Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT§1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN  (BIẾN NGẪU NHIÊN)1. ĐỊNH NGHĨA2. PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN1. KHÁI NiỆM● Cho phép thử có không gian mẫu là S. Một ánh xạ từ S vào R được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên (hay còn gọi là biến ngẫu nhiên).● Ta thường biểu thị đại lượng ngẫu nhiên bởi các ký hiệu X, Y,ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNMỗi biến cố sơ cấp có tươngứng với một số thực duy nhấtrX(s) = r-∞+∞s •SR2. PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG  NGẪU NHIÊN Ta xem đại lượng ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian mẫu S vào tập số thực R. • Nếu X(S) là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được ta nói X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. • Nếu X(S) chứa một khoảng số (khoảng (a; b) với a 0 và Xx1x2xnPp1p2pnBẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng này được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, nó cho biết quy luật phân phối xác suất của X.VÍ DỤ Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này. Tìm quy luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm được lấy ra. GIẢIGọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm được lấy ra. X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 VÍ DỤ Quy luật phân phối xác suất của X được biểu thị bởi bảngX012P2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT Để mô tả quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc ta dùng bảng phân phối xác suất, trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta dùng hàm mật độ xác suất.2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất f(x) của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nào đó, thỏa mãn các điều kiện sau: • • •2. LƯU Ý X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục, ta có: 2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤTVí dụ Nhóm nghiên cứu thị trường của một công ty điện thoại khảo sát 120 thuê bao ở một địa phương mà công ty này mới phủ sóng trong thời gian gần đây. Thời gian sử dụng mobile phone của các thuê bao này trong một tháng được khảo sát cho ở bảng sau:2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤTThời gian sử dụng (phút)Số thuê bao (tần số)300 – ít hơn 3203320 – ít hơn 3409340 – ít hơn 36015360 – ít hơn 38024380 – ít hơn 40030400 – ít hơn 42018420 – ít hơn 44015440 – ít hơn 46062. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT§3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNKỲ VỌNG TOÁN PHƯƠNG SAIĐỘ LỆCH CHUẨNMODEMEDIANSKEWNESSKURTOSIS§3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNTrong thực tế, đối với đại lượng ngẫu nhiên ta không chỉ cần biết quy luật phân phối xác suất của nó (dưới dạng bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất hay hàm phân phối xác suất) mà còn cần quan tâm đến những thông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên.1. KỲ VỌNG TOÁNĐịnh nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suấtXx1x2xnPp1p2pn1. KỲ VỌNG TOÁNKỳ vọng của X, ký hiệu là E(X), được xác định như sau:1. KỲ VỌNG TOÁN Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là f(x)(và hội tụ tuyệt đối) Kỳ vọng toán của X, ký hiệu là E(X), xác định :1. KỲ VỌNG TOÁNVí dụ Một công ty có 600 nhân viên, bảng sau đây cho biết thu nhập trong một tháng của nhân viên trong công ty.Thu nhập (triệu đồng/tháng)33,545610Số người có cùng thu nhập4810015020060421. KỲ VỌNG TOÁN Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty, gọi X là thu nhập một tháng của nhân viên này thì X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X33,545610P1. KỲ VỌNG TOÁN= 4,79 (triệu đồng/tháng)KỲ VỌNG TOÁNVí dụ Một công ty cần trang bị một số lượng lớn máy cho khu vực sản xuất mới. Có hai loại máy được xem xét là máy do công ty AP sản xuất và máy do công ty TB sản xuất với số liệu thống kê như sau: KỲ VỌNG TOÁN Mức độ hỏng123Máy của công ty APTỷ lệ hỏng (%)442Chi phí sửa chữa (triệu đồng/năm)710,515,5Máy của công ty TBTỷ lệ hỏng (%)253Chi phí sửa chữa (triệu đồng/năm)6,59,514 KỲ VỌNG TOÁN Giả sử các yếu tố khác không có sự khác biệt đáng kể và công ty này chỉ quan tâm đến chi phí sửa chữa hàng năm, hỏi nên chọn mua máy do công ty nào sản xuất? KỲ VỌNG TOÁNGọi X là chi phí sửa chữa của một máy của công ty AP (triệu đồng/năm). Ta xem X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:Ta có: E(X) = 1,01 X0710,515,5P0,90,040,040,02KỲ VỌNG TOÁNGọi Y là chi phí sửa chữa của một máy của công ty TB (triệu đồng/năm). Ta xem Y là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:Ta có: E(Y) = 1,025 Y06,59,514P0,90,020,050,03 KỲ VỌNG TOÁN Vì 1,01 < 1,025 Ta chọn mua máy của công ty AP TÍNH CHẤT CỦA KỲ VỌNG(a) E(aX + b) = aE(X) + b(b) E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X1 + X2 + + Xn) = E(X1)+E(X2)++ E(Xn)(c) Nếu X, Y độc lập thì E(XY) = E(X).E(Y)2. PHƯƠNG SAI Ta xem các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc sau đâyX–0,1 0,1P0,50,5Z–90 10P0,10,9Y–10000 10000P0,50,52. PHƯƠNG SAIMặc dù E(X) = E(Y) = E(Z) = 0 nhưng các đại lượng ngẫu nhiên này rất khác biệt nhau.Ta cần đưa ra một đặc trưng cho sự khác biệt đó. Ta cũng nhận xét rằng nếu đại lượng ngẫu nhiên X có E(X) = m thì E(X – m) = E(X) – m = 02. PHƯƠNG SAIĐịnh nghĩa Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Var(X), được xác định như sau:2. PHƯƠNG SAIMột công thức tính phương saiÝ NGHĨA CỦA PHƯƠNG SAI Phương sai cho ta ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn.2. PHƯƠNG SAIVí dụ Một nhà đầu tư có 3 dự án. Gọi Xi (i = 1, 2, 3) là lợi nhuận khi thực hiện dự án thứ i, còn giá trị âm chỉ số tiền bị thua lỗ. Qua nghiên cứu và bằng kinh nghiệm, nhà đầu tư có ước lượng như sau:2. PHƯƠNG SAIĐơn vị tính: tỷ đồngX2-145P0,30,20,5X1-2-110P0,40,20,4X3-3-2,58P0,30,20,5PHƯƠNG SAINếu chọn một trong 3 dự án trên, theo bạn nên chọn dự án nào?2. PHƯƠNG SAITa tính được:E(X1) = 3 E(X2) = 3 E(X3) = 2,6Var(X1) = 32,8 Var(X2) = 7 Var(X3) = 29,19(Chú ý: Var(X) và E(X) không cùng đơn vị) TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI(a) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên và a, b là hai hằng số thì: Var(aX + b) = a2Var(X)(b) Nếu hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y độc lập (và các phương sai hữu hạn) thì: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI(c) Nếu các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập (*) (và các phương sai hữu hạn) thì: Var(X1 + X2 + + Xn) =Var(X1) + Var(X2) ++ Var(Xn)(*) Chỉ cần giả thiết X1, X2, , Xn độc lập từng đôi4. MODEMode của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X là giá trị, mà X nhận giá trị đó tương ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác suất của nó, ký hiệu là Mod(X). Người ta cũng gọi Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X. Ví dụMod(X) = 1 X0123P0,10,40,30,24. MODEMode của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục X là giá trị mà hàm mật độ xác suất của X đạt cực đại tại giá trị đó. Mod(X) =