Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế - Đoàn Hồng Chương

xạ thủ thực hiện phép thử bắn không hạn chế vào một mục tiêu cho đến khi có một viên đạn trúng đích thì dừng. GọiX là số lần bắn. Khi đóX là biến ngẫu nhiên và X(Ω) = {1; 2; 3; ...} Trang 47 1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa 1.2. Biến ngẫu nhiên X gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu X(Ω) = {x1, x2, ..., xn} (hữu hạn), hay X(Ω) = {x1, x2, x3, ...} (vô hạn đếm được). Ví dụ 1.4. Xét phép thử tung một đồng xu 3 lần và gọiX là "số lần xuất hiện mặt sấp". Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc và X(Ω) = {0; 1; 2; 3}. Ví dụ 1.5.Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong hộp để kiểm tra. GọiX là số phế phẩm lấy được. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc và X(Ω) = {0; 1; 2; 3}. 1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 1.3. Biến ngẫu nhiên X gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu X(Ω) là một khoảng, hoặc hợp của nhiều khoảng, hoặc toàn bộ R. Ví dụ 1.6. "thời gian chờ xe buýt tại trạm", "lượng mưa trong một năm của một vùng". Trang 48 §2. Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.1 Hàm mật độ xác suất Định nghĩa 2.1. Giả sửX là biến ngẫu nhiên rời rạc trong không gian mẫu Ω với X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn}. Hàm mật độ xác suất của X , gọi tắt là hàm mật độ, là hàm số fX(x) = P [X = x], với x = x1, x2, . . . , xn. (2.1) Người ta thường biểu diễn hàm mật độ xác xuất của biến ngẫu nhiên rời rạc dưới dạng bảng phân phối xác suất rời rạc. X x1 x2 . . . xn P [X = x] p1 p2 . . . pn Tính chất 2.1. Giả sử fX(x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Khi đó • f (xi) ≥ 0, với mọi i = 1, 2, . . . , n. • n∑ i=1 fX(xi) = 1. Trang 49 Ví dụ 2.1.Một hộp có 7 quả bóng gồm 4 bóng xanh và 3 bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng trong hộp. Gọi X là số bóng đỏ lấy được. Tìm hàm mật độ xác suất của X. Giải. Từ giả thiết ta có X(Ω) = {0, 1, 2}. Khi đó P (X = 0) = 2 7 P (X = 1) = 4 7 P (X = 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1) = 1 7 . Vậy hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là X 0 1 2 fX(x) 2 7 4 7 1 7 Ví dụ 2.2. Có hai kiện hàng. Kiện một có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Kiện hai có 2 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện một ra hai sản phẩm và từ kiện hai ra một sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm được lấy. Hãy tìm hàm mật độ phân phối xác suất của X . Trang 50 Ví dụ 2.3. Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 5 bi màu vàng, 6 bi màu xanh. Hộp thứ hai có 7 bi màu vàng, 3 bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai và chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ hai. Gọi X là số bi màu xanh lấy được từ hộp thứ hai. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X . 2.2 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 2.2. Giả sử fX(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạcX . Hàm phân phối xác suất của X, gọi tắt là hàm phân phối, là hàm số FX(x) = P [X < x], ∀x ∈ R. (2.2) Ví dụ 2.4. Xét phép thử tung một đồng xu 4 lần vàX là số lần xuất hiện mặt sấp. Tìm hàm phân phối xác suất của X . Giải. Ta có X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4}. Bảng phân phối xác suất của X là X 0 1 2 3 4 P 116 1 4 3 8 1 4 1 16 Từ bảng phân phối của X , ta thấy biến x