Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Chương 4ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUHÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN§1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Tương tự trường hợp một chiều, để mô tả quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc ta dùng bảng phân phối xác suất đồng thời có dạng như sau:BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC YXy1y2ynx1p11p12p1nx2p21p22p2nxmpm1pm2pmnBẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠCTrong đóBẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠCBảng phân phối xác suất của thành phần XXx1x2xmPp1p2pmBẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠCBảng phân phối xác suất của thành phần YYy1y2ynPq1q2qnBẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠCHai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X, Y độc lập với nhau BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠCVí dụ 1.1 Chi phí quảng cáo (triệu đồng/tuần) và doanh thu (triệu đồng/tuần) của một công ty có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: Doanh thu YChi phí quảng cáo X100012001500200,080,050,01300,20,30,02400,120,20,02BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, Y và tính E(X), Var(X), E(Y), Var(Y)BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠCBảng phân phối xác suất của thành phần XE(X) = 32 Var(X) = 44X203040P0,140,520,34BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠCBảng phân phối xác suất của thành phần YE(Y) = 1135Var(Y) = 16275Y100012001500P0,40,550,05§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU  - KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN 1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN 2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN 1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦNGiả sử (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc có bảng phân phối xác suất đồng thời YXy1y2ynx1p11p12p1nx2p21p22p2nxmpm1pm2pmn1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN Bảng phân phối xác suất có điều kiện của thành phần X với điều kiện Y nhận giá trị yj (cố định)XiX1Xm...Trong đó các xác suất có điều kiện được tính bằng công thức:Ta có1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN Tương tự, bảng phân phối xác suất có điều kiện của thành phần Y với điều kiện X nhận giá trị xi (cố định)YjY1Yn...1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN Trường hợp (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Kỳ vọng của X với điều kiện Y = yj, ký kiệu là được xác định như sau:2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN Kỳ vọng của X với điều kiện X = xi, ký kiệu là , được xác định như sau:2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆNVí dụ Với số liệu ở ví dụ 1.1.Ta tính:Tương tự: E(Y | X = 30) = 1134,63Y100012001500P(Y = yj | X = 30)0,38460,57690,03852. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆNVí dụ Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất như sau:Tính E(X | Y = 2) X Y134720,150,060,200,1050,300,100,050,04§3. HIỆP PHƯƠNG SAIHỆ SỐ TƯƠNG QUAN 1. HIỆP PHƯƠNG SAI2. HỆ SỐ TƯƠNG QUAN1. HIỆP PHƯƠNG SAIHiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y) , xác định như sau:Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]Từ định nghĩa ta có: • Cov(X,X) = Var(X) • Cov(X,Y) = Cov(Y,X) • Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)1. HIỆP PHƯƠNG SAITrường hợp X, Y rời rạc:Trường hợp X, Y liên tục:1. HIỆP PHƯƠNG SAIVí dụ Với số liệu ở ví dụ 1.1,ta tính được:Cov(X, Y) = 801. HIỆP PHƯƠNG SAIVí dụ 3.2. Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất như sau:cov(X, Y) = –1,0377 XY134720,150,060,200,1050,300,100,050,042. HỆ SỐ TƯƠNG QUANHệ số tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là , được xác định như sau: trong đó , ( , ) Hệ số tương quan có vai trò quan trọng trong lý thuyết hồi quy tuyến tính hai biến.2. HỆ SỐ TƯƠNG QUANVí dụ Với số liệu ở ví dụ 1.1, ta tính được 2. HỆ SỐ TƯƠNG QUANĐịnh lý (a) ( )(b) Nếu X, Y độc lập thì (c) Nếu Y phụ thuộc tuyến tínhvào X (Y = aX + b) thì Ý NGHĨA HỆ SỐ TƯƠNG QUANHệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. Nếu càng gần 1 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng mạnh , còn nếu càng gần 0 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng yếu. Nếu ta nói X và Y không tương quan.2. HỆ SỐ TƯƠNG QUANNHẬN XÉTNếu X và Y độc lập thì chúng không tương quan. Ngược lại nếu X và Y không tương quan thì chưa chắc X và Y độc lập.§4. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN1. VÍ DỤ2. ĐỊNH LÝ2. VÍ DỤX-112P0,20,50,31. VÍ DỤTa tính: P(Y = 4) = P(X = 2) = 0,3Từ đó: Y14 P0,70,32. PHÂN PHỐI CỦA CÁC HÀM THÔNG DỤNG(1) Giả sử các đại lượng ngẫu nhiên i = 1, 2, , n , và X1, X2, , Xn độc lập. Khi đó: 2. PHÂN PHỐI CỦA CÁC HÀM THÔNG DỤNG(2) Nếu thì 2. PHÂN PHỐI CỦA CÁC HÀM THÔNG DỤNG(3) Giả sử các đại lượng ngẫu nhiên , i = 1, 2, , n và X1, X2, , Xn độc lập. Khi đó: a) b)2. PHÂN PHỐI CỦA CÁC HÀM THÔNG DỤNG(4) Giả sử , i = 1, 2, , n, và X1, X2, , Xn độc lập. Khi đó: 2. PHÂN PHỐI CỦA CÁC HÀM THÔNG DỤNG(5) Nếu , và X, Y độc lập thì: 2. PHÂN PHỐI CỦA CÁC HÀM THÔNG DỤNG(6) Nếu , và X, Y độc lập thì: