòng tròn đơn vị, tín hiệu x(n) sẽ ổn định. Với ROC thứ hai, cả hai khai triển PF được biến đổi phản nhân quả thành: x(n) = – A1(0.5)nu(– n – 1) – A2(– 0.5)nu( – n – 1) Đáp số này không ổn định bởi vì ROC không chứa vòng tròn đơn vị. Ví dụ 5.5.5: Xác định tất cả biến đổi z ngược của CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) 2 21 z25.01 zz10zX − −− − −+= Giải: Trong trường hợp này, không sử dụng được khai triển PF thông thường vì bậc của tử số bằng bậc của mẫu số. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể có khai triển dạng (5.5.3). CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( ) 1211011 21 2 21 z5.01 A z5.01 AA z5.01z5.01 zz10 z25.01 zz10zX −−−− −− − −− ++−+=+− −+=− −+= Trong đó, A1 và A2 được xác định theo cách thông thường và A0 được xác định bằng cách tính X(z) tại z = 0: Một lần nửa, chỉ có hai ROC I và II: |z| > 0.5 và |z| < 0.5. Đối với ROC thứ nhất, cả hai số hạng A1 và A2 được biến đổi nhân quả thành và số hạng A0 đơn giản biến đổi ngược là δ(n). x(n) = A0d(n) + A1(0.5)nu(n) + A2(– 0.5)nu(n) Với ROC thứ hai, ta có: x(n) = A0d(n) – A1(0.5)nu(– n – 1) – A2(– 0.5)nu( – n – 1) CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z 2 z5.01 zz10A ,4 z5.01 zz10A 4 25.0 1 25.0z 1zz10 z25.01 zz10A 5.0z 1 21 2 5.0z 1 21 1 0z 2 12 0z 2 21 0 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −+==⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + −+= =− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −+= −= − −− = − −− == − −− Chỉ biến đổi ngược thứ nhất là ổn định vì ROC chứa vòng tròn đơn vị. Ví dụ 5.5.6: Xác định biến đổi z ngược nhân quả của CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) 2 5 z25.01 z6zX − − − += Giải: Bậc của tử số hoàn toàn lớn hơn bậc của mẫu số. Phương pháp thứ nhất là chia tử số cho mẫu số, ta có: (6 + z-5) = (1 – 0.25z-2)(– 16z-1 – 4z-3) + (6 + 16z-1) Trong đó (6 + 16z-1) là đa thức dư và (– 16z-1 – 4z-3) là số thương. Kế tiếp: và khai triển số hạng cuối cùng thành dạng PF: Biếán đổåi z nhân quâ ûû cóù ROC sẽ lã øø |z| > 0.5: x(n) = - 16 d(n - 1) - 4d(n - 1) + 19(0.5)nu(n) - 13( -0.5)nu(n) CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) 2 1 31 2 5 z25.01 z166z4z16 z25.01 z6zX − −−− − − − ++−−=− += ( ) 1131 z5.01 13 z5.01 19z4z16zX −− −− +−−+−−= Phương pháp thứ hai là “khử/khôi phục”. Bỏ qua tử số chúng ta có: mà có biến đổi z nhân quả: x(n) = 0.5(0.5)nu(n) + 0.5( -0.5)nu(n) Khi đã biết w(n) thì x(n) có thể tìm được bằng cách khôi phục tử số: X(z)= (6 + z-5)W(z)= 6W(z)+ z-5W(z) Lấy biến đổi z ngược cả hai vế và sử dụng tính chất trể, ta có: CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) 112 z5.01 5.0 z5.01 5.0 z25.01 1zW −−− ++−=−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5nu5.05.05nu5.05.0 nu5.03nu5.03)5n(wnw6)n(x 5n5n nn −−+−+ −+=−+= −− Hai kết quả thu được từ hai phương pháp là tương đương. Ví dụ 5.5.7: Xác định tất cả biến đổi z ngược có thể có của: Giải: X(z) thỏa khai triển PF trong đó các hệ số khai triển PF dễ dàng tìm được. Bốn cực tại z = 0.5, 1, -1, 1.5 chia miền z thành 4 miền ROC I, II, III, IV. Miền I tương ứng với đảo hoàn toàn phản nhân quả và miền IV tương ứng với đảo hoàn toàn nhân quả. CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( )( ) 1 2 3 2 1 1 7 9 .5 3 .5 5 .5 1 1 0 .5 1 1 .5 z z zX z z z z − − − − − − − − += − − − ( ) 1111 z5.11 2 z5.01 3 z1 1 z1 1zX −−−− −+−+++−= Đối với miền II, cực tại z = 0.5 sẽ biến đổi ngược nhân quả và phần còn lại phản nhân quả. Còn miền III, z = 0.5 và z = ±1 sẽ biến đổi ngược nhân quả và z = 1.5 thì đảo phản nhân quả. Do đó, bốn biến đổi z ngược có thể có là: Nói chính xác, không có kết quả nào là ổn định bởi vì hai cực z = ± 1 nằm trên vòng tròn đơn vị. Tuy nhiên, x2(n) và x3(n) là ổn định biên, nghĩa là không hội tụ cũng phân kỳ về 0 khi nhân quả lớn. CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )nu5.125.0311nx 1nu5.12nu5.0311nx 1nu5.1211nu5.03nx 1nu5.125.0311nx nnn 4 