Bài giảng Xác suất thống kê: Các phân phối xác suất thông dụng - Nguyễn Ngọc Phụng

Các phân phối xác suất thông dụng 1 Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định nghĩa (Normal Distribution) Bnn X có phân phối chuẩn, được kí hiệu X ∼ N(µ;σ2), có hàm mđxs f(x, µ, σ) = 1 σ √ 2pi e − (x− µ)2 2σ2 1 X(Ω) = R 2 ModX = MedX = EX = µ 3 VarX = σ2 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ: Đồ thị minh họa cho hàm mđxs f(x,4,1): Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định nghĩa (Standard Normal Distribution) Trường hợp µ = 0, σ = 1 ta được X ∼ N(0; 1). Khi đó X có phân phối chuẩn chuẩn tắc với hàm mđxs f(x) = 1√ 2pi e − x2 2 (Hàm Gauss) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Đồ thị của hàm Gauss Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Hàm ϕ(z) = z∫ 0 f(x)dx (Hàm Laplace). Giá trị của hàm Laplace là diện tích của miền sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Hàm Laplace ϕ(z) = z∫ 0 f(x)dx có đồ thị như sau Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Một số tính chất của hàm Gauss và hàm Laplace: f(−x) = f(x), ∀x ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, 5 Khi tính toán làm tròn đến số lẻ thứ 5 ta có: f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 76 ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 42 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định lý X ∼ N(µ;σ2)⇔ aX+ b ∼ N(aµ+ b; (aσ)2) (a 6= 0). X ∼ N(0; 1) : P(a ≤ X ≤ b) = b∫ a f(x)dx = b∫ 0 f(x)dx− a∫ 0 f(x)dx = ϕ(b)− ϕ(a). X ∼ N(µ;σ2) =⇒ X− µ σ ∼ N(0; 1) : P(a ≤ X ≤ b) = P(a− µ σ ≤ X− µ σ ≤ b− µ σ ) = ϕ( b− µ σ )− ϕ(a− µ σ ). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ: Một trang trại trồng thử nghiệm 2 giống táo A và B cho thấy táo thu hoạch của 2 giống này có đường kính tối đa (cm) lần lượt tuân theo phân phối chuẩn N(8,35;48,65) và N(8,21;12,26). Táo loại I là táo có đường kính tối đa không nhỏ hơn là 8cm. Hãy cho biết giống táo nào cho tỉ lệ táo loại I cao hơn? Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Quy tắc nσ Cho bnn X ∼ N(µ;σ2) n=2: P(|X− µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 95, 45% n=3: P(|X− µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 99, 73% n=6: P(|X− µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 99, 999999803% Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối Bernoulli Trong một phép thử, xác suất để biến cố A xảy ra là P(A) = p. Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong phép thử đó. Ta nói X tuân theo luật phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(1; p). Ta có: Luật phân phối xác suất của X là X 0 1P q p , với q = 1− p. Từ đó ta được: E(X) = p, Var(X) = E(X2)− E(X)2 = p− p2 = p(1− p) = pq. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối nhị thức Định nghĩa (Binomial Distribution) Thực hiện n phép thử độc lập, cho biết biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử với xác suất không đổi là p. Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong số n phép thử, Xi là số lần biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i. Khi đó X = X1 + X2 + · · ·+ Xn có phân phân phối nhị thức, kí hiệu X ∼ B(n; p). Ta có 1 X(Ω) = {0..n} 2 P(X = k) = Cknpkqn−k với k ∈ X{Ω}, q = 1− p 3 EX = n∑ i=1 E(Xi) = np, VarX = n∑ i=1 Var(Xi) = npq 4 ModX = nk với (n+ 1)p− 1 ≤ nk ≤ (n+ 1)p Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối nhị thức Ví dụï: Một người thực hiện mỗi loạt bắn 5 phát đạn vào một mục tiêu cố định, xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu ở mỗi phát bắn là 0,3. a. Tính xác suất người đó có bắn trúng mục tiêu ở mỗi loạt bắn. b. Nếu người đó thực hiện 300 loạt bắn, số loạt bắn trúng mục tiêu nhiều khả năng nhất là bao nhiêu? Tính số loạt bắn trúng mục tiêu trung bình của người đó. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối Poisson Định lý (Poisson) Xét một dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Xn} : Xn ∼ B(n; p(n)),n.p(n) = λ. Khi đó Xn → P(λ). Trong đó P(λ) là phân phối Poisson với thông số λ. X ∼ P(λ) thỏa 1 X(Ω) = N 2 P(X = k) = e−λ.λ k k! 3 EX = VarX = λ 4 ModX = nk với λ− 1 ≤ nk ≤ λ Điều này có nghĩa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn và p khá nhỏ sao cho np < 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ P(λ) với λ = np Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson Ví dụï: Một máy sản xuất sản phẩm tự động với khả năng sản xuất ra một phế phẩm ở mỗi lần sản xuất là 0, 1%. Cho máy này sản xuất 1000 sản phẩm. Tính xác suất a. Có đúng 2 phế phẩm trong số đó. b. Có ít nhất 5 phế phẩm trong số đó. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định lý (Định lý Lyapunov (Định lý giới hạn trung tâm)) Cho (Xn) là các dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có các kỳ vọng E(Xi) = µi hữu hạn, và các phương sai Var(Xi) = σ2i hữu hạn. Nếu ∃δ > 0 : lim n→∞ n∑ i=1 E [|Xi − µi|2+δ] s2+δn = 0 (điều kiện Lyapunov) thì 1sn n∑ i=1 (Xi − µi) −→ N(0; 1) hay n∑ i=1 Xi −→ N(mn; s2n) , với mn = n∑ i=1 µi, s2n = n∑ i=1 σ2i . Trong thực hành, ta thường xét trường hợp đơn giản là δ = 1. Ý nghĩa: Khi một đại lượng ngẫu nhiên X = n∑ i=1 Xi mà không có biến ngẫu nhiên nào trong các Xi, 1 ≤ i ≤ n chiếm ưu thế so với các biến ngẫu nhiên còn lại thì đại lượng ngẫu nhiên X sẽ tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng mn và phương sai s2n. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định lý (Định lý Lévy) Cho X1,X2, . . . ,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng µ và độ lệch chuẩn σ hữu hạn. Khi đó Sn −→ N(nµ;nσ2), với Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn hay Sn − nµ σ √ n −→ N(0; 1). Định lý (Moivre-Laplace) Xét biến ngẫu nhiên X ∼ B(n; p). Khi đó X −→ N(np;npq), với q = 1− p hay X− np√npq −→ N(0; 1). Chứng minh: Ta có X = n∑ i=1 Xi, với Xi ∼ B(1; p). Áp dụng định lý giới hạn trung tâm ta có được định lý Moivre-Laplace. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Điều này có nghĩa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn sao cho np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ N(µ;σ2) với µ = np, σ = √npq. P(X = k) ≈ 1 σ f(k− µ σ ) P(k1 ≤ X < k2) ≈ ϕ(k2 − µ σ )− ϕ(k1 − µ σ ) ≈ P(k1 < X ≤ k2) Ví dụ 1. Một dây chuyền sản xuất có tỉ lệ sản phẩm loại A chiếm 69%. Cho dây chuyền này sản xuất 500 sản phẩm, tính xác suất trong số đó: a. Có ít nhất 330 sản phẩm loại A. b. Có từ 330 đến 360 sản phẩm loại A. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác 2. Một nhà máy sản xuất dây xích, độ dài của mắt xích được định nghĩa sao cho độ dài dây xích bằng tổng độ dài của các mắt xích. Cho biết mỗi dây xích có 50 mắt xích. a. Cho biết độ dài mỗi mắt xích có phân phối chuẩn với độ dài trung bình là 1,2cm và độ lệch chuẩn là 0,01cm. Tính tỉ lệ dây xích của dây chuyền sản xuất có độ dài sai lệch không quá 0,1cm so với độ dài trung bình của dây xích. b. Cho biết độ dài của mỗi dây xích có phân phối chuẩn với độ dài trung bình là 58,5cm và độ lệch chuẩn là 0,08cm. Tính tỉ lệ mắt xích của dây chuyền sản xuất có độ dài sai lệch quá 0,02cm so với độ dài trung bình của mắt xích. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ Với n = 100, p = 0, 015 ⇒ λ = µ = np = 1, 5, σ = √npq = √ 1, 4775. Ta có đồ thị của B(n; p), P(λ), N(µ, σ2) như sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ Với n = 100, p = 0, 4 ⇒ λ = µ = np = 40, σ = √npq = √24. Ta có đồ thị của B(n; p), P(λ), N(µ, σ2) như sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối Siêu bội Định nghĩa (Hypergeometric Distribution) Cho N phần tử, trong đó có NA phần tử có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ N phần tử trên, gọi X là số phần tử có tính chất A trong số n phần tử lấy ra. Khi đó X có phân phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(N;NA;n). Ta có 1 X(Ω) = {max{0,n− (N− NA)}..min{n,NA}}. 