của hàm phân phối FX(x) có các trường hợp: x ≤ 0, 0 4. Khi đó Trang 51 • x ≤ 0: Biến cố "X < x" chính là "tập hợp các giá trị củaX thỏa điều kiện X < x". Do đó, theo bảng phân phối, [X < x] = ∅. Vậy F (x) = P [X < x] = 0. • 0 < x ≤ 1: Tương tự, ta có [X < x] = {X = 0} và F (x) = P [X < x] = 1 16 . • 1 < x ≤ 2: [X < x] = {X = 0, X = 1} và F (x) = P [X < x] = 1 16 + 1 4 = 5 16 . • 2 < x ≤ 3: [X < x] = {X = 0, X = 1, X = 2} và F (x) = P [X < x] = 1 16 + 1 4 + 3 8 = 11 16 . • 3 < x ≤ 4: [X < x] = {X = 0, X = 1, X = 2, X = 3} và F (x) = P [X < x] = 15 16 . • x > 4: [X < x] = Ω và F (x) = P [X < x] = 1. Trang 52 Khi đó hàm phân phối xác suất của X xác định như sau F (x) = P [X < x] = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 0, x ≤ 0 1 16, 0 < x ≤ 1, 5 16, 1 < x ≤ 2, 11 16, 2 < x ≤ 3, 15 16, 3 < x ≤ 4, 1, x > 4. Nhận xét 2.1. Đồ thị của hàm phân phối xác suất có dạng bậc thang Trang 53 Tính chất 2.2. Giả sử F(x) là hàm phân phối xác suất của X. Khi đó a) 0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x ∈ R. b) F (x) = ∑ xi<x P [X = xi] = ∑ xi<x pi. c) lim x→−∞F (x) = 0, limx→+∞F (x) = 1. d) P [a ≤ X < b] = F (b)− F (a). e) F (x) là hàm không giảm và liên tục trái. Ví dụ 2.5.Một phân xưởng có ba máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ngày làm việc các máy I, II, III bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3. Gọi X là số máy bị hỏng trong một ngày làm việc. a) Lập bảng phân phối xác suất của X . b) Xác định và vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất của X . c) Tính xác suất của biến cố "có ít nhất 2 máy hỏng". d) Tính xác suất của biến cố "có từ 1 đến 2 máy bị hỏng". Trang 54 2.3 Kỳ vọng Định nghĩa 2.3. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm mật độ xác định bởi bảng sau: X x1 x2 x3 ... xn fX(x) p1 p2 p3 ... pn Kỳ vọng của X, kí hiệu EX , là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình của X (về xác suất) và được tính bởi công thức EX = n∑ i=1 xipi. (2.3) Ví dụ 2.6. Giả sử biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 3 4 5 fX(x) = P [X = x] 0, 1 0, 3 0, 2 0, 3 0, 1 Khi đó kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là EX = 1× 0, 1 + 2× 0, 3 + 3× 0, 2 + 4× 0, 3 + 5× 0, 1 = 3. Trang 55 Tính chất 2.3. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc và C là một hằng số. Khi đó a) EC = C. b) E(CX) = C.EX . c) E(X ± Y ) = EX ± EY . d) Nếu X , Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì E(X.Y ) = EX.EY . Ứng dụng của kỳ vọng vào bài toán ra quyết định Ví dụ 2.7. Theo thống kê, xác suất để một người ở độ tuổi 40 sống thêm một năm là 0, 995. Một công ty bảo hiểm nhân thọ dự định kế hoạch bán bảo hiểm như sau: một năm người mua bảo hiểm trả cho công ty 2 triệu đồng, và nếu người mua chết thì số tiền bồi thường của công ty bảo hiểm là 50 triệu đồng. Hỏi công ty đó có nên chọn phương án kính doanh này không? Gọi X là lợi nhuận thu được khi bán bảo hiểm (đơn vị: triệu đồng). Khi đó X có bảng phân phối sau Trang 56 X −48 2 fX(x) 0, 005 0, 995 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là EX = −48× 0, 005 + 2× 0, 995 = 1, 75. Vì lợi nhuận dương nên phương án này có thể chấp nhận.  Ví dụ 2.8. Có hai người tiến hành trò chơi như sau: người thứ nhất tung hai con xúc sắc cân đối đồng chất, nếu được 2 mặt giống nhau thì người thứ hai phải trả cho người thứ nhất 200 USD, trong các trường hợp khác, người thứ nhất phải trả cho người thứ hai 50 USD. Gọi X là số tiền mà người thứ nhất có thể có được sau một lần tung xúc xắc. Theo bạn, người thứ nhất có nên tham gia trò chơi này không? 