Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 7: Ước lượng tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Chương 7ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM1. ĐỊNH NGHĨA2. CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG1. ĐỊNH NGHĨA Một đại lượng thống kê được gọi là một hàm ước lượng của (còn gọi là ước lượng điểm của , hay vắn tắt là ước lượng của )ƯỚC LƯỢNG ĐIỂMVí dụ Gọi X là chiều cao của sinh viên Đại học Kinh tế được chọn ngẫu nhiên. Khi đó là một hàm ước lượng của ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Với một mẫu cụ thể có kích thước n = 100, ta có: là một giá trị ước lượng của Chiều cao(m)1,45 –1,501,50 – 1,551,55 – 1,601,60 – 1,651,65 – 1,75Số sinh viên8113932102. CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNGĐịnh nghĩa Hàm ước lượng của được gọi là ước lượngkhông chệch nếu 2. CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNGVí dụ Trung bình mẫu , phương sai mẫu , tần suất mẫu F lần lượt là ước lượng không chệch của , 2. CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNGĐịnh nghĩa Hàm ước lượng của được gọi là ước lượngvững nếu với mọi ta có (nói cách khác ) §2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG1. ĐỊNH NGHĨA2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆ4. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAI 1. ĐỊNH NGHĨA (1/3) là một đại lượng thống kê của mẫu. cho trước. thỏa mãn ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG (2/3) là các đại lượng ngẫu nhiên. Ta thường chọn dương khá nhỏ sao cho biến cố có xác suất khá lớn (hầu như sẽ xảy ra trong một phép thử) ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG (3/3) Với mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) tương ứng nhận giá trị cụ thể t1, t2.Khoảng (t1; t2) (t1 < < t2) được gọi là một khoảng ước lượng của với độ tin cậy 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ X. 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI(1) TRƯỜNG HỢP BIẾT PHƯƠNGSAI , MẪU LỚN Nếu có giả thiết X có phân phối chuẩn thì đại lượng ngẫu nhiên 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢINếu không có giả thiết này, khi n khá lớn theo định lý giới hạn trung tâm ta có thể xấp xỉ 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢIChọn khá nhỏ thì khá gần 1 Khi đó biến cố hầu như sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử (lấy mẫu)ĐỊNH NGHĨA được gọi là độ chính xác của ước lượng. Với mẫu cụ thể, nhận giá trị , một ước lượng khoảng với độ tin cậy của là2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢIKhoảng tin cậy bên trái của Cho độ tin cậy Do , ta có:2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢIChọn khá nhỏ thì khá gần 1 Do đó biến cố hầu như sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử (lấy mẫu)2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI Với mẫu cụ thể, nhận giá trị , một ước lượng khoảng bên trái của là Giá trị được dùng để ước lượng . . . của 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI Tương tự : Với mẫu cụ thể, nhận giá trị , một ước lượng khoảng bên phải của là (độ tin cậy ) 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI(2) TRƯỜNG HỢP BIẾT PHƯƠNGSAI , MẪU NHỎ Giả sử X có phân phối chuẩn ta cóHoàn toàn tương tự, ta cũng có các công thức như trường hợp (1)2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI(3) TRƯỜNG HỢP CHƯA BIẾT PHƯƠNG SAI , MẪU LỚN Cũng tương tự như trường hợp (1), có điểm khác là khi n khá lớn, ta thay bởi , người ta vẫn xem một ước lượng khoảng với độ tin cậy của là 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢIMột ước lượng khoảng bên trái của với độ tin cậy là Một ước lượng khoảng bên phải của với độ tin cậy là 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI(3) TRƯỜNG HỢP CHƯA BIẾT PHƯƠNG SAI , MẪU NHỎ Giả sử X có phân phối chuẩn thì đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Student với n – 1 bậc tự do.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI (1/2) Cho độ tin cậy , ta có: Một ước lượng khoảng của (khoảng tin cậy đối xứng) là 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI (2/2) ● Một ước lượng khoảng bên trái của là ● Một ước lượng khoảng bên phải của là 3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆXét một tổng thể, mỗi phần tử của nó có thể có hoặc không có một tính chất nào đó mà ta quan tâm. Gọi p là tỷ lệ phần tử có tính chất trong toàn bộ tổng thể, ta chưa biết p.Chúng ta đã biết rằng là một ước lượng không chệch và vững của p3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆKhi n lớn ta có thể xem thay p bởi ước lượng f , và vẫn xem một ước lượng khoảng của p với độ tin cậy là3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆMột ước lượng khoảng bên trái của p với độ tin cậy là được dùng để ước lượng . . . của p3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆMột ước lượng khoảng bên phải của p với độ tin cậy là được dùng để ước lượng . . . của p§3. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU1. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU TRONG ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH (VỚI CÁC GIẢ THIẾT Ở §2.2)2. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU TRONG ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TỶ LỆ XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU Từ biểu thức của độ chính xác , ta có sự liên hệ giữa độ chính xác, độ tin cậy và kích thước mẫu n, với 2 đại lượng cho trước ta xác định được đại lượng còn lại.§3. ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAIGiả sử .Ta cần ước lượng (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ X.Ta đã biết rằng Với độ tin cậy , ta có:§3. ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAIQua vài biến đổi đơn giản, ta cóTừ đó xác định được ước lượng khoảng của với độ tin cậy §3. ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAIẤn định độ tin cậy . Ta có hay là Từ đó xác định được khoảng tin cậy bên phải của §3. ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAIẤn định độ tin cậy . Ta có hay là Từ đó xác định được khoảng tin cậy bên trái của