Bài giảng Trường điện từ - Chương 3: Trường điện từ tĩnh

1Chương 3 1 1. Khái niệm 2. Thế của trường điện 3. Phương trình Poisson - Laplace 4. Vật dẫn trong trường điện tĩnh 5. Điện môi trong trường điện tĩnh 6. Năng lượng trường điện 7. Các phương pháp giải toán trong trường điện tĩnh CHƯƠNG 3: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH Khái niệm về trường điện từ tĩnh Chương 3 2  Các đại lượng điện từ không thay đổi theo thời gian  Không có dòng điện, mật độ dòng ܬԦ ൌ 0  Phương trình và điều kiện biên: ݎ݋ݐܧ ൌ 0 ሺ5ሻ ݀݅ݒܦ ൌ ߩ ሺ6ሻ ݊. ܦଵ െ ܦଶ ൌ ߪ ݄ܽݕ ܦଵ௡ െ ܦଶ௡ ൌ ߪ ݊ ൈ ܧଵ െ ܧଶ ൌ 0 ሺ7ሻ ܦ ൌ ߝܧ ሺ8ሻ ݎ݋ݐܪ ൌ 0 ሺ1ሻ ݀݅ݒܤ ൌ 0 ሺ2ሻ ݊. ܤଵ െ ܤଶ ൌ 0 ݄ܽݕ ܤଵ௡ ൌ ܤଶ௡ ݊ ൈ ܪଵ െ ܪଶ ൌ 0 ሺ3ሻ ܤ ൌ ߤܪ ሺ4ሻ Các phương trình tách thành 2 nhóm độc lập có mô tả toán học tương tự  chỉ khảo sát trường điện 2Chương 3 3 Thế của trường điện tĩnh  Công ܣ ൌ න ܧ݈݀ ஼  Công lực điện tĩnh theo đường cong kín = 0. Trường điện tĩnh là trường thế.  Công lực điện tĩnh không phụ thuộc vào đường dịch chuyển, chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối 4 Thế của trường điện tĩnh  Thế điện ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ߶ ൌ െනܧ݈݀ ൅ ܥ ሾܸሿ  Thế điện có nhiều giá trị, xác định bằng cách chọn thế điện chuẩn  Thực tế: thế điện chuẩn bằng 0 là thế điện của đất. Lý thuyết: chọn ở   Hiệu thế điện: ߶ ܲ െ ߶ ܳ ൌ න ܧ݈݀ ொ ௉ ሾܸሿ ݃ݎܽ݀߶ ൌ ݅௫ ߲߶߲ݔ ൅ ݅௬ ߲߶ ߲ݕ ൅ ݅௭ ߲߶ ߲ݖ ݃ݎܽ݀߶ ൌ ݅௥ ߲߶߲ݎ ൅ 1 ݎ ݅ఏ ߲߶ ߲ߠ ൅ 1 ݎݏ݅݊ߠ ݅ఝ ߲߶ ߲߮ ݎ݋ݐܧ ൌ 0 ݎ݋ݐሺ݃ݎܽ݀߶ሻ ൌ 0 Nếu chọn () = 0: ߶ ܲ ൌ න ܧ݈݀ ஶ ௉ ሾܸሿ 35 Thế của trường điện tĩnh  Thế điện  Trường của điện tích điểm q đối xứng cầu: ܧ ൌ ݍ4ߨߝݎଶ ݅௥ ߶ ൌ ݍ 4ߨߝݎ  Trường của hệ n điện tích điểm: ߶ ൌ 14ߨߝ෍ ݍ௞ ݎ௞ᇱ ൌ 1 4ߨߝ෍ ݍ௞ ݎԦ െ ݎ௞ ௡ ௞ୀଵ ௡ ௞ୀଵ P qk ݎԦ ݎ௞ ݎԦ െ ݎ௞  r: khoảng cách từ điểm khảo sát P đến điện tích điểm  Thế điện tại mọi điểm trên mặt cầu r = const bằng nhau. Mặt đẳng thế trong trường của điện tích điểm q là mặt cầu có tâm đặt tại điện tích điểm Chương 3 6 Thế của trường điện tĩnh  Thế điện  Trường của điện tích phân bố liên tục: ߶ ൌ 14ߨߝ න ݀ݍ ݎԦ െ ݎ௞௏,ௌ,௅ ݀ݍ ൌ ൞ ߩ ݎ௞ ܸ݀ ߪ ݎ௞ ݀ݏ ߣ ݎ௞ ݈݀ ݎ௞: vector xác định vị trí yếu tố điện tích dqݎԦ: vector xác định vị trí điểm khảo sát : mật độ điện tích khối trong thể tích V : mật độ điện tích mặt trên diện tích S : mật độ điện tích dài trên đường L 4Chương 3 7 Phương trình Poisson - Laplace  Phương trình Laplace: : toán tử Laplace : thế điện Nếu miền khảo sát không có phân bố điện tích:  = 0  Phương trình Poisson: ߶ ൌ 14ߨߝ න ߩ ݎ௞ ܸ݀ ݎԦ െ ݎ௞௏ Δ߶ ൌ െߩ/ߝ Nghiệm riêng dạng tích phân: Chương 3 8 Xác định cường độ trường điện khi biết thế của trường điện tĩnh phân bố như sau (toạ độ cầu): ߶ ൌ ቐ ܽ ݎ ൏ ܴ ൌ ܿ݋݊ݏݐܴܽ ݎ ݎ ൐ ܴ ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ൌ െ ݅௥ ߲߶߲ݎ ൅ 1 ݎ ݅ఏ ߲߶ ߲ߠ ൅ 1 ݎݏ݅݊ߠ ݅ఝ ߲߶ ߲߮ ൌ ቐ 0 ݎ ൏ ܴܴܽ ݎଶ ݅௥ ݎ ൐ ܴ Xác định cường độ trường điện và mật độ điện tích khối khi biết môi trường có  = const và thế của trường điện tĩnh phân bố như sau (toạ độ cầu): ߶ ൌ ܾ 2ܴ 3 െ ݎ ܴ ݎ ൏ ܴ ൌ ܿ݋݊ݏݐ ܾ ݎ ݎ ൐ ܴ 5Chương 3 9 Cường độ trường điện có dạng: ܧ ൌ ݕݖ݅௫ ൅ ݖݔ݅௬ ൅ ݔݕ݅௭ ߶ ൌ െනܧ݈݀ ൅ ܥ ሾܸሿ ݈݀ ൌ ݀ݔ݅௫ ൅ ݀ݕ݅௬ ൅ ݀ݖ݅௭ ܧ݈݀ ൌ yzdx ൅ zxdy ൅ xydz ൌ dሺxyzሻ 1. Xác định mật độ điện tích khối và hiệu điện thế giữa hai điện cực 2. Xác định cường độ điện trường nếu nối 2 điện cực với nguồn U0. Giữa hai điện cực phẳng song song cách nhau khoảng x = d, dài y = a, rộng z = b, cường độ điện trường biến thiên theo quy luật: ܧ ൌ ܧ଴ 1 െ ݔ ଶ 2݀ଶ ݅௫ Xác định hiệu điện thế giữa 2 điểm A(0,1,2) và B(1,2,3) Cường độ trường điện có dạng: ܧ ൌ ݕݖଶ݅௫ ൅ ݔݖଶ݅௬ ൅ 2ݔݕݖݕ݅௭ Xác định hiệu điện thế giữa 2 điểm A(0,1,2) và B(1,2,3) Chương 3 10 Δ߶ ൌ ߲ ଶ߶ ߲ݔଶ ൅ ߲ଶ߶ ߲ݕଶ ൅ ߲ଶ߶ ߲ݖଶ ൌ െߩ/ߝ ߶ ൌ െනܧ݈݀ ൅ ܥ ሾܸሿܧ ൌ ܧ଴ 1 െ ݔଶ 2݀ଶ ݅௫ ݈݀ ൌ ݀ݔ݅௫ ൅ ݀ݕ݅௬ ൅ ݀ݖ݅௭ ߩ ൌ െߝܧ଴݀ଶ ݔ ܷ ൌ ߶ ݔ ൌ 0 െ ߶ ݔ ൌ ݀ ൌ න ܧ݈݀ ௗ ଴ ൌ 56ܧ଴݀ Δ߶ ൌ ߲ ଶ߶ ߲ݔଶ ൅ ߲ଶ߶ ߲ݕଶ ൅ ߲ଶ߶ ߲ݖଶ ൌ െ ߩ ߝ ൌ ݀ଶ߶ ݀ݔଶ ߶ ൌ ܧ଴ 6݀ଶ ݔ ଷ ൅ ܥଵݔ ൅ ܥ଴ Điều kiện biên:  (x = 0) = U0 (x = d) = 0 C1, C0 ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ൌ ܧ଴ 1 െ ݔ ଶ 2݀ଶ ൅ ܷ଴ െ ܷ ݀ ݅௫ 6Chương 3 11 Vật dẫn trong trường điện tĩnh ߩ ൌ ߩ଴݁ି ఊ ఌ ௧ 0: mật độ điện tích khối tại thời điểm t = 0 [C/m3] Thế điện tại mọi điểm của vật dẫn đều bằng nhau: vật dẫn là vật đẳng thế, mặt vật dẫn là mặt đẳng thế  ݀݅ݒܦ ൌ 0 → ߩ ൌ 0 ߪ ൌ ݊. ܦ ܦ ൌ ܦ௡݊ ൌ ߪ݊  Trường điện tĩnh có ܬԦ ൌ 0, ܬԦ ൌ ߛܧ Trong vật dẫn: ߛ ് 0 → ܧ ൌ 0, ܦ ൌ 0  ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ൌ 0 → ߶ ൌ ܿ݋݊ݏݐ  Điều kiện biên: ݊ ܦଵ െ ܦଶ ൌ ߪ Điện tích chỉ phân bố ngoài mặt vật dẫn với mật độ điện tích mặt  [C/m2] Chương 3 12 Trong miền không khí có  = 0 giới hạn bằng các mặt dẫn gồm các nửa mặt phẳng x = 0, y > 0; x > 0, y = 0 và mặt cong xy = 2. Giả sử điện thế trong miền này là  = 50xy [V]. Tính mật độ điện tích mặt trên các mặt dẫn. ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ߪ ൌ ܦ. ݊ ܦ ൌ ߝܧ ܦ ൌ ߪ݊ 7Chương 3 13 Vật dẫn trong trường điện tĩnh  Định lý tương hỗ: Hệ thống có n vật dẫn:  Điện tích các vật dẫn q1, q2, , qn và thế điện tương ứng 1, 2, , n  Điện tích các vật dẫn thay đổi thành q’1, q’2, , q’n và thế điện tươngứng ’1, ’2, , ’n  Các vật dẫn phân bố trong miền giới nội đặt trong môi trường tuyến tính, đẳng hướng không có phân bố điện tích khối ෍߶௞ᇱ ݍ௞ ௡ ௞ୀଵ ൌ ෍߶௞ݍ௞ᇱ ௡ ௞ୀଵ Chương 3 14 Vật dẫn trong trường điện tĩnh  Hệ số thế:  Điện dung C của vật dẫn cô lập: C = q/ [F] Hệ thống có n vật dẫn, thế điện của vật dẫn thứ k: ߶௞ ൌ ෍ ܤ௞௠ݍ௠ ௡ ௠ୀଵ Bkm: hệ số thế tương hỗ giữa vật dẫn thứ k và vật dẫn thứ m [F-1]  Hệ số thế tương hỗ giữa vật dẫn thứ k