Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Các định lý giới hạn ứng dụng

Chương 5CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠNỨNG DỤNG§1. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có E(X), Var(X) hữu hạn. Khi đó ta có Bất đẳng thức tương đương §2. LUẬT SỐ LỚN1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV2. HỆ QUẢ3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEVDãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, thỏa mãn , , cov(Xi, Xj) = 0 ( * ) Khi đó: Nếu thì hội tụ đến theo xác suất.(*) chỉ cần giả thiết độc lập từng đôi2. HỆ QUẢGiả sử dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, độc lập, có cùng phân phối, có kỳ vọng , phương sai hữu hạn. Khi đó Nói cách khác Ý NGHĨAMặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập cùngphân phối có thể nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng của chúng nhưng trung bình số học với n khá lớn lại nhận giá trị gần (khi khá nhỏ) với xác suất khá lớn (gần 1)Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết mẫu (phần thống kê)3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI Giả sử là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử. Khi đó với mọi ta có: Khi số phép thử tăng lên vô hạn ta có tần suất của một biến cố ổn định xung quanh giá trị xác suất của biến cố đó.Ý NGHĨA§3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂMGiả sử dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, độc lập có cùng phân phối với kỳ vọng , phương sai (hữu hạn khác 0)Đặt §3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Khi đó với mọi ta có: Trong đó đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chuẩn hóa Nói cách khác Zn hội tụ theo phân phối đến Z.NHẬN XÉT (1/2)Định lý này cho thấy dù các Xi có thể là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hay liên tục, độc lập có cùng phân phối nào đó, nhưng tổng chuẩn hóa Zn của chúng, khi n đủ lớn, có phân phối xấp xỉ phân phối N(0, 1)Điều này cũng giải thích vì sao phân phối chuẩn phổ biến và quan trọng trong thực tế.NHẬN XÉT (2/2) Từ định lý Giới hạn trung tâm ta cũng suy ra được một kết quả quan trọng trong thống kê : trường hợp Xi không có phân phối chuẩn (nhưng thỏa mãn các giả thiết), khi n đủ lớn thì có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn. MỘT ÁP DỤNG KHÁC Cho với n khá lớn , p không quá gần 0 và không quá gần 1 (np ≥ 10 và n(1 – p) ≥ 10) Ta có thể xấp xỉ VÍ DỤMột nhà hàng khách sạn phải phục vụ buổi ăn trưa cho một đoàn có 900 khách. Nhà hàng phục vụ làm hai đợt liên tiếp. Giả sử mỗi khách hàng được chọn ngẫu nhiên theo đợt 1 hoặc đợt 2. Hỏi nhà hàng phải có ít nhất bao nhiêu chỗ ngồi để xác suất không có đủ chỗ ngồi cho khách đến ăn bé hơn 2%?GIẢIGọi X là số người chọn ăn đợt 1, khi đó số người chọn ăn đợt 2 là 900 – X Ta có thể xem , và xấp xỉ ( n = 900 khá lớn không quá gần 0 và không quá gần 1; np=450 ; ) VÍ DỤGọi k là số chỗ ngồi dành cho buổi ăn trưa phục vụ cho đoàn khách.Ta cần tìm k nhỏ nhất sao cho: (Chú ý: không thỏa mãn)VÍ DỤTra bảng tích phân Laplace, ta chọn k sao cho: Từ đó