nnn 3 nnn 2 nnn 1 ++−+= −−−+−+= −−+−+−= −−++−+−= Trong cả hai trường hợp, số hạng phản nhân quả (1.5)n tiến về 0 với nhân quả âm lớn. Thật vậy, do nhân quả âm, chúng ta viết n = - |n| và (1.5)n = (1.5)- |n|ơ 0 khi n ơ•. Các số hạng do cực z = ± 1 là nhân quả hoặc phản nhân quả trong trường hợp II và III, nhưng chúng vẫn bị chặn. Hai tín hiệu khác x1(n) và x4(n) là không ổn định vì vòng tròn đơn vị không nằm trong ROC của chúng. Giả sử rằng đa thức tử số và mẫu số N(z) và D(z) có các hệ số thực nghĩa là các cực phức của X(z) là các cặp liên hợp phức. Trong trường hợp đó, khai triển PF có dạng: CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ... zp1 A zp1 A zp1 AzX 1 2 2 1* 1 * 1 1 1 1 +−+−+−= −−− Trong đó, các hệ số khai triển PF cũng là các cặp liên hợp phức. Vì thế, chỉ cần xác định một là đủ, không cần cả hai. Biến đổi z ngược tương ứng sẽ là thực, thật vậy, xét trường hợp nhân quả chúng ta có: Bởi vì hai số hạng đầu tiên là liện hợp phức của nhau nên chúng ta có thể dùng kết quả C + C* = 2Re(C) cho bất kỳ số phức C nào để viết số hạng thứ nhất. Viếát A1 vàø p1 dướùi dạïng cựïc: vớùi B1 > 0 vàø R1 > 0, ta cóù: vàø lấáy phầàn thựïc củûa lũy thõ ừøa, ta cóù: CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( ) ( ) ( ) ...nupAnupAnupAnx n22n*1*1n11 +++= ( ) ( ) [ ]n11n*1*1n11 pARe2nupAnupA =+ 11 j 11 j 11 eReBA ωα == pvà [ ] [ ] [ ]1111 jnjn11njn1j1n11 eReRBeReBRepARe α+ωωα == và Do đóù, cáùc cựïc phứùc tương ứùng hàøm sin suy giảûm theo lũy thõ ừøa (nếáu R1 < 1). Đườøng bao suy giảûm vàø tầàn sốá ω1 phụï thuộäc vàøo cựïc phứùc . Cáùc sốá hạïng bậäc mộät trong khai triểån PF tương ứùng vớùi cáùc cựïc liên hơâ ïïp phứùc cóù thểå đượïc tổå hợïp lạïi thàønh sốá hạïng bậäc hai vớùi cáùc hệä sốá thựïc như sau: Sửû dụïng đồàng nhấát thứùc: CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( ) [ ] ( )11n11n11n*1*1n11 ncosRB2pARe2nupAnupA α+ω==+ ( ) ( ) ...nupAncosRB2)n(x n2211n11 ++α+ω= n 1R 1j 11 eRp ω= ( ) ( )( )( )1*111 1 1 * 1 * 11 * 11 1* 1 * 1 1 1 1 zp1zp1 zpApAAA zp1 A zp1 A −− − −− −− +−+=−+− Hoặc và viết A1 + A1* = 2Re(A1) = 2B1cos(a1) A1p1* + A1*p1 = 2Re(A1p1*) = 2B1R1cos(ω1 - a1) chúùng ta tìm đượïc: cóù cáùc hệä sốá thựïc. Ví dụï 5.5.8: Xáùc định tấát cảû biếán đổåi z ngượïc cóù thểå cóù củûa: CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( )( ) ( ) 221111*111 zpzpRe21zp1zp1 −−−− +−=−−( )( ) ( ) 2211111j11j1 zRzcosR21zeR1zeR1 11 −−−ω−−ω +ω−=−− ( ) ( ) ( ) 221111 1 111111 1* 1 * 1 1 1 1 zRzcosR21 zcosRB2cosB2 zp1 A zp1 A −− − −− +ω− ω−α−α=−+− ( ) 2 21 z25.01 zz34zX − −− + +−= Giải: vớùi cáùc giáù trị CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( )( ) 1 2 1 1 0 11 21 2 21 jz5.01 A jz5.01 AA jz5.01jz5.01 zz34 z25.01 zz34zX −− −− −− − −− +−+= −+ +−=+ +−= Vì thế: ROC nhân quả là ⏐z⏐ > ⏐0.5j⏐ = 0.5 sẽ cho: Vì hai sốá hạïng cuốái cùøng làø liên hơâ ïïp phứùc củûa nhau nên â chúùng ta viếát lạïi thàønh: Viếát jn+1 = ejπ(n+1)/2, ta tìm đượïc phầàn thựïc: vàø CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z j3 jz5.01 zz34A ,4 z25.01 zz34A j5.0z 1 21 1 0z 2 21 0 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + +−==⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + +−= = − −− = − −− ( ) 2 1 11 z25.01 z34 jz5.01 j3 jz5.01 j34zX − − −− +−=+−−+= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nuj5.0j3nuj5.0j3n4nx nn −−+= δ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]1nnn jRenu5.06n4nuj5.0j3Re2n4nx ++=+= δδ [ ] ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +=+ 2nsin2 1ncosjRe 1n ππ ( ) ( ) ( ) ( )nu 2 nsin5.06n4nx n ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= πδ Tương tự, chúng ta tìm được đối với phiên bản phản nhân quả có ROC ⏐z⏐ < 0.5. Một số ví dụ khác với các cực liên hợp phức là các trường hợp (6 – 9) của ví dụ 5.2.2. CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z ( ) ( ) ( ) ( )1nu 2 nsin5.06n4nx n −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= πδ