Bài giảng trọng tâm tích phân

am gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 50 d) ( )4 23 4 2 cos (sin ) cos cos 1 sin dx x dx d xI x x x = = = − − ∫ ∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 4 2 22 2 1 1 1 1 1 sin 2 1 1 4 1 11 1 t tdt dt t x I dt dt t t t tt t  + − −   = → = − = − = = − =   + − − +   − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1ln . 4 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 11 1 t t dtdt dt dt t C t t t t t t t t tt t    + − −  − = + + = − − + = − − + +      − + − + − + − + + − −         ∫ ∫ ∫ ∫ Thay t = sinx vào ta được 4 1 1 1 sin 1ln . 4 sin 1 sin 1 sin 1 xI C x x x  − = − − + +  − + +  Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 5 sin cos dxI x x = ∫ b) 3 6 4sin 1 cos x dxI x = +∫ c) 7 3 sin cos 1 x dxI x = − ∫ Hướng dẫn giải: a) ( )5 2 2 cos (sin ) sin cos sin cos sin 1 sin dx x dx d xI x x x x x x = = = − ∫ ∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 5 2 22 2 1 11 1 sin ln ln 1 ln . 1 2 1 21 1 t t d tdt t dt dt t x I dt t t t C t t tt t t t + − − = → = = = + = − + = − − + + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Thay t = sinx vào ta được 2 25 1 1ln 1 sin ln sin ln cos ln sin ln tan . 2 2 I x x C x x C x C= − − + + = − + + = + Vậy 5 ln tan . sin cos dxI x C x x = = +∫ b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có: ( ) ( ) 23 2 4 1 cos .sin4sin 4sin .sin 4 1 cos .sin 4sin 2sin 2 . 1 cos 1 cos 1 cos x xx x x x x x x x x x − = = = − = − + + + Từ đó ( ) 3 6 6 4sin 4sin 2sin 2 4cos os2 4cos os2 . 1 cos x dxI x x dx x c x C I x c x C x = = − = − + + → = − + + +∫ ∫ c) 7 3 3 sin (cos ) cos 1 cos 1 x dx d xI x x = = − − − ∫ ∫ Đặt t = cosx ta được 7 3 21 ( 1)( 1) dt dtI t t t t = − = − − − + +∫ ∫ Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 3 1 3 11 1 1 6 1 1 t t t t t t t t t t − + + + − = − + + − − + + Khi đó ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 7 3 22 3 3 1 3 11 1 3 1 1 6 6 1 2 1 2 11 1 t t t t t dt dt dtI dt t t t tt t t − + + + − = = − + − − + + − + +∫ ∫ ∫ ∫  ( )32 3 13 3 13 ln 1 1 1 d tt dt t C t t − = = − + − − ∫ ∫  2ln 11 dt t C t = − + −  3 322 2 1 1 2 2 12arctan arctan 1 3 3 3 31 3 2 22 2 tdt dt tC C t t t   +  +   = = + = + + +        + +         ∫ ∫ Từ đó 3 37 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1ln 1 ln 1 . arctan ln 1 ln 1 arctan . 6 2 2 6 23 3 3 3 t tI t t C t t C+ +   = − − − + + = − − − + +        Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 51 Bình luận: Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau ( ) − = − = − = − = − − − + +  − − + − + + +  ∫ ∫ ∫ ∫7 3 2 2 2 dt dt d( t 1 ) duI t 1 ( t 1)( t t 1 ) ( t 1 ) ( t 1 ) 3( t 1) 3 ) u u 3u 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + + + − − + → = = = − + + + + ++ + + + + + 2 2 2 3 2 3 22 2 2 3u 6u 3 3 u 3u 3 3u1 1 1 1 3u 6u 1 1 . . u 3u 3u 6 6 u 3u 3u 2uu u 3u 3 u u 3u 3 2 u 3u 3 Thay vào ta được : +  = + + − + = + + − + +      + +        ∫ 3 2 3 2 7 22 1 1 1 du 1 1 1 2u 3I ln u 3u 3u ln u ln u 3u 3u ln u arctan C. 6 2 2 6 2 2 3 33 3 u 2 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) 21 cos 3I x dx= ∫ 2) 42 sinI x dx= ∫ 3) 53 sinI x dx= ∫ 4) 4 sin cos 2I x xdx= ∫ 5) 5 sin 3 cosI x xdx= ∫ 6) 4 6 tan cos xI dx x = ∫ 7) 7 3sin dxI x = ∫ 8) 3 8 5 cos sin x dxI x = ∫ 9) 9 4sin cos dxI x x = ∫ 10) 10 6sin cos dxI x x = ∫ Dạng 3. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  =   = −  (tan ) cos (cot ) sin 2 2 du d u u du d u u Cách giải:  Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 tan tan 1 cos cos 1 11 cot cot 1 x x x x x x sin x sin x   = + = −   →    = + = −     Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: 2 2Asin x Bsin x.cos x C.cos x+ + thì ta chia cả tử và mẫu cho cos2x hoặc sin2x. Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) 21 tanI x dx= ∫ b) 32 tanI x dx= ∫ c) ( )33 tan x tanxI dx= +∫ d) 4 4cos dxI x = ∫ Hướng dẫn giải: a) 21 2 1 tan 1 tan . cos I x dx dx x x C x   = = − = − +    ∫ ∫ b) Xét 32 tanI x dx= ∫ Cách 1: 2 3 2 2 2 2 1 tan sin tan tan .tan 1 tan tan . tan cos cos 2 cos dx x x dxI x dx x x dx x dx x xdx x x x   = = = − = − = − =    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2tan ( os ) tan ln cos . 2 cos 2 x d c x x x C x = + = + +∫ Cách 2: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 52 ( )23 23 2 3 3 3 3 2 1 os . (cos )sin sin .sin (cos ) (cos ) 1 tan ln cos . cos cos cos cos cos 2cos c x d xx x xdx d x d xI x dx dx x C x x x x x x − = = = = − = − + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bình luận: Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết cách nào đúng, cách nào sai. Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết quả. Thật vậy, tan ln cos ln cos ln cos . cos cos 2 2 2 x 1 1 1 1 x C 1 x C x C 2 2 x 2 x 2   + + = − + + = + + −    Do ( )1 0 2 C C ′  ′ − = =    nên thực chất hai nguyên hàm có cùng kết quả. c) ( )3 3 23 21tan tan tan tan tan .tan tan 1 .tan tancosI x x dx x dx x dx x x dx x dx x dx x dxx = + = + = + = − + =  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 tan tan . tan tan . cos 2 dx x x x dx x dx C x = − + = +∫ ∫ ∫ Bình luận: Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này. Với các nguyên hàm có chứa tannx thì thông thường ta tách theo sơ đồ: 2 2 2 2 22 2 1 1 tan tan .tan tan . 1 tan . tan ... cos cos n n n n nx x x x x x x x − − − −   = = − = −    với n > 2. Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan2x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính. Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau: ( ) ( ) ( ) 23 23 2 tantan tan tan 1 tan tan . tan . tan .cos 2 dx xI x x dx x x dx x x d x C x = + = + = = = +∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) 324 4 2 21 tan1 tan tan tan .cos cos cos 3 dx dx xI x d x x C x x x = = = + = + +∫ ∫ ∫ Bình luận: Với những nguyên hàm có xuất hiện tanx kèm theo cos2nx ở mẫu số thì ta sử dụng phép phân tích như sau ( ) ( ) 12 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . tan 1 . cos cos cos cos tan cos n n n x x x x x dx d x x − −  = = +   =  Dựa trên phép phân tích như trên ta có thể mở rộng thêm một số bài toán như sau:  ( ) ( )2 5 3221 6 4 2 2 21 1 tan 2 tan. 1 tan tan tan .cos cos cos cos cos 5 3 dx dx dx x xJ x d x x C x x x x x   = = = = + = + + +    ∫ ∫ ∫ ∫  ( ) ( )2010 2013 20112010 2010 22 4 2 2tan 1 tan tantan . . tan . 