Bài giảng Toán ứng dụng trong tin học - Chương 5: Đại số boole

Chương 5 Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC (Tài liệu cập nhật – 2010) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304 ĐẠI SỐ BOOLE 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 George Boole (1815-1864) 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 5.1. Hàm Boole 5.2. Cổng logic (Mạng luận lý) 5.3 Biểu đồ Karnaugh và đa thức tối tiểu. Xét mạch điện như hình vẽ Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòng điện đi qua MN. Như vậy ta sẽ có bảng giá trị sau Mở đầu 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 A B C MN 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Câu hỏi: Khi mạch điện gồm n cầu dao, làm sao ta có thể kiểm soát được. Giải pháp là đưa ra công thức, với mỗi biến được xem như là một cầu dao 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 • Trên tập hợp B ta định nghĩa các phép toán sau: + a˄b = ab + a˅b = a + b – ab + ĐẠI SỐ BOOLE Cho B ={0,1} 0 1, 1 0 Phép lấy phần bù 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 1a a  • Trên tập hợp B ta định nghĩa các phép toán cộng, nhân của các phần tử thuộc B như sau: – 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1 – 0 . 0 = 0 . 1 = 1 . 0 = 0; 1 . 1 = 1 PHÉP TOÁN Cho B ={0,1} 0 1, 1 0 Phép lấy phần bù 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Định nghĩa hàm Bool Một hàm Bool n biến là một ánh xạ f : Bn  B , trong đó B = {0, 1}. Một hàm Bool n biến là một hàm số có dạng : f = f(x1 ,x2,,xn), trong đó mỗi biến trong x1, x2,, xn chỉ nhận hai giá trị 0, 1 và f nhận giá trị trong B = {0, 1}. Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool n biến. Ví dụ: biểu thức logic E = E(p1,p2,,pn) theo n biến p1, p2,, pn là một hàm Bool n biến. 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,,xn) Vì mỗi biến xi chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trường hợp của bộ biến (x1,x2,,xn). Do đó, để mô tả f, ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tất cả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọi đây là bảng chân trị của f Bảng chân trị Ví dụ: 2 biến p q f(p,q) 0 0 ? 0 1 ? 1 0 ? 1 1 ? 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Ví dụ Xét kết qủa f trong việc thông qua một Quyết định dựa vào 3 phiếu bầu x, y, z 1. Mỗi phiếu chỉ lấy một trong hai giá trị: 1 (tán thành) hoặc 0 (bác bỏ). 2. Kết qủa f là 1 (thông qua Quyết định) nếu được đa số phiếu tán thành, là 0 (không thông qua Quyết định) nếu đa số phiếu bác bỏ. Khi đó f là hàm Bool theo 3 biến x, y, z có bảng chân trị như sau: 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Hàm Bool 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Các phép toán trên hàm Bool 1 2 1 2 ( , ,..., ) 1 ( , ,..., ) n n f x x x f x x x  1 2 1 2 1 2 ( )( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n n f g x x x f x x x g x x x   1 2 1 2 1 2 ( . )( , ,..., ) ( , ,..., ). ( , ,..., ) n n n f g x x x f x x x g x x x 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Dạng nối rời chinh tắc của Hàm Bool Mỗi hàm bool xi hay được gọi là từ đơn.ix Xét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1 ,x2,,xn. Đơn thức là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn. Từ tối tiểu là tích khác không của đúng n từ đơn. Công thức đa thức là công thức biễu diễn hàm Bool thành tổng của các đơn thức. Dạng nối rời chính tắc là công thức biểu diễn hàm Bool thành tổng của các từ tối tiểu. 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Ví dụ 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Ví dụ Giả sử hàm Bool có 4 biến x,y,z,t. Ta phân tích hàm thành các từ tối tiểu như sau 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Xét hàm Bool f có bảng chân trị định bởi: f = xyz+xyz+xyz+xyz 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 5.1- HÀM BOOLE TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 5.1. Hàm Boole 5.2. Cổng logic (Mạng luận lý) 5.3 Biểu đồ Karnaugh và đa thức tối tiểu. Mạng logic (Mạng các cổng) Ta nói mạng logic trên tổng hợp hay biểu diễn hàm Bool f 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Các cổng • NOT: Nếu đưa mức HIGH vào ngõ vào của cổng, ngõ ra sẽ là mức LOW và ngược lại. Kí hiệu cổng ( )F x x X not X 0 1 1 0 Input Output Bảng chân trị 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Các cổng AND: x y x y x y xy , , & ,x and y x y xy X Y X and Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Bảng chân trị Cổng AND có ít nhất 2 ngõ vào Ngõ ra là 1 khi tất cả các ngõ vào là 1, ngược lại là 0 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Các cổng OR: x y x y x y , , |x or y x y x+y X Y X or Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Bảng chân trị: Cổng OR có ít nhất là 2 ngõ vào Ngõ ra là 1, nếu có một ngõ vào là 1, ngược lại là 0 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Các cổng NAND: X Y Z 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 X nand Y = not (X and Y) = X Y Là cổng bù của AND Có ngõ ra là ngược lại với cổng AND 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Các cổng NOR: X Y Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 X nor Y = not (X or Y) = X Y Là cổng bù của OR Có ngõ ra ngược với cổng OR 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 f = xz + yz + xt + y t + xyz 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Ví dụ 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Viết biểu thức f ( , , ) ( )f x y z x y z xyz   Cho sơ đồ 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Câu 1. Tìm dạng nối rời chính tắc và lập bảng chân trị của các hàm Bool theo 3 biến x, y, z sau Bài tập ) ( , , ) ) ( , , ) ) ( , , ) ) ( , , ) ( )( ) ) ( , , ) ( ) a f x y z xy xz b f x y z xy yz xz c f x y z xyz xz d f x y z x yz x yz e f x y z xy z xy             5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 Câu 2. Vẽ sơ đồ mạch các hàm Bool sau ) ( , , ) ) ( , , ) ) ( , , ) ) ( , , ) ( )( ) ) ( , , ) ( ) a f x y z xy xz b f x y z xy yz xz c f x y z xyz xz d f x y z x yz x yz e f x y z xy z xy             5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 5.2- CỔNG LOGIC TOÁN ỨNG DỤNG Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009 CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE ! TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304 Kết thúc MÔN HỌC Toán ứng dụng trong tin học Khoa KHOA HỌC CƠ BẢN TOÁN ỨNG DỤNG HDXB-2009