Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Lý thuyết mẫu

Chương 6 LÝ THUYẾT MẪU §1. TỔNG THỂ - MẪUTổng thể là tập hợp các phần tử mà mỗi phần tử này có mang thông tin về một dấu hiệu H nào đó mà chúng ta cần nghiên cứu. Số lượng phần tử của tổng thể được gọi là kích thước của tổng thể. §1. TỔNG THỂ - MẪUTổng thể có thể là Tập hợp các hộ gia đình sống trong một một địa phương nào đó.Tập hợp các sinh viên của một trường đại học.Tập hợp các sản phẩm của một công ty.Tập hợp các cổ phiếu được mua bán trên một thị trường chứng khoán.. . .§1. TỔNG THỂ - MẪUPhương pháp nghiên cứu toàn bộ phần tử của tổng thể thường chỉ áp dụng cho các tập hợp không có nhiều phần tử, có thể biết đầy đủ thông tin về mọi phần tử của tổng thể.§1. TỔNG THỂ - MẪUCó thể vì số phần tử của tổng thể quá lớn (có khi là vô hạn), hoặc việc nghiên cứu mọi phần tử của tổng thể tốn nhiều thời gian, chi phí, , cũng có thể việc nghiên cứu gây ảnh hưởng nhất định đến phần tử... Nói chung vì lý do nào đó mà ta không thể hoặc không cần phải khảo sát dấu hiệu H trên mọi phần tử của tổng thể. Khi đó người ta dùng phương pháp nghiên cứu mẫu. §1. TỔNG THỂ - MẪU Từ tổng thể ta chọn ra n phần tử mà ta gọi là mẫu kích thước n, nghiên cứu dấu hiệu H trên các phần tử của mẫu, rồi bằng phương pháp khoa học ta rút ra kết luận cần thiết cho tổng thể.PHÉP CHỌN LẶP-PHÉP CHỌN KHÔNG LẶPVí dụ Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 75 sản phẩm tốt.Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại (không lặp) 20 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để trong 20 sản phẩm được chọn có 15 sản phẩm tốt.Xác suất cần tìm làPHÉP CHỌN LẶP-PHÉP CHỌN KHÔNG LẶPLấy ngẫu nhiên có hoàn lại (chọn lặp) 20 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để trong 20 sản phẩm được chọn có 15 sản phẩm tốt.Xác suất cần tìm là§2. MÔ TẢ TỔNG THỂ  THEO DẤU HIỆU HMô tả bằng bảng phân phối tần số Trong đó x1, x2, , xk là giá trị của dấu hiệu H được đo lường trên các phần tử. Ni là số phần tử của tổng thể có chung giá trị xi Ta có: 0 < Ni < N và Giá trị của Hx1x2.xkTần sốN1N2.Nk§2. MÔ TẢ TỔNG THỂ  THEO DẤU HIỆU HMô tả bằng bảng phân phối tần suất Trong đó , ta có Giá trị của Hx1x2.xkTần suấtp1p2.pk§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ• Trung bình của tổng thể Trường hợp có Ni phần tử của tổng thể có chung giá trị xi §3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂVí dụ Ta khảo sát thu nhập trong một tháng của các nhân viên làm việc ở một công ty. Ở đây, ta có tổng thể là tập hợp các nhân viên làm việc ở công ty này với N = 600 Thu nhập(triệu đồng/tháng)33,545610Số người có cùng thu nhập481001502006042§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ Thu nhập trung bình (triệu đồng/tháng) của nhân viên làm việc trong công ty này= 4,79 (triệu đồng/tháng)§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ• Phương sai của tổng thể Trường hợp có Ni phần tử của tổng thể có chung giá trị xi §3. MẪU NGẪU NHIÊN  CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ CỦA MẪU1. MẪU NGẪU NHIÊN2. ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU1. MẪU NGẪU NHIÊNĐịnh nghĩa n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2 , Xn độc lập và có cùng quy luật phân phối xác suất với đại lượng ngẩu nhiên X được gọi là mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ X.Ta ký hiệu mẫu ngẫu nhiên kích thước n là (X1, X2, , Xn)Khi phép thử được thực hiện với kết cục là Xi nhận giá trị xi (i = 1, 2, , n) ta nói (x1, x2, , xn) là một mẫu cụ thể kích thước n.1. MẪU NGẪU NHIÊNVí dụ Quan sát một khu đô thị mới có nhiều hộ gia đình sống ở đó. Biết rằng 20% hộ không có em bé, 30% hộ có một em bé và 50% hộ có hai em bé. Chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình sống ở khu đô thị này, gọi X là số em bé trong hộ đó thì X là đại lượng ngẫu nhiên.X012P0,20,30,51. MẪU NGẪU NHIÊNTa lập mẫu ngẫu nhiên (X1, X2) từ X. Xi (i = 1, 2) có cùng quy luật phân phối xác suất với X. Bảng phân phối xác suất của XiCác mẫu cụ thể có thể có là (0; 0), (0; 1), (0; 2), (1; 0), (1; 1), (1; 2), (2; 0), (2; 1), (2; 2).Xi012P0,20,30,52. ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ Một hàm số g(X1, X2, , Xn) với biến là (X1, X2, , Xn) được gọi là đại lượng thống kê (hay vắn tắt là thống kê)3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X. • Trung bình mẫu Trung bình mẫu là đại lượng thống kê, ký hiệu là , xác định như sau:3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU Giả sử E(X) = và Theo tính chất của kỳ vọng, ta có: Theo tính chất của phương sai với chú ý rằng X1, X2, , Xn độc lập ta có:3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU ►Chú thích Ta có Trong nhiều bài toán thực tế, thường ta không biết , khi n đủ lớn người ta dùng một giá trị cụ thể thay cho .3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU • Phương sai mẫu Phương sai mẫu là đại lượng thống kê ký hiệu là S2, xác định như sau: Khai triển biểu thức này và qua biến đổi đơn giản ta cũng có:3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪUTính chất 3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU ► Chú thích ● Ta có (giả sử moment trung tâm cấp 4 của X hữu hạn) Trong nhiều bài toán thực tế ta không biết , khi n đủ lớn người ta thường dùng một giá trị cụ thể thay cho .3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU ● Nếu theo cách tính trung bình, phương sai, người ta xem phương sai mẫu là Tuy nhiên 3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU• Độ lệch chuẩn mẫu3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU • Tần suất mẫu Ta có thể xem tần suất mẫu như là trường hợp riêng của trung bình mẫu với đại lượng ngẫu nhiên đặc biệt X có thể nhận giá trị 0 hoặc 1. (Xi có thể nhận giá trị 0 hoặc 1)3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU Ví dụ Chọn mẫu gồm 14 loại cổ phiếu được giao dịch trên một thị trường chứng khoán và có tỷ số P/E của các cổ phiếu như sau 16131012141511131215131413143. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU Ta tính 3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU Ví dụ Khảo sát năng suất lúa trên 100 thửa đất trồng lúa ở một vùng, mỗi thửa có diện tích một ha, người ta thu được bảng số liệu sau: Ta tính được Năng suất (tạ/ha)31343536384244Số thửa đất có cùng năng suất10203015101053. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU Ví dụ Người quản lý một hệ thống nhà hàng thức ăn nhanh muốn khảo sát quãng đường di chuyển để giao hàng tận nhà của nhân viên nhà hàng. Lấy mẫu gồm 46 nhân viên và có số liệu như sau:Quãng đường (km/ngày)Số nhân viên15 – 20520 – 25825 – 301630 – 351035 – 4073. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU Trên mỗi khoảng ta chọn Ví dụ , tương tự cho các khoảng còn lại. Từ mẫu này ta tính được: ; s = 6,019304. PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ THÔNG DỤNG CỦA MẪU Định lý Nếu thì LƯU Ý Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ, theo định lý giới hạn trung tâm, khi n đủ lớn , ta có phân phối xấp xỉ phân phối N(0, 1)4. PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ THÔNG DỤNG CỦA MẪU Định lý Giả sử và (X1, X2, , Xn)là mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ X. Khi đó (a) (b) 4. PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ THÔNG DỤNG CỦA MẪUĐịnh lý Nếu thì §4. MẪU NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Ví dụ Để khảo sát chiều cao và trọng lượng của thanh niên ở một thành phố, người ta lấy mẫu gồm 144 thanh niên và có số liệu như sau:§4. MẪU NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Chiều cao -m Trọng lượng (kg)1,46– 1,561,57–1,631,64–1,701,71–1,771,78–1,8842 – 4754147 – 52358352 – 5711212557 – 625128162 – 6722412267 – 7778277 – 8711§4. MẪU NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUTừ bảng này ta có:Ta tính được: , Sx = 8,1777 X Trọng lượng(kg)42–4747–5252–5757–6262–6767–7777–87mi1019302640172§4. MẪU NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUTa tính được : sY = 0,07 Y Chiều cao (m)1,46–1,561,57–1,631,64–1,701,71–1,771,78–1,88mi92864376