1 tan tan .cos cos cos 2013 2011 x dx x xJ dx x x x d x C x x x = = = + = + +∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 5 3 5sin .cos dxI x x = ∫ b) 6 3 5sin .cos dxI x x = ∫ c) 7 2 22sin 5sin cos 3cos dxI x x x x = − − ∫ d) ( )8 2cos 3 sin dxI x x = − ∫ Hướng dẫn giải: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 5 3 5 3 3 2 2 3 8 1 1 1 tan tan sin .cos tan cos cossin tancos cos dx dx dx xI d x x x x x xx xx x +  = = = = =   ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 53 ( ) ( ) ( ) 2 4 6 33 3 1 3tan 3tan tan 3tan tantan 3tan tan tantan x x x d x d xx x x xx − + + +   = = =+ + +  ∫ ∫ 2 4 2 4 52 2 1 3tan tan 1 3tan tan3ln tan 3ln tan . 2 4 2 42tan 2tan x x x x x C I x C x x = − + + + + → = − + + + + b) ( ) ( ) ( ) ( )5 23 36 25 5 23 3 3 1 3 3 tan tan tan . 2cossinsin .cos 2 tan cos dx dxI x d x x C C xxx x x x − − − = = ⋅ = = − + = +∫ ∫ ∫ Bình luận: Trong cả hai nguyên hàm I5 và I6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn. Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này. Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều! c) 7 2 22sin 5sin cos 3cos dxI x x x x = − − ∫ Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx. Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự. Chia cả tử và mẫu số cho cos2x ta được: ( )2 7 2 2 2 2 2 2 2 tancos ; ( tan ). 2sin 5sin cos 3cos 2 tan 5tan 3 2 5 3 cos cos cos dx d x dtxI t x x x x x x x t t x x x = = = = − − − − − − ∫ ∫ ∫ 7 (2 1) 2( 3) 1 1 2 1 3 1 tan 3ln ln .( 3)(2 1) 7.( 3)(2 1) 7 3 7 2 1 7 2 1 7 2 tan 1 dt t t dt dt t xI dt C C t t t t t t t x + − − − − → = = = − = + = + − + − + − + + +∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 2 2 2 2 1 3 tantan 1 1cos . 3 3 1 3 tancos 3 sin 1 3 tan 1 3 tan 1 3 tan dx d xd xdx xI C xx x x x x − − = = = = = + − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Bình luận: Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một cách giải đặc biệt khác. Thật vậy, 1 3 picos 3 sin 2 cos sin 2cos . 2 2 3 x x x x x     − = − = +        Từ đó ( )8 2 2 2 pi 1 1 pi3 tan . pi pi4 4 3cos 3sin 4cos cos 3 3 d x dx dxI x C x x x x   +     = = = = + +        − + +        ∫ ∫ ∫ Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, hoặc khai triển công thức lượng giác cho cách giải dưới ta sẽ thu được cùng một kết quả. Nếu các em không tự tin với khẳng định đó thì thầy sẽ chứng minh điều này. Thật vậy, ( ) ( ) 1 1pi 1 3 tan 3tan tan1 pi 1 1 tan 3 3 33tan . . pi4 3 4 4 1 3 tan 4 1 3 tan1 tan .tan 3 xx x x C C C C x xx − − + ++ +  + + = + = + = + =  −  − − ( ) ( ) 4 1 1 13 4 3 4 34 1 3 tan 3 1 3 tan C C x x = − + + = + − − − , rõ ràng ( )1 0. 4 3 C C ′  ′ − = =    Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: a) 49 cotI x dx= ∫ b) 10 5 cos sin x dxI x = ∫ c) 11 1 sin 2 dxI x = +∫ Hướng dẫn giải: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 54 a) 4 2 2 2 2 29 2 2 1 cot cot .cot 1 cot cot cot sin sin dxI x dx x x dx x dx x x dx x x   = = = − = − =    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 32 2 2 21 cot cotcot cot 1 cot .sin 3 sin 3 x dx x x d x dx dx x x C x x − −  = − − − = − + = + + +    ∫ ∫ ∫ ∫ 2) Xét 10 5 cos sin x dxI x = ∫ Cách 1: 10 5 5 4 cos (sin ) 1 . sin sin 4sin x dx d xI C x x x − = = = +∫ ∫ Cách 2: ( ) 4 2210 5 4 2 2cos cos 1 cot cot. cot . . cot . 