Bài giảng Xác suất thống kê: Biến ngẫu nhiên - Nguyễn Ngọc Phụng

Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Bieán ngaãu nhieân Ñònh nghóa Bieán ngaãu nhieân laø moät pheùp töông öùng moãi phaàn töû ω cuûa Ω vôùi moät soá thöïc. X : Ω −→ R ω −→ X(ω) Taäp giaù trò cuûa X ñöôïc kí hieäu laø X(Ω) Ví duï: 1 Tung hai con xuùc xaéc, goïi X laø toång soá chaám cuûa hai con xuùc xaéc. Ta coù X : ω = (ω1;ω2) −→ ω1 + ω2 2 Laáy yù kieán khaùch haøng veà moät loaïi saûn phaåm ta ñöôïc Ω={"Keùm","Bình thöôøng","Toát"}. Khi ñoù, ta ñaët X : Ω −→ R X("Keùm")=-1, X("Bình thöôøng")=0, X("Toát")=1. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Phaân loaïi bieán ngaãu nhieân Döïa vaøo taäp giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân, ta chia bieán ngaãu nhieân laøm 2 loaïi: Ñònh nghóa (Bieán ngaãu nhieân rôøi raïc) Bieán ngaãu nhieân maø taäp giaù trò cuûa noù laø moät taäp ñeám ñöôïc (höõu haïn hoaëc voâ haïn) ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. X laø bnn rôøi raïc ⇔ X(Ω) = [ {x1, x2, . . . , xn} , Ω coù n phaàn töû. {x1, x2, . . . , xn, . . .} , Ω coù voâ haïn phaàn töû ñeám ñöôïc. Ñònh nghóa (Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc) Bieán ngaãu nhieân maø taäp giaù trò cuûa noù laø moät taäp khoâng ñeám ñöôïc, ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Phaân loaïi bieán ngaãu nhieân Ví duïï: 1 Tung 3 con xuùc xaéc caân ñoái. Goïi X laø toång soá chaám cuûa 3 con xuùc xaéc. Ta coù X laø bnnrr vaø X(Ω) = {3..18}. 2 Moät ngöôøi neùm boùng vaøo roå töø vò trí caùch roå 5m ñeán khi naøo vaøo roå thì ghi nhaän laïi soá laàn neùm boùng cuûa mình (X). Ta coù X laø bnnrr vaø X(Ω) = N∗. 3 Ño möïc nöôùc bieån ôû ñaûo Caùt Baø cho thaáy noù dao ñoäng töø 3,3m ñeán 3,9m. Goïi X laø möïc nöôùc bieån ôû ñaûo Caùt Baø ôû moät thôøi ñieåm ngaãu nhieân. Ta coù X laø bnnlt vaø X(Ω) = [3, 3; 3, 9]. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc Ñònh nghóa Phaân phoái xaùc suaát cuûa X coøn ñöôïc goïi laø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X, cho bieát khaû naêng X nhaän moãi giaù trò trong X(Ω) töông öùng. X x1 x2 · · · xn · · · P p1 p2 · · · pn · · · vôùi P(X = xi) = pi Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc Tính chaát (1) ∑ i pi = p1 + · · ·+ pn + · · · = 1. Tính chaát (2) P(a ≤ X < b) = ∑ a≤xi<b pi, xi ∈ X(Ω). Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc Ví duï: 1 Moät hoäp saûn phaåm coù 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp ra 2 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Goïi X laø soá pheá phaåm laáy ñöôïc. a) Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Tính P(X < 3). 2 Moät ngöôøi neùm boùng töø vò trí caùch roå 5m cho ñeán khi neùm vaøo roå thì döøng. Bieát raèng caùc laàn neùm ñoäc laäp vôùi nhau vaø khaû naêng neùm boùng vaøo roå ôû moãi laàn neùm laø 0,3. Goïi X laø soá laàn ngöôøi ñoù ñaõ neùm. a) Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Tính xaùc suaát ngöôøi ñoù phaûi neùm ít nhaát 3 laàn. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát (Tröôøng hôïp lieân tuïc) Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc X ñöôïc ñaëc tröng bôûi haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) coù caùc tính chaát sau: f(x) ≥ 0,∀x ∈ R +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. P(a ≤ X ≤ b) = b∫ a f(x)dx. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc Phaân phoái xaùc suaát Ví duï: Cho bieán ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát: f(x) = { 0 , x < 1 c x2 , x ≥ 1 a) Xaùc ñònh c. b) Tìm P(−1 ≤ X ≤ 12 ). Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Bieán ngaãu nhieân Haøm phaân phoái xaùc suaát Ñònh nghóa (Haøm phaân phoái xaùc suaát) Haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X, kí hieäu laø FX(x), laø haøm ñöôïc xaùc ñònh bôûi: FX(x) = P(X ≤ x), x ∈ R Haøm phaân phoái xaùc suaát cho bieát khaû naêng X nhaän giaù trò töø −∞ ñeán x. Neáu X laø bnnrr thì FX(x) = ∑ xi≤x P(X = xi) = ∑ xi≤x pi. Neáu X laø bnnlt thì FX(x) = x∫ −∞ f(t)dt. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Bieán ngaãu nhieân Haøm phaân phoái xaùc suaát Ví duï: 1 Cho bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö sau: X 0 1 2 P 0, 2 0, 5 0, 3 a) Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Veõ ñoà thò cuûa haøm phaân phoái xaùc suaát vöøa tìm ñöôïc. 2 Bieán ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát laø: f(x) = { 0 , x < 1 1 x2 , x ≥ 1 . Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát Bieán ngaãu nhieân Haøm phaân phoái xaùc suaát Tính chaát (1) X laø bnn lieân tuïc ⇔ F(x) lieân tuïc treân R. Tính chaát (2) F(−∞) = 0,F(+∞) = 1. Tính chaát (3) P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b)− P(X ≤ a) = F(b)− F(a). Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