Bài giảng Toán tối ưu - Hoàng Quang Tuyến

dễ ký hiệu, ta gọi dãy con hội tụ đó là {xk}. Với k > j, theo (3.6) ta có:⟨ aj+1, xk ⟩− bj+1 ≤ 0 ⇒ ⟨aj+1, xk − xj⟩+ g(xj) ≤ 0 ⇒ g(xj) ≤ ⟨aj+1, xk − xj⟩ ≤ aj+1 . xk − xj ≤ c. xk − xj . Do g(xj) > 0, ∀j và xk − xj → 0 khi k, j → +∞ ⇒ g(xj)→ 0. Tức là g(x∗) = 0⇒ x∗ ∈ D. (*) Mặt khác : f(xk) ≤ f∗,∀k, do f liên tục suy ra f(x∗) ≤ f∗. Kết hợp điều này với (*) ta đi đến kết quả x∗ ∈ argmin(3.5). Hơn nữa f(xk+1) ≥ f(xk),∀k ⇒ f(xk)↗ f∗ 3.4 Bài tập chương 3 Bài tập 3.1. Cho D := {x : g(x) ≤ 0} với g lồi trên Rn. Giả sử g(u0) < 0 và g(xk) > 0. Cho uk là điểm trên đoạn (uO, xk) sao cho g(uk) = 0. Lấy ak+1 là dưới vi phân của g tại uk và xây dựng siêu phẳng: lk(x) := ⟨ ak+1, x− uk⟩ . Chứng tỏ rằng siêu phẳng lk(x) thỏa mãn các tính chất trong thuật toán Kelley: 1. lk(x) ≤ 0,∀x ∈ D, 2. lk(x k) > 0, 3. lk(x k) ≤ g(xk), 4. Dãy {lk} bị chặn đều nếu D bị chặn. 28 Biết rằng: Ảnh của tập compact qua ánh xạ dưới vi phân của một hàm lồi trên Rn cũng là một tập compact. Bài tập 3.2. Cho x0 = (0, 0, 4)T . Tính 2 bước đầu tiên của thuật toán Frank- Wolfe cho bài toán min{0, 5x21 + 2x1x2 + 2, 5x22 + x2x3 + x23 − 2x1 − 4x2 − 6x3}, với ràng buộc  x1 + x2 + x3 ≤ 5 2x1 + x3 ≤ 6 x1, x2, x3 ≥ 0 Chương 4 PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG, ĐIỂM NGOÀI 4.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong Xét bài toán min f(x), (4.1) s.t D := {x|gj(x) ≤ 0, j = 1,m, gj liên tục trên Rn} Giả sử D compact. Định nghĩa 4.1. Hàm p : Rn → R được gọi là hàm phạt điểm trong trên miền D nếu thỏa mãn: a) p liên tục trên tập hợp D0 := {x ∈ Rn|gj(x) < 0,∀j = 1,m}. b) ∀{xk} ⊂ D0, xk k→+∞