1 cot . (cot ) .sin sin sin sin sin 4 2 x dx x dx dx x xI x x x d x C x x x x x = = = = − + = − − +∫ ∫ ∫ ∫ Bình luận:  Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên.  Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin2nx thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích ( ) ( ) 12 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . 1 cot . sin sin sin sin cot sin n n n x x x x x dx d x x − −  = = +   = −  để đưa về nguyên hàm cơ bản có chứa cotx và cot2x đã biết. c) ( )11 2 2 2 pi 1 1 pi4 cot pi pi1 sin 2 2 2 4sin cos 2sin sin 4 4 d x dx dx dxI x x x x x x   +     = = = = = − + +      + + +        ∫ ∫ ∫ ∫ Dạng 4. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân ( ) ( ) ( ) ( )  + + = −  − + = + d Asin x B cos x C Acos x B sin x dx d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx Cách giải:  Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( ) 2 2 2 1 sin 2x sin x cos x cos2x cos x sin x  ± = ±  = −  Để tìm nguyên hàm, ta thường tìm vi phân của mẫu số: ( ) ( )d Asin x Bcos x C Acos x Bsin x dx+ + = − Ví dụ . Tính các nguyên hàm sau: a) 1 cos sinx sinx cos xI dx x − = +∫ b) 2 cos 2 1 sin 2 x dxI x = +∫ c) ( )3 3 os2 sin cos c x dxI x x = + ∫ d) ( ) 4 sin 2 2cos 4 cos 2 sin 4 x x dx I x x + = − ∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có ( ) ( ) ( )1 sin cossin cos cos sin ln sin cos . sin cos d x x d x x x x dx I x x C x x + + = − → = = + + +∫ b) ( ) ( )2 2 2 2 sin coscos 2 cos sin cos sin ln sin cos . 1 sin 2 sin cos sin cossin cos d x xx dx x x x xI dx dx x x C x x x x xx x + − − = = = = = + + + + ++ ∫ ∫ ∫ ∫ Bình luận: Do ( ) ( )= = +1 1cos2xdx d sin2x d 1 sin2x 2 2 nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau: ( ) ( )+= = = + + = + + = + + + +∫ ∫ 2 2 d 1 sin2xcos2x dx 1 1 1I ln 1 sin2x C ln sin x cos x C ln sin x cos x C. 1 sin2x 2 1 sin2x 2 2 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 sin cosos2 cos sin cos sin 1 . sin cossin cos sin cos sin cos sin cos d x xc x dx x x x xI dx dx C x xx x x x x x x x + − − − = = = = = + ++ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 55 d) Xét ( )4 sin 2 2cos 4 cos 2 sin 4 x x dx I x x + = − ∫ Vi phân mẫu số ta có ( ) ( ) ( ) ( )cos 2 sin 4cos 2 sin 4 2sin 2 4cos 4 sin 2 2cos 4 2 d x x d x x x x dx x x dx − − = − − → + = − Từ đó ta được ( ) ( )4 sin 2 2cos 4 cos 2 sin 41 1 ln cos 2 sin 4 . cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 4 2 x x dx d x x I x x C x x x x + − = = − = − − + − − ∫ ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) 2 1 2 sin 1 cos xI dx x = +∫ 2) 2 3 3sin cos dxI x x = ∫ 3) 3 2(sin 2cos ) dxI x x = − ∫ 4) 4 2 2sin 6cos dxI x x = − ∫ 5) 5 2 2sin 9cos dxI x x = − ∫ 6) 6 2 2sin 2cos 1 dxI x x = − +∫ 7) ( )37 cot cotI x x dx= +∫ 8) 8 2cos 3sin2sin 3cos 1 x xI dx x x − = − +∫ Dạng 5. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân ( )  →± ± ←  →+ − ← ∓ 2 2 4 4 d( Asin x Bcos x C ) ( A B )sin 2x dx d sin x cos x sin4 x dx Cách giải:  Ta có ( )24 4 2 2 2 2 21 1 1 cos 4 3 1sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 1 . cos4 .2 2 2 4 4 x x x x x x x x x − + = + − = − = − = + Từ đó ( )4 4 3 1sin os os4 sin 4 .4 4d x c x d c x x dx + = + = −    Dạng nguyên hàm này thường được “ngụy trang” vào các hàm số có vẻ phức tạp, nên các bạn hãy cố gắng nhớ được vi phân của nó.  Với các nguyên hàm lượng giác mà mẫu số có vẻ “dài dòng” thì một kinh nghiệm là các em hãy lấy vi phân của mẫu số xem tử số có quan hệ gì với vi phân đó hay không ? Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm này cũng có thể chứa + = −6 6 23sin x cos x 1 sin 2x. 4 Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 2 2 sin 2 cos 4sin xI dx x x = + ∫ b) 2 2 2 sin 2 2sin 4cos 2 5cos x dxI x x x = − +∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có ( ) ( )2 2cos 4sin 2sin .cos 8sin .cos 6sin .cos 3sin 2d x x x x x x dx x x dx x dx+ = − + = = ( )2 21sin 2 cos 4sin .3x dx d x x→ = + Từ đó ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 cos 4sin cos 4sinsin 2 1 2 2 cos 4sin . 3 3 3cos 4sin cos 4sin 2 cos 4sin d x x d x xxI dx x x C x x x x x x + + = = = = + + + + + ∫ ∫ ∫ Bình luận: Ngoài cách giải như trên, chúng ta có thể mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng hơn như sau + −+ = + = − +2 2 1 cos2x 1 cos2x 3 5cos x 4 sin x 4. cos2x 2 2 2 2 Khi đó     − + − +        = = = = − + + − + − + − + ∫ ∫ ∫1 3 5 3 5d cos2x d cos2x sin 2x dx 1 2 2 3 52 2 2 2I cos2x C. 3 3 3 2 23 5 3 5 3 5 cos2x cos2x 2 cos2x 2 2 2 2 2 2 Rõ ràng hai kết quả thu được hoàn toàn giống nhau! b) Ta có ( ) ( )2 2 5 5 72sin 4cos 2 5cos 1 cos 2 4cos 2 1 cos 2 cos 2 2 2 2 x x x x x x x− + = − − + + = − + Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 56 Khi đó ( )2 5cos 2 7sin 2 sin 2 2 22 ln 5cos 2 7 .5 7 5cos 2 7 5 5cos 2 7 5 cos 2 2 2 d xx dx x dxI x C x x x − = = − = = − + − − − + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 4 4 2sin 4 sin cos x dxI x x = + ∫ b) ( )2 20104 4 sin 4 sin cos x dxI x x = + ∫ c) 3 4 4 sin 2 2cos 2 sin cos x xI dx x x + = +∫ d) 4 6 6 sin cos sin cos x xI dx x x = +∫ Hướng dẫn giải: Bình luận: Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm này bằng cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức ở mẫu số, ở đây thầy giới thiệu cách làm thiên về biến đối lượng giác kết hợp với vi phân. a) Ta có 4 4 2 1 1 1 1 cos 4 3 1 2sin 4 4sin 4 sin cos 1 sin 2 1 . cos 4 2 2 2 4 4 3 1 3 cos4 cos4 4 4 x x dx x dx x x x x I x x − + = − = − = + → = = = + + ∫ ∫ 1 (cos 4 ) (3 cos4 )2 2 3 cos4 2 3 cos4 . 3 cos4 2 3 cos4 d x d x x C I x C x x + = − = − = − + + → = − + + + +∫ ∫ b) Tương tự, thay ( )4 4 2 2010 2010cos 43 1 sin 4 1sin cos cos 44 4 43 1 3 1 cos 4 cos 4 4 4 4 4 d xx dx x x x I x x + = + → = = − =     + +        ∫ ∫ ( )2010 2009 20094 4 1 3 cos4 1 14 4 . 3 1 3 1 2009 sin cos cos4 2009 cos4 4 4 4 4 d x C C x x x x   +    = − = + = +     ++ +        ∫ c) 3 4 4 2 2 2 2 sin 2 2cos 2 sin 2 2cos2 2sin 2 4cos 2 2sin 2 4cos 2 1sin cos 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 21 sin 2 2 x x x x x x x xI dx dx dx dx dx x x x x x x + + + = = = = + + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  ( ) ( ) 12 2 22 2sin 2 2sin 2 2sin 2 (cos 2 ) arctan cos 2 . 