và vật dẫn thứ m Bkm bằng thế điện của vật dẫn k khi vật dẫn m mang điện tích 1C và các vật dẫn khác không mang điện Bkm = Bmk  Hệ số thế riêng Bkk bằng thế điện của vật dẫn k khi vật dẫn k mang điện tích 1C và các vật dẫn khác không mang điện 8Chương 3 15 Vật dẫn trong trường điện tĩnh  Hệ số điện dung (Hệ số cảm ứng): ݍ௞ ൌ ෍ ܣ௞௠߶௠ ௡ ௠ୀଵ Akm: hệ số điện dung tương hỗ giữa vật dẫn thứ k và vật dẫn thứ m Akm = km/ ∆ൌ ܤଵଵ ܤଵଶ ⋯ ܤଵ௡ܤଶଵ ܤଶଶ ⋯ ܤଶ௡⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ܤ௡ଵ ܤ௡ଶ ⋯ ܤ௡௡ km: phần phụ đại số của phần tử Bkm trong định thức  Chương 3 16 Điện môi trong trường điện tĩnh  Không có các điện tích tự do  Các điện tích dương và âm chuyển dịch theo 2 hướng ngược nhau Hình thành lưỡng cực điện (2 điện tích –q và +q cách nhau khoảng l) –q +q r- r+ l R Q ߶ ܳ ൌ ݍԦ݈. ܴ4ߨߝ଴ܴଷ ൌ ݌Ԧ. ܴ 4ߨߝ଴ܴଷ ݌Ԧ: moment lưỡng cực 9Chương 3 17 Điện môi trong trường điện tĩnh Thế điện tại Q gây ra bởi các lưỡng cực trong yếu tố thể tích dV: ݀߶௉ ൌ 14ߨߝ଴ ܸܴܲ݀ ܴଷ ܲ: moment lưỡng cực điện của 1 đơn vị thể tích = N݌Ԧ N: số lưỡng cực điện trong 1 đvttdV Q ݎԦ ܴ ݎ′ ߶௉ ܳ ൌ ߶௉ሺݎԦሻ ൌ 14ߨߝ଴ න ݎԦ െ ݎᇱ ܸܲ݀ ݎԦ െ ݎ′ ଷ௏ ܴ ൌ ݎԦ െ ݎ′ Biến đổi: ߶௉ ݎԦ ൌ 14ߨߝ଴ ර ܲ. ݀ܵ ݎԦ െ ݎ′ௌ ൅ 1 4ߨߝ଴ න െ݀݅ݒܸܲ݀ ݎԦ െ ݎ′௏ Chương 3 18 Điện môi trong trường điện tĩnh 1 4ߨߝ଴ ර ܲ݀ܵ ݎԦ െ ݎ′ௌ ൌ 1 4ߨߝ଴ ර ߪ௉݀ܵ ݎԦ െ ݎ′ௌ : thế điện gây ra bởi điện tích phân cựcphân bố trên mặt S ߪ௉ ൌ ݊. ܲ ൌ ௡ܲ [C/m2]: mật độ điện tích phân cực mặt 1 4ߨߝ଴ න െ݀݅ݒܸܲ݀ ݎԦ െ ݎ′௏ ൌ 1 4ߨߝ଴ න ߩ௉ܸ݀ ݎԦ െ ݎ′௏ : thế điện gây ra bởi điện tích phân cựcphân bố trong thể tích V ߩ௉ ൌ െ݀݅ݒܲ [C/m3]: mật độ điện tích phân cực khối Thế điện khi có điện môi: ߶௉ ݎԦ ൌ 14ߨߝ଴ ර ሺߪ ൅ ߪ௉ሻ݀ܵ ݎԦ െ ݎ′ௌ ൅ 1 4ߨߝ଴ න ߩ ൅ ߩ௉ ܸ݀ ݎԦ െ ݎ′௏ 10 Chương 3 19 Tính điện dung của tụ điện phẳng chứa đầy bằng 2 lớp điện môi 1,2 với độ dày d1, d2 song song với 2 bản tụ có diện tích S. ݀݅ݒܦ ൌ ߩ ൌ 0 ܦ ൌ ܦ݅௫ D = const D1 = D2 = 1E1 = 2E2 ܷ ൌ නܧ݈݀ ௗ ଴ ൌ න ܧଵ݀ݔ ௗభ ଴ ൅ න ܧଶ݀ݔ ௗభାௗమ ௗభ ൌ ܧଵ݀ଵ ൅ ܧଶ݀ଶ ݍ ൌ ර ܦ݀ݏ ௌ න ܦଵ݀ݏ ௌ ൌ ܦଵܵ C = q/U Chương 3 20 Năng lượng trường điện ௘ܹ ൌ 12න ܧܦܸ݀௏ Nếu trường điện tạo bởi các điện tích phân bố khối mật độ  và phân bố mặt mật độ : ௘ܹ ൌ 12න ߶ߩܸ݀௏ ൅ 1 2න ߶ߪ݀ܵௌ Nếu trường điện tạo bởi n vật dẫn mang điện q1, q2, : ௘ܹ ൌ 12෍߶௞ݍ௞ ௡ ௞ୀଵ 11 Chương 3 21 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Bài toán trường điện tĩnh chủ yếu xác định ܧ và  ߶ ൌ െනܧ݈݀ ൅ ܥ  Nếu môi trường đồng nhất, đẳng hướng: ∆߶ ൌ ቐെ ߩ ߝ 0 ߩ ൌ 0  Thế điện  phải liên tục tại biên phân chia 2 môi trường: ߶ଵ ൌ ߶ଶ ߝଵ ߜ߶ଵߜ݊ െ ߝଶ ߜ߶ଶ ߜ݊ ൌ െߪ ߜ߶ଵ ߜ߬ െ ߜ߶ଶ ߜ߬ ൌ 0 n: thành phần pháp tuyến : thành phần tiếp tuyến ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ Chương 3 22 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Nguyên lý chồng trường: Nếu