2 P(X = k) = CkNAC n−k N−NA CnN , với k ∈ X{Ω}. 3 EX = np, VarX = npqN− nN− 1 , với p = NA N , q = 1− p. 4 ModX = k với (NA + 1)(n+ 1) + 2N+ 2 − 1 ≤ k ≤ (NA + 1)(n+ 1) + 2 N+ 2 . Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối Siêu bội Ví dụï: Một hộp có 30 bi trong đó có 8 bi đỏ, 12 bi xanh và 10 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộâp ra 10 bi. a. Tính xác suất lấy được ít nhất 2 bi đỏ. b. Tìm số bi đỏ trung bình lấy được và phương sai của số bi đỏ lấy được. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Chi-squared distribution Định nghĩa (Phân phối Chi-squared) Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Chi-squared với k bậc tự do (degree of freedom), kí hiệu X ∼ χ2(k). Hàm mật độ xác suất của X ∼ χ2(k) là fk(x) =  1 2 k2Γ( k2 ) x k2−1e− x2 , x > 0 0 , x ≤ 0 . Trong đó Γ(x) = +∞∫ 0 t x−1e−tdt , x > 0. Xây dựng phân phối: Cho (Xi)i≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, với Xi ∼ N(0; 1). Khi đó X = k∑ i=1 X2i ∼ χ2(k). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Chi-squared distribution Xét X ∼ χ2(k), ta có: X(Ω) = [0; +∞). Med(X) ≈ k ( 1− 29k )3 . Mod(X) = max{k− 2; 0}. E(X) = k. Var(X) = 2k. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ Ta có một số đồ thị hàm mật độ xác suất của phân phối χ2(k) như sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Giá trị tới hạn phân phối Chi-squared Giá trị tới hạn α của phân phối χ2(k) kí hiệu là χ2(k;α). Ý nghĩa: χ2(5; 0, 045) = 11, 3423 ⇔ X ∼ χ2(5) : P(X > 11, 3423) = 0, 045. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Student's t-distribution Định nghĩa (Phân phối Student) Biến ngẫu nhiên T được gọi là có phân phối Student với k bậc tự do, kí hiệu T ∼ t(k). Hàm mật độ xác suất của T ∼ t(k) là f(x) = Γ( k+12 )√ npiΓ( k2 ) ( 1+ x 2 k )− k+12 . Trong đó Γ(x) = +∞∫ 0 t x−1e−tdt , x > 0. Xây dựng phân phối: Cho 2 bnn độc lập X ∼ N(0; 1) và Y ∼ χ2(k). Khi đó T = X√ Y k ∼ t(k). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Student's t-distribution Xét T ∼ t(k), ta có: T(Ω) = R. Med(T) = Mod(T) = 0. E(T) = { 0 , k > 1 Không xác định , k ≤ 1 . Var(T) =  k k− 2 , k > 2 +∞ , 1 < k ≤ 2 Không xác định , k ≤ 1 . Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ Ta có một số đồ thị hàm mật độ xác suất của phân phối t(k) như sau, với k=df (degree of freedom): Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Giá trị tới hạn phân phối Student Giá trị tới hạn α của phân phối t(k) kí hiệu là t(k;α). Ý nghĩa: t(12; 0, 025) = 2, 145 ⇔ T ∼ t(12) : P(T > 2, 145) = 0, 025. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Fisher distribution Định nghĩa (Phân phối Fisher) Bnn X được gọi là có phân phối Fisher với các bậc tự do là m,n; kí hiệu là X ∼ F(m;n). Hàm mđxs của X ∼ F(m;n) là fm,n(x) =  k xm2 −1 (mx+ n)m+n2 , x > 0 0 , x ≤ 0 . Trong đó k = Γ(m+n2 )m m 2 n n2 Γ(m2 )Γ( n 2 ) , Γ(x) = +∞∫ 0 t x−1e−tdt , x > 0. Xây dựng phân phối: Cho 2 bnn độc lập X ∼ χ2(m) và Y ∼ χ2(n). Khi đó Z = X m Y n ∼ F(m;n). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Fisher distribution Xét X ∼ F(m;n), ta có: X(Ω) = [0; +∞). Mod(X) = m− 2m n n+ 2 , m > 2. E(X) = nn− 2 , n > 2. Var(X) = 2n 2(m+ n− 2) m(n− 2)2(n− 4) , n > 4. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ Ta có một số đồ thị hàm mật độ xác suất của phân phối F(m;n) như sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Giá trị tới hạn phân phối Fisher Giá trị tới hạn α của phân phối F(m;n) kí hiệu là F(m;n;α). Ý nghĩa: F(14; 12; 0, 05) = 2, 64 ⇔ X ∼ F(14; 12) : P(X > 2, 64) = 0, 05. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