2 sin 2 1 cos 2 1 cos 22 1 cos 2 x x x d xdx dx dx x C x x xx = = = − = + − + + − − ∫ ∫ ∫ ∫  ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 24cos2 (sin 2 ) 2 1 1 12 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 22 2 t tx d x dtdx dt dt x x t t tt t + − − − −   = = = = − =  − − − − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 2 1 sin 2 2ln ln . 2 2 2 sin 2 2 t xC C t x − − − − = + = + + + Từ đó ta được ( ) ( )3 1 21 sin 2 2 1 sin 2 2arctan os2 ln arctan os2 ln .2 sin 2 2 2 sin 2 2 x xI c x C C c x C x x − − − = + + + = − + + + d) Ta có 4 2 2 26 6 2 1 1 sin cos sin 2 sin 2 2sin 2 (cos2 )2 2 .33 4 3sin 2 4 3 3cos 21 sin 2sin cos 1 sin 2 44 x x x x x d xI dx dx x xxx x x  = − → = = = − − + −+ = −  ∫ ∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 31 1 1 cos2 arctan 3 arctan 3 cos 2 1 3 3 3 33 1 3 1 d tdt dt t x I t C x C t t t − = → = = − = − = − + = − + + + + ∫ ∫ ∫ Dạng 6. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân    → → +← ←        2 2 x dx 1 xd tan 1 tan dx x2 2 22cos 2 Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 57 Cách giải:  Xét nguyên hàm = + +∫1 Asin cos dxI x B x C Để tính nguyên hàm trên ta xét hai trường hợp:  Nếu ( )2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos cos φC A B A x B x C A x B x A B A B x A B= ± + → + + = + ± + = + + ± + Ở đây, ta đã biết phép biến đổi lượng giác ( ) ( ) 2 2 2 2 os α Asin cos os β A B c x x B x A B c x + + + = + + Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 α2cos 21 1cos α 1cos α α2sin 2 dx xA B dx dxI dxxA B x A B A B xA B + +     = = = −+ ±+ + ± + + + +     ∫ ∫ ∫ ∫  Nếu 2 2C A B≠ ± + thì ta đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 21 tan 2 2 2 1cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dtdt dx dx x t x t t x t t x t   = = + → =  +  = → = + − = + Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t. Chú ý: Một số công thức tính nhanh: pi pi sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 pi pi3 sin x cos x 2 sin x 2cos x 6 3 pi pi sin x 3 cos x 2 sin x 2cos x 3 6     + = + = −            + = + = −            − = − = − +        Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin cos 2 dxI x x = + +∫ b) 2 3 sin cos 2 dxI x x = − − ∫ c) 3 3sin cos 1 dxI x x = + +∫ d) 4 sin cos 1 dxI x x = − − ∫ Hướng dẫn giải: a) 1 sin cos 2 dxI x x = + +∫ Ta có 2 2 1 1 pi1 1 2 sin cos 2 sin cos 2 cos . 42 2 x x x x x     + = → + = + = −      1 2 2 pi 1 1 1 1 pi2 8 tan . pi pi pi pi 2 82 2 2 22 cos 2 1 cos 2cos 2cos 4 4 2 8 2 8 xd dx dx dx xI C x x x x   −     = = = = = − +            − + + − − −                ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 1 1 pi tan . 2 82 xI C = − +    Bình luận: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 58 Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng giác 2 2 a dx dx1 cos a 2cos a2 1 cos a 2cos 2 + = → = +∫ ∫ b) Ta có 3 1 pi3 sin cos 2 sin cos 2cos . 2 2 3 x x x x x     − = − = − +        2 2 pi 1 1 1 pi2 6 tan . pi pi pi2 2 2 2 63 sin cos 2 2cos 2 1 cos cos 3 3 2 6 xd dx dx dx xI C xx x x x   +     = = = − = − = − + +       − −   − + − + + +            ∫ ∫ ∫ ∫ c) Đặt 2 2 2 1 1 2 tan 1 tan 2 2 2 2 1cos 2 x dx x dt t dt dx dx x t   = ⇒ = = + → =  +  Ta có 2 2 2 2 1 sin ; cos 1 1 t t x x t t − = = + + Khi đó 2 3 2 2 2 2 2 2dt 2dt 2dt 1 d(6t 2) 1 1 x1 tI ln 6t 2 C ln 6 tan 2 C. 6t 1 t 6t 1 t 1 t 6t 2 3 6t 2 3 3 21 1 t 1 t ++ = = = = = + + = + + − + − + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ d) Đặt 2 2 2 1 1 2 tan 1 tan 2 2 2 2 1cos 2 x dx x dt t dt dx dx x t   = ⇒ = = + → =  +  Ta có 2 2 2 2 1 sin ; cos 1 1 t t x x t t − = = + + Khi đó 2 4 2 2 2 2 2 2 21 ln ln tan . sin cos 1 22 1 2 1 11 1 1 dt dx dt dt xtI t C C x x tt t t t t t t + = = = = = + = + − − − − + − − − − + + ∫ ∫ ∫ ∫  Xét nguyên hàm + += ′ ′ ′+ +∫2 Asin cos A sin cos x B x CI dx x B x C Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ đã xét bằng việc phân tích: ( ) ( )cos sin sin cossin cos sin cos sin cos m A x B x n A x B x C pA x B x C A x B x C A x B x C ′ ′ ′ ′ ′− + + + ++ + = ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + Đồng nhất theo các hệ số của sinx và cosx ta được A mB nA m B mA nB n C nC p p ′ ′= − +    ′ ′= + →    ′= +  Từ đó ta được ( )2 cos sinAsin cosA sin cos sin cos sin cos m A x B x dxx B x C dxI dx n dx p x B x C A x B x C A x B x C ′ ′−+ + = = + + = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ln sin cos sin cos dx m A x B x C nx p A x B x C ′ ′ ′= + + + + ′ ′ ′+ +∫ Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin 3cos 1 sin cos 2 x xI dx x x + − = + +∫ b) ( )2 2 7sin 5cos 3sin 4cos x xI dx x x − = + ∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có phân tích 1 1 sin 3cos 1 (cos sin ) (sin cos 2) 3 2 sin cos 2 sin cos 2 1 2 5 A B A x x A x x B x x C A B B x x x x B C C = − + =  + − − + + + +   = → = + ⇔ =  + + + +   − = + = −  Từ đó 1 (cos sin ) 2(sin cos 2) 5 (cos sin ) 2 5 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 x x x x x x dx dxI dx dx x x x x x x − + + + − − = = + − = + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 59 (sin cos 2) 2 5 ln sin cos 2 2 5 . sin cos 2 d x x x J x x x J x x + + = + − = + + + − + +∫ Xét sin cos 2 dxJ x x = + +∫ . Đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 21 tan 2 2 2 1cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dtdt dx dx x t x t t x t t x t   = = + → =  +  = → = + − = + Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 12 21 2 1sin cos 2 2 1 2 2 2 3 1 22 1 1 dt d tdx dt dttJ t tx x t t t t t t t t ++ = = = = = = −+ + + − + + + + + ++ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 tan 1 tan 12 1 2 2arctan 2 arctan ln sin cos 2 2 5 2 arctan . 2 2 2 2 x x t C C I x x x C     + +   +  = + = + → = + + + − +               b) Ta có phân tích ( ) ( ) ( ) ( )2 2 43 7 4 33cos 4sin 3sin 4cos7sin 5cos 25 5 3 4 13sin 4cos 3sin 4cos 25 AA BA x x B x xx x A Bx x x x B  = −= − +− + + −  = → ⇔  − = ++ +   =  Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 43 13cos 4sin 3sin 4cos7sin 5cos 25 25 3sin 4cos 3sin 4cos x x x x x xI dx dx x x x x − − + + − = = = + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3cos 4sin 3sin 4cos43 1 43 1 25 25 3sin 4cos 25 25 3sin 4cos3sin 4cos 3sin 4cos x x dx d x xdx dxdx x x x xx x x x − + = − + = − + = + ++ + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 43 1 . 25 3si