điện tích phân bố liên tục trong miền không gian hữu hạn: ߶ ൌ න ݀ݍ4ߨߝݎ௏,ௌ,஼ Thế điện gây ra bởi n điện tích điểm qi: ߶ ൌ 14ߨߝ෍ ݍ௜ ݎ௜ െ ݎ௜ᇱ ௡ ௜ୀଵ 12 Chương 3 23 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh Điện tích Q phân bố liên tục đều trên vòng dây tròn mảnh bán kính a. Xác định thế và cường độ điện trường tại điểm P nằm trên trục z vuông góc và qua tâm vòng dây. P a dq r z z ߶ ൌ ර ݀ݍ4ߨߝݎ ஼ ൌ ර ߣ݈݀4ߨߝݎ஼ ൌ ර ܳ 2ߨܽ ݈݀ 4ߨߝ ܽଶ ൅ ݖଶ஼ ൌ ܳ4ߨߝ ܽଶ ൅ ݖଶ ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ൌ ܳݖ4ߨߝ ܽଶ ൅ ݖଶ ଷ ݅௭ Chương 3 24 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh Điện tích Q phân bố liên tục đều trên dây dẫn mảnh hình vuông chiều dài mỗi cạnh a. Xác định thế và cường độ điện trường tại điểm P nằm trên trục z vuông góc và qua tâm dây dẫn. න ݀ݔݔଶ ൅ ܽଶ ൌ ln ݔ ൅ ݔ ଶ ൅ ܽଶ P a dq z r a ݎ ൌ ݔଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶ Điện tích phân bố liên tục đều với mật độ  trên đoạn thẳng –h ≤ z ≤ h. Xác định thế và cường độ điện trường tại điểm P nằm trên mặt phẳng xOy và cách tâm khoảng r. P dq h -h dq = dz ߶ ൌ ර ݀ݍ4ߨߝݎ஼ ൌ 2න ݀ݍ4ߨߝ ݎଶ ൅ ݖଶ ௛ ଴ r 13 Chương 3 25 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh Điện tích Q phân bố liên tục đều trên đĩa tròn phẳng bán kính a. Xác định thế và cường độ điện trường tại điểm P nằm trên trục z vuông góc và qua tâm đĩa. P r z dq d ߶ ൌ ර ݀ݍ4ߨߝ ݎଶ ൅ ݖଶௌ Xét trong hệ tọa độ trụ: dq = ds ߪ ൌ ܳߨܽଶ ds = rdrd Chương 3 26 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Áp dụng định luật Gauss: Dùng để tính trường điện tĩnh có tính đối xứng cầu, trụ,  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều Điện tích Q phân bố liên tục đều trong thể tích hình cầu bán kính a đặt trong môi trường đồng nhất đẳng hướng. ර ܦ݀ݏ ௌ ൌ ݍ 14 Chương 3 27 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều Chọn gốc tọa độ tại tâm hình cầu, vẽ các mặt S1 và S2 là các mặt cầu đồng tâm S2 aS1 Vật mang điện  Vùng ngoài quả cầu mang điện: ර ܦ݀ݏ ௌమ ൌ ݍ q: điện tích của vật mang điện = Q ൌ ߩ ସగ௔యଷ ܦ݀ݏ ൌ ܦ݊݀ݏ ൌ ܦ݀ݏ ර ܦ݀ݏ ௌమ ൌ ܦර ݀ݏ ௌమ ൌ ܦ4ߨݎଶ ൌ ܳ ൌ ߩ4ߨܽ ଷ 3 ܦ ൌ ܳ4ߨݎଶ ൌ ߩܽଷ 3ݎଶ Chương 3 28 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều ܧ ൌ ܳ4ߨߝݎଶ ൌ ߩܽଷ 3ߝݎଶ ܧ ൌ ܧ݅௥ ߶ ܲ െ ߶ ܳ ൌ න ܧ݈݀ ொ ௉ ߶ െ ߶ ∞ ൌ න ܧ݈݀ ஶ ௥ ݈݀ ൌ ݀ݎ݅௥ ൅ ݎ݀ߠ݅ఏ ൅ ݎݏ݅݊ߠ݀߮݅ఝ Chọn () = 0 ߶ ൌ න ߩܽ ଷ 3ߝݎଶ ݀ݎ ஶ ௥ ൌ ߩܽ ଷ 3ߝݎ 15 Chương 3 29 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều  Vùng trong quả cầu mang điện: ර ܦ݀ݏ ௌభ ൌ ݍ q: điện tích bên trong quả cầu S1 ൌ ߩ ସగ௥ య ଷ ර ܦ݀ݏ ௌభ ൌ ܦර ݀ݏ ௌభ ൌ ܦ4ߨݎଶ ൌ ߩ 4ߨݎ ଷ 3 ܦ ൌ ߩݎ 3 ܧ ൌ ߩݎ 3ߝ ݅௥ ߶ ൌ න ܧ݈݀ ஶ ௥ ൌ නܧ݈݀ ௔ ௥ ൅ න ܧ݈݀ ஶ ௔ ൌ නߩݎ3ߝ ݀ݎ ௔ ௥ ൅ න ߩܽ ଷ 3ߝݎଶ ݀ݎ ஶ ௔ ൌ ߩ 3ܽ ଶ െ ݎଶ 6ߝ Chương 3 30 ௘ܹ ൌ 12න ߶ߩܸ݀௏ ൅ 1 2න ߶ߪ݀ܵௌ Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều  Năng lượng trường điện: Điện tích chỉ phân bố bên trong quả cầu nên: ௘ܹ ൌ 12න ߶ߩܸ݀௏ ൌ 1 2න නන ߩ 3ܽଶ െ ݎଶ 6ߝ ߩݎ ଶݏ݅݊ߠ݀ݎ݀ߠ݀߮ ௔ ଴ గ ଴ ଶగ ଴ ൌ 4ߨߩ ଶܽହ 15ߝ ܸ݀ ൌ ሺ݀ݎሻሺݎ݀ߠሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ 16 Chương 3 31 Xác định thế điện và cường độ điện trường bên trong và bên ngoài mặt cầu bán kính a mang điện tích Q tích phân bố đều trên mặt cầu. ර ܦ݀ݏ ௌ ൌ ݍ Trong mặt cầu: ර ܦ݀ݏ ௌభ ൌ ݍ ൌ 0 Ngoài mặt cầu: ර ܦ݀ݏ ௌమ ൌ ݍ ൌ ܳ ൌ ܦ. 4ߨݎଶ ܧ ൌ ܳ4ߝߨݎଶ ݅௥ ߶ ൌ න ܧ݈݀ ஶ ௥ ൌ නܧ݈݀ ௔ ௥ ൅ න ܧ݈݀ ஶ ௔ ൌ න0݀ݎ ௔ ௥ ൅ න ܧ݀ݎ ஶ ௔ ൌ ܳ4ߝߨܽTrong mặt cầu: Ngoài mặt cầu: ߶ ൌ න ܧ݈݀ ஶ ௥ ൌ න ܧ݀ݎ ஶ ௥ ൌ ܳ4ߝߨݎ Chương 3 32 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật dẫn hình trụ dài mang điện đều Điện tích Q phân bố liên tục đều trong hình trụ kim loại mỏng bán kính a chiều dài L (L >> a) đặt trong môi trường đồng nhất đẳng hướng.  Vùng bên trong hình trụ: ර ܦ݀ݏ ௌ ൌ ݍ ൌ 0 ܧ ൌ 0 17 33 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật dẫn hình trụ dài mang điện đều  Vùng ngoài hình trụ: h S1 S2 Bỏ qua hiệu ứng mép, vector cường độ điện trường vuông góc với trục hình trụ và có giá trị bằng nhau tại các điêm cách đều trục. ܧ ܧ ܧ Vật dẫn hình trụ Chọn gốc tọa độ tại tâm hình trụ, trục z trùng với trục hình trụ, vẽ mặt trụ S cùng trục, thiết diện tròn bán kính r > a, chiều cao h Chương 3 34 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật dẫn hình trụ dài mang điện đều ර ܦ݀ݏ ௌ ൌ න ܦ݀ݏ ௌభ ൅ න ܦ݀ݏ ௌమ ൅ න ܦ݀ݏ ௌೣ೜ ൌ ݍ ൌ ܳ ݄ܮ S1, S2: 2 mặt đáy; Sxq: diện tích xung quanh Đối với 2 mặt đáy: ݀ݏ vuông góc mặt đáy ݀ݏ ٣ ܦ ܦ݀ݏ ൌ 0 න ܦ݀ݏ ௌೣ೜ ൌ ܦන ݀ݏ ௌೣ೜ ൌ ܦ2ߨݎ݄ ൌ ܳ ݄ܮ ܦ ൌ ܳ 2ߨݎܮ ݅௥ ܧ ൌ ܳ2ߨݎߝܮ ݅௥ Cường độ trường điện không phụ thuộc bán kính a  có thể thay bằng trục mang điện 18 35 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật dẫn hình trụ dài mang điện đều Chọn gốc thế điện tại r = b: (r=b) = 0 ߶ ൌ නܧ݈݀ ௕ ௥ ൌ න ܳ2ߨݎߝܮ ݅௥ ݈݀ ௕ ௥ ൌ න ܳ2ߨݎߝܮ ݀ݎ ௕ ௥ ൌ ܳ2ߨߝܮ ln ܾ ݎ ݈݀ ൌ ݀ݎ݅௥ ൅ ݎ݀߮݅ఝ ൅ ݀ݖ݅௭ a b Lõi dẫn hình trụ Vỏ ngoài Lớp điện môi Cáp đồng trục có lõi dẫn hình trụ bán kính a, vỏ ngoài bán kính b, vỏ và lõi mang điện tích bằng nhau trái dấu Chọn (r=b) = 0 (vỏ nối đất) r b: ܧ và  = 0 a < r < b: ܧ và  tính như trên Chương 3 36 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật dẫn hình trụ dài mang điện đều Trục mang điện có mật độ điện tích ߣ ൌ ܳܮ ܧ ൌ ܳ2ߨݎߝܮ ݅௥ ൌ ߣ 2ߨݎߝ ݅௥ ߶ ൌ ܳ2ߨߝܮ ln ܾ ݎ ൌ ߣ 2ߨߝ ln ܾ ݎ 19 Chương 3 37 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của hai trục mang điện trái dấu, song song Hai trục mang điện song song cách nhau khoảng 2x0 có mật độ điện dài  và - ܧ ൌ ܧା ൅ ܧ_ ൌ ߣ2ߨݎାߝ ݅௥ െ ߣ 2ߨିݎ ߝ ݅௥  - x0 x0 y xO P r+ r- Đường đẳng thế Đường sức điện x y ߶ ൌ ߶ା ൅ ߶ି ൌ ߣ2ߨߝ ln ିݎ ݎା Đường đẳng