2.4 Phương sai và độ lệch chuẩn Định nghĩa 2.4. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm mật độ xác định bởi bảng sau: X x1 x2 x3 ... xn fX(x) p1 p2 p3 ... pn Trang 57 Phương sai của X, kí hiệu VarX , là đại lượng đặc trưng cho độ phân tán của X và được xác định bởi công thức VarX = E(X − EX)2 = n∑ i=1 (xi − EX)2pi. (2.4) Độ lệch chuẩn của X, kí hiệu σX , được xác định bởi công thức σX = √ VarX. (2.5) Để thuận lợi cho việc tính toán phương sai, người ta lập bảng sau X x1 x2 x3 ... xn fX(x) p1 p2 p3 ... pn (X − EX)2 (x1 − EX)2 (x2 − EX)2 (x3 − EX)2 ... (xn − EX)2 Ví dụ 2.9.Một hộp đựng 6 quả bóng trong đó có 2 bóng màu đỏ, 4 bóng màu trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng và gọi X là số bóng đỏ lấy được. Tính kỳ vọng và phương sai của X . Giải. Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau Trang 58 X 0 1 2 fX(x) 1 5 3 5 1 5 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là EX = 1. Dựa vào nhận xét ở trên, ta lập bảng sau để tính phương sai của biến ngẫu nhiên X , X 0 1 2 fX(x) 1 5 3 5 1 5 (X − EX)2 12 02 12 Khi đó VarX = 1 5 .12 + 3 5 .02 + 1 5 .12 = 0, 4. Tính chất 2.4. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc và C là một hằng số. Khi đó a) VarX ≥ 0. b) VarX = EX2 − E2X . c) VarC = 0. Trang 59 d) Var(CX) = C2.VarX . e) σ(CX) = |C|.σX . f) Nếu X , Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì Var(X ± Y ) = VarX + VarY và σ(X ± Y ) = √ σ2X + σ2Y . Dựa vào tính chất (b): VarX = EX2 − E2X , ta có cách tính phương sai sau X x1 x2 x3 ... xn fX(x) p1 p2 p3 ... pn X2 x21 x 2 2 x 2 3 ... x2n Ví dụ 2.10. Xét trở lại ví dụ 2.9, để tính phương sai của biến ngẫu nhiênX ta lập bảng sau: X 0 1 2 fX(x) 1 5 3 5 1 5 X2 0 1 4 Trang 60 Dựa theo công thức (b), chúng ta lần lượt tính E2X và X2 như sau: EX = 1⇒ E2X = 12. EX2 = ∑ x2i .pi = 0 2. 1 5 + 12. 3 5 + 22. 1 5 = 7 5 . Suy ra VarX = EX2 − E2X = 0, 4. Ví dụ 2.11. Năng suất của hai máy công cụ tương ứng là các biến ngẫu nhiên X, Y (đơn vị: sản phẩm/phút) có phân phối xác suất là X 1 2 3 4 fX(x) 0, 2 0, 25 0, 35 0, 2 Y 2 3 4 5 fY (y) 0, 1 0, 4 0, 4 0, 1 Hãy tính phương sai của X và Y. Ví dụ 2.12. Giả sử lợi nhuận (đơn vị %) của một công ty khi đầu tư vào 2 ngành A và B là các biến ngẫu nhiên độc lập X và Y. Nếu EX = 12,VarX = 25 và EY = 14,VarY = 36, thì công ty đó nên đầu tư vào 2 ngành A và B theo tỉ lệ là bao nhiêu để rủi ro là thấp nhất? Trang 61 2.5 Số yếu vị - Mode Định nghĩa 2.5.Mode là tập hợp các giá trị của X tương ứng với xác suất lớn nhất. Kí hiệu làModX hoặc X0. X x1 x2 x3 ... xn fX(x) = P [X = x] p1 p2 p3 ... pn xk ∈ ModX nếu pk = max i pi. (2.6) 2.6 Số trung vị - Med Định nghĩa 2.6. Trung vị của X , kí hiệuMedX , là đại lượng được xác định như sau: MedX = xk ⇔ F (xk) ≤ 1 2 ≤ F (xk+1), ∀xi ∈ X(Ω). Ví dụ 2.13. Giả sử biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất là X −1 0 1 2 fX(x) 0, 25 0, 15 0, 3 0, 3 Trang 62 Hãy tìmModX vàMedX . Giải. Vì biến ngẫu nhiên X có hai giá trị X = 1 và X = 2 có xác suất lớn nhất p = 0, 3 nên ModX = {2; 3}. Muốn xác địnhMedX trước tiên chúng ta xác định hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X , F (x) = P [X < x] = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 0, x ≤ −1, 0, 25, −1 < x ≤ 0, 0, 4, 0 < x ≤ 1, 0, 7, 1 < x ≤ 2, 1, x > 2. Vì F (1) = 0, 4 ≤ 1 2 ≤ F (2) = 0, 7 nênMedX = 1. Trang 63 §3. Biến ngẫu nhiên liên tục 3.1 Hàm mật độ xác suất Định nghĩa 3.1. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm số f : R → [0; 1] được gọi là hàm mật độ xác suất của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: • f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. • +∞∫ −∞ f (x)dx = 1. • P [a ≤ X < b] = b∫ a f (x)dx, với mọi số thực a < b. Ví dụ 3.1. Cho hàm số f (x) xác định như sau: f (x) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 0, nếu x ≤ 0, 1; 25x 2 − 5 4 , nếu 0, 1 < c ≤ 0, 5; 0, nếu x > 0, 5. 1. Chứng tỏ rằng f (x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X. 2. Tính xác suất P [0, 2 ≤ X < 0, 3]. Trang 64 3.2 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 3.2. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục và f (x) là hàm mật độ xác suất của X. Hàm phân phối xác suất của X, kí hiệu F (x), là hàm số được xác định bởi công thức F (x) = P [X < x] = x∫ −∞ f (t)dt, ∀x ∈ R. (3.1) Ví dụ 3.2. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f (x) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 0, x ≤ 0; x, 0 < x ≤ 1 2− x, 1 < x ≤ 2 0, x > 2. a) Hãy xác định hàm phân phối xác suất của X . b) Hãy tính xác suất P [ X < 1 2 ] . c) Hãy tính xác suất P [ X ≥ 1 ] . Trang 65 3.3 Tính chất Tính chất 3.5. Giá trị của hàm phân phối xác suất F (x) chính là diện tích hình giới hạn bởi đường cong (C) : f (x) và trục hoành Ox tính từ −∞ đến x. Tính chất 3.6. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục và f (x), F (x) lần lượt là hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của X. Khi đó 1. P [X ≤ x] = P [X < x] = F (x), ∀x ∈ R. 2. P [X ≥ x] = 1− F (x), ∀x ∈ R. 3. P [x1 ≤ X < x2] = F (x2)− F (x1), ∀x1, x2 ∈ R và x1 < x2. Trang 66 4. lim x→−∞F (x) = 0; limx→+∞F (x) = 1. Ví dụ 3.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là f (x) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 0, nếu x ≤ 0 x, nếu 0 < x ≤ 1 a− x, nếu 1 < x ≤ 2 0, nếu x > 2, trong đó a là tham số. 1. Xác định a. 2. Xác định hàm phân phối xác suất F (x). 3. Tính xác suất P [1 ≤ X < 2, 5] và P [X ≥ 1, 5] bằng cách dùng hàm phân phối xác suất. 3.4 Kỳ vọng Định nghĩa 3.3. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục và f (x) là hàm mật độ xác suất của X . Kỳ vọng của X, kí hiệu EX, được xác định bởi công thức, Trang 67 EX = +∞∫ −∞ x.f (x)dx. (3.2) Ví dụ 3.4. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là f (x) = ⎧⎪⎨⎪⎩ x + 1, nếu − 1 < x ≤ 0; x− 1, nếu 0 < x ≤ 1; 0, nơi khác. Hãy tính kỳ vọng của X. 3.5 Phương sai và độ lệch chuẩn Định nghĩa 3.4. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục và f (x) là hàm mật độ xác suất của X . Phương sai của X, kí hiệu VarX , được xác định bởi công thức, VarX = E(X − EX)2 (3.3) Ví dụ 3.5. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f (x) = ⎧⎨⎩ 3 4 (1− x2) |x| ≤ 1; 0, |x| > 1. Trang 68 Hãy tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X . 3.6 Các tính chất của kỳ vọng và phương sai Tính chất 3.7. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục và f (x) là hàm mật độ của X. Khi đó • VarX = EX2 − E2X = +∞∫ −∞ x2f (x)dx− ( +∞∫ −∞ xf (x)dx )2 . • Var(aX + b) = a2VarX . Ví dụ 3.6. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là f (x) = { ax2 + b, nếu 0 < x ≤ 1 0, nơi khác. Biết rằng P [X < 1 2 ] = 1 3 . Tính kỳ vọng EX và phương sai VarX . Trang 69