thế  = const ିݎ ݎା ൌ ܿ݋݊ݏݐ ൌ ܭ Chương 3 38 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của hai trục mang điện trái dấu, song song  - x0 x0 y xO P r+ r- Đường đẳng thế Đường sức điện x y ݎା ൌ ݔ଴ ൅ ݔ ଶ ൅ ݕଶ ିݎ ൌ ݔ଴ െ ݔ ଶ ൅ ݕଶ ିݎ ݎା ൌ ܭ ݔ െ ݔ଴ 1 ൅ ܭ ଶ 1 െ ܭଶ ଶ ൅ ݕଶ ൌ 4ܭ ଶݔ଴ଶ 1 െ ܭଶ ଶ Đường đẳng thế là các đường tròn Đường sức điện ݔଶ ൅ ݕ െ ݕଵ ଶ ൌ ݔ଴ଶ ൅ ݕଵଶ 20 Chương 3 39 Xác định thế điện và cường độ điện trường bên trong và bên ngoài hình trụ dài bán kính tiết diện a, điện tích phân bố đều bên trong hình trụ với mật độ khối  ර ܦ݀ݏ ௌ ൌ ݍ Trong mặt trụ: ර ܦ݀ݏ ௌభ ൌ ݍ ൌ ߩߨݎଶ݄ ൌ ܦ. 2ߨݎ݄ Ngoài mặt trụ: ර ܦ݀ݏ ௌమ ൌ ݍ ൌ ߩߨܽଶ݄ ൌ ܦ. 2ߨݎ݄ ܦ ൌ ߝܧ ߶ ൌ නܧ݈݀ ଴ ௥ ൌ නܧ݀ݎ ଴ ௥ Trong mặt trụ: Ngoài mặt trụ: ߶ ൌ නܧ݈݀ ଴ ௥ ൌ නܧ݀ݎ ௔ ௥ ൅ නܧ݀ݎ ଴ ௔ Chương 3 40 Xác định thế điện và cường độ điện trường bên trong và bên ngoài 2 mặt phẳng z = -a/2 và z = a/2 biết điện tích phân bố đều giữa 2 mặt phẳng với mật độ khối  Xác định thế điện và cường độ điện trường gây ra bởi điện tích phân bố đều với mật độ khối  ߩ ൌ ቐ 0 ݎ ൏ ܽ ܣ ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ 0 ݎ ൐ ܾ Xác định thế điện và cường độ điện trường gây ra bởi điện tích phân bố đều với mật độ mặt  ߪ ൌ ߪ଴ ݐݎê݊ ݉ặݐ ݎ ൌ ܽ ൏ ܾ െߪ଴ܾܽ ݐݎê݊ ݉ặݐ ݎ ൌ ܾ 0 ݄݇áܿ 21 Chương 3 41 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và mặt phẳng dẫn  Phương pháp ảnh điện: Thay thế hai hay nhiều môi trường khác nhau bằng một môi trường đồng nhất đồng thời đưa thêm những điện tích mới sao cho đảm bảo điều kiện biên như trước. B ିݎଶ ൌ ݎାଶ ൅ 2݄ ଶ ൅ 2.2݄. ݎାܿ݋ݏߠ Xét 2 điện tích điểm q và –q đặt cách nhau một khoảng 2h ߶ ൌ ݍ4ߨߝ 1 ݎା െ 1 ିݎ P r+r- x -q +q A h h ܧ௥శܧఏ Chương 3 42 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và mặt phẳng dẫn Nhận xét: - Trên mặt phẳng AB: r+ = r-   = 0 - Khi r+  0 thì    (tỷ lệ với 1/r) - Khi r+   thì   0 Tương tự với bài toán gồm 1 điện tích điểm +q đặt cách mặt phẳng dẫn nối đất một khoảng h Bài toán xét trường điện của một điện tích điểm +q đặt cách mặt dẫn AB giống như khi bỏ AB và đưa vào điện tích điểm –q đối xứng với q qua AB (-q gọi là điện tích ảnh của q) 22 Chương 3 43 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và mặt phẳng dẫn ߶ ൌ ݍ4ߨߝ 1 ݎା െ 1 ݎାଶ ൅ 2݄ ଶ ൅ 2.2݄. ݎାܿ݋ݏߠ r+r- x-q +q A h h ܧ௥శܧఏ P ܧ௫ B ܧ௥శ ൌ െ ߲߶ ߲ݎା ൌ ݍ 4ߨߝ 1 ݎାଶ െ ݎା ൅ 2݄ܿ݋ݏߠ ݎାଶ ൅ 4݄ଶ ൅ 4݄ݎାܿ݋ݏߠ ଷ ܧఏ ൌ െ 1ݎା ߲߶ ߲ߠ ൌ ݍ 4ߨߝ 2݄ݏ݅݊ߠ ݎାଶ ൅ 4݄ଶ ൅ 4݄ݎାܿ݋ݏߠ ଷ ܧ௫ ൌ ܧ௥శܿ݋ݏߠ െ ܧఏݏ݅݊ߠ ൌ ݍ 4ߨߝ ܿ݋ݏߠ ݎାଶ െ ݎାܿ݋ݏߠ ൅ 2݄ ݎାଶ ൅ 4݄ଶ ൅ 4݄ݎାܿ݋ݏߠ ଷ B A P a hr 44 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và mặt phẳng dẫn Xét trên mặt dẫn: ݎା ൌ ିݎ ൌ ܽ ܧ௡ ൌ ܧ௫ ൌ െ ݍ2݄4ߨߝܽଷ ߪ ൌ ܦ. ݊ ൌ ܦ௡ ൌ ߝܧ௡ ൌ െ ݍ݄2ߨܽଷTrên mặt dẫn: Điện tích cảm ứng trên mặt dẫn: නߪ݀ݏ ൌ න න ߪݎ݀߮݀ݎ ଶగ ଴ ஶ ଴ ൌ න ߪ2ߨݎ݀ݎ ஶ ଴ ൌ න െ ݍ݄2ߨܽଷ 2ߨܽ݀ܽ ஶ ௛ ൌ െݍ B A P a hr ܽଶ ൌ ݎଶ ൅ ݄ଶ → ܽ݀ܽ ൌ ݎ݀ݎ (bằng điện tích ảnh) Lực tác dụng lên mặt dẫn: නݍ ߪ4ߨߝܽଶ ܿ݋ݏߙ݀ݏ ൌ െ ݍଶ 4ߨߝ4݄ଶ (bằng lực tác dụnggiữa q và –q)) 23 45 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và quả cầu dẫn Điện tích điểm q đặt cách quả cầu dẫn nối đất bán kính a một khoảng d a q d M Nq1 x Dùng phương pháp ảnh điện, thay quả cầu dẫn bằng điện tích điểm q1. Do tính đối xứng, q1 nằm trên đường thẳng nối tâm quả cầu và q, cách tâm quả cầu một khoảng x. ߶ ܯ ൌ ݍ4ߨߝሺ݀ െ ܽሻ ൅ ݍଵ 4ߨߝሺܽ െ ݔሻ ൌ 0 ߶ ܰ ൌ ݍ4ߨߝሺ݀ ൅ ܽሻ ൅ ݍଵ 4ߨߝሺܽ ൅ ݔሻ ൌ 0 ݍଵ ൌ െ ܽ݀ ݍ ݔ ൌ ܽଶ ݀ (Mặt dẫn đẳng thế và nối đất   = 0) 46 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và quả cầu dẫn Điện tích điểm q đặt cách quả cầu dẫn nối đất bán kính a một khoảng d Xác định trường điện của 2 điện tích điểm q và q1 cách nhau một khoảng d’ ݍଵ ൌ െ ܽ݀ ݍ ݀ ᇱ ൌ ݀ െ ܽ ଶ ݀ Nếu quả cầu dẫn không nối đất và không mang điện: (M) = (N)  0 q q1 q2 d d' Hệ gồm 2 điện tích điểm q và q1 như trên (M) = (N) = 0 Để (M) = (N)  0 thì đặt thêm q2 tại tâm quả cầu Quả cầu không mang điện ර ܦ݀ݏ ௌ ൌ 0 ݍଶ ൌ െݍଵൌ ܽ݀ ݍ 24 Chương 3 47 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của trục mang điện và hình trụ dẫn a  d M N1 x Trục mang điện đều, mật độ điện dài  đặt cách quả cầu dẫn nối đất bán kính a một khoảng d > a. Dùng phương pháp ảnh điện, thay quả cầu dẫn bằng trục mang điện 1. ߶ ܰ ൌ ߣ2ߨߝ ln ݀ െ ܽ ݀ ൅ ܽ ൅ ߣଵ 2ߨߝ ln ܽ െ ݔ ܽ ൅ ݔ ൌ 0 (M) = (N) = 0 ߣଵ ൌ െߣ ݔ ൌ ܽ ଶ ݀ Kết quả giống như 2 trục mang điện trái dấu song song Chương 3 48 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm đặt gần mặt phân chia 2 điện môi 1 2 (1) (2) q 1 1 q q1 ܧଵଵ ܧଵଶ  Điện tích điểm q đặt trong môi trường đồng nhất 1 cách môi trường 2 một khoảng h.h  Tính cho môi trường 1 Thêm điện tích điểm q1 đối xứng q qua mặt phân cách ܧଵ௧ ൌ ܧଵଵܿ݋ݏߙ ൅ ܧଵଶܿ݋ݏߙ ൌ ݍ ൅ ݍଵ4ߨߝଵݎଶ ܿ݋ݏߙ (1) (1) ܦଵ௡ ൌ ܦଵଵݏ݅݊ߙ െ ܦଵଶݏ݅݊ߙ ൌ ݍ െ ݍଵ 4ߨݎଶ ݏ݅݊ߙ h 25 Chương 3 49 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm đặt gần mặt phân chia 2 điện môi 2 2 q2 ܧଶ  (2) (2) h  Tính cho môi trường 2 Thay điện tích điểm q bằng điện tích điểm q2 ܧଶ௧ ൌ ܧଶܿ݋ݏߙ ൌ ݍଶ4ߨߝଶݎଶ ܿ݋ݏߙ ܦଶ௡ ൌ ܦଶݏ݅݊ߙ ൌ ݍଶ4ߨݎଶ ݏ݅݊ߙ Điều kiện biên: E1t = E2t D1n = D2n ݍ ൅ ݍଵ 4ߨߝଵݎଶ ܿ݋ݏߙ ൌ ݍଶ 4ߨߝଶݎଶ ܿ݋ݏߙݍ െ ݍଵ 4ߨݎଶ ݏ݅݊ߙ ൌ ݍଶ 4ߨݎଶ ݏ݅݊ߙ ݍଵ ൌ ߝଵ െ ߝଶߝଵ ൅ ߝଶ ݍ ݍଶ ൌ 2ߝଶߝଵ ൅ ߝଶ ݍ Chương 3 50 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm đặt gần mặt phân chia 2 điện môi  Lực tác dụng lên q ܨ ൌ 14ߨߝଵ ߝଵ െ ߝଶ ߝଵ ൅ ߝଶ ݍଶ 4݄ଶ  Nếu 1 < 2: F < 0  q bị hút đến mặt phân cách  Nếu 1 > 2: F > 0  q bị đẩy ra xa mặt phân cách  Nếu 1 = 2: q1 = 0, q2 = q  điện tích điểm q đặt trong môi trường đồng nhất 26 Chương 3 51 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Giải phương trình Poisson - Laplace: Δ߶ ൌ ߘଶ߶ ൌ െߩ/ߝ  Phương trình Poisson  Phương trình Laplace Δ߶ ൌ ߘଶ߶ ൌ 0 Nếu môi trường không có điện tích Chương 3 52 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện đều Một quả cầu mang điện đều có mật độ điện tích khối  bán kính a tâm tại gốc tọa độ. ∆߶ ൌ ቊെߩ/ߝ ݎ ൏ ܽ0 ݎ ൐ ܽ Trong hệ tọa độ cầu: h1 = 1, h2 = r, h3 = rsin ∆݂ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ ߲ ߲ݑଵ ݄ଶ݄ଷ ݄ଵ ߲݂ ߲ݑଵ ൅ ߲ ߲ݑଶ ݄ଷ݄ଵ ݄ଶ ߲݂ ߲ݑଶ ൅ ߲ ߲ݑଷ ݄ଵ݄ଶ ݄ଷ ߲݂ ߲ݑଷ ∆߶ ൌ 1ݎଶݏ݅݊ߠ ߲ ߲ݎ ݎ ଶݏ݅݊ߠ ߲߶߲ݎ ൅ ߲ ߲ߠ ݏ݅݊ߠ ߲߶ ߲ߠ ൅ ߲ ߲߮ 1 ݏ݅݊ߠ ߲߶ ߲߮ Do tính đối xứng cầu, thế điện chỉ là hàm của r ߲߶ ߲ߠ ൌ 0, ߲߶ ߲߮ ൌ 0 ∆߶ ൌ 1ݎଶ ߲ ߲ݎ ݎ ଶ ߲߶ ߲ݎ ൌ ቊ െߩ/ߝ ݎ ൏ ܽ 0 ݎ ൐ ܽ 27 Chương 3 53 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện đều ߶ ൌ െߩݎ ଶ 6ߝ െ ܣ ݎ ൅ ܤ ݎ ൏ ܽ െܥݎ ൅ ܦ ݎ ൐ ܽ Theo định luật Gauss, xét mặt cầu bán kính r: ݍ ൌ ර ܦ݀ݏ ௌ ൌ ܦ. 4ߨݎଶ ൌ ߝܧ4ߨݎଶ ൌ ߝ ߩݎ3ߝ െ ܣ ݎଶ 4ߨݎ ଶ ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ൌ ߩݎ 3ߝ െ ܣ ݎଶ ݅௥ ݎ ൏ ܽ െ ܥݎଶ ݅௥ ݎ ൐ ܽ Khi r  0 thì q  0: ݍ ൌ ߝ ߩݎ3ߝ െ ܣ ݎଶ 4ߨݎ ଶ ൌ 43ߩߨݎ ଷ െ 4ߨܣ A = 0 Chọn () = 0: ߶ ൌ െܥݎ ൅ ܦ D = 0 Chương 3 54 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện đều ߶ ൌ െߩݎ ଶ 6ߝ ൅ ܤ ݎ ൏ ܽ െܥݎ ݎ ൐ ܽ Tại r = a: Thế điện liên tục: െߩܽ ଶ 6ߝ ൅ ܤ ൌ െ ܥ ܽ Dn liên tục: ߝ ߩܽ3ߝ ൌ െߝ ܥ ܽଶ ܧ ൌ ߩݎ 3ߝ ݅௥ ݎ ൏ ܽ െ ܥݎଶ ݅௥ ݎ ൐ ܽ ܥ ൌ െߩܽ ଷ 3ߝ ܤ ൌ ߩܽ ଶ 2ߝ ߶ ൌ െߩݎ ଶ 6ߝ ൅ ߩܽଶ 2ߝ ݎ ൏ ܽ ߩܽଷ 3ߝݎ ݎ ൐ ܽ ܧ ൌ ߩݎ 3ߝ ݅௥ ݎ ൏ ܽ ߩܽଷ 3ߝݎଶ ݅௥ ݎ ൐ ܽ 28 Chương 3 55 Xác định thế điện và cường độ điện trường bên trong và bên ngoài hình trụ dài bán kính tiết diện a, điện tích phân bố đều bên trong hình trụ với mật độ khối  bằng cách giải phương trình Poisson – Laplace. Trong hệ tọa độ trụ: h1 = 1, h2 = r, h3 = 1 ∆݂ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ ߲ ߲ݑଵ ݄ଶ݄ଷ ݄ଵ ߲݂ ߲ݑଵ ൅ ߲ ߲ݑଶ ݄ଷ݄ଵ ݄ଶ ߲݂ ߲ݑଶ ൅ ߲ ߲ݑଷ ݄ଵ݄ଶ ݄ଷ ߲݂ ߲ݑଷ ∆߶ ൌ 1ݎ ߲ ߲ݎ ݎ ߲߶ ߲ݎ ൅ ߲ ߲ߠ 1 ݎ ߲߶ ߲ߠ ൅ ߲ ߲ݖ ݎ ߲߶ ߲ݖ Do tính đối xứng, , D, E chỉ phụ thuộc r ∆߶ ൌ 1ݎ ߲ ߲ݎ ݎ ߲߶ ߲ݎ ൌ ቐ െߩߝ ݎ ൏ ܽ 0 ݎ ൐ ܽ ߶ ൌ ቐെ ߩݎଶ 4ߝ ൅ ܣ݈݊ݎ ൅ ܤ ݎ ൏ ܽ ܥ݈݊ݎ ൅ ܦ ݎ ൐ ܽ ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ൌ ߩݎ 2ߝ െ ܣ ݎ ݅௥ ݎ ൏ ܽ െܥݎ ݅௥ ݎ ൐ ܽ E(r = 0) hữu hạn  A = 0 Chọn (0) = 0  B = 0 Tại r = a: Thế điện liên tục: Dn liên tục: ߝ ߩݎ 2ߝ െ ܣ ݎ ൌ െߝ ܥ ݎെ ߩݎଶ 4ߝ ൅ ܣ݈݊ݎ ൅ ܤ ൌ ܥ݈݊ݎ ൅ ܦ Chương 3 56 Xác định thế điện và cường độ điện trường bên trong và bên ngoài mặt cầu bán kính a mang điện tích Q tích phân bố đều trên mặt cầu Xác định thế điện gây bởi điện tích phân bố khối trong hệ tọa độ trụ với mật độ: ߩ ൌ ቊߩ଴ ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ0 ݄݇áܿ Chọn (0) = 0 Xác định thế điện gây bởi điện tích phân bố khối trong hệ tọa độ cầu với mật độ: ߩ ൌ ቊߩ଴ ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ0 ݄݇áܿ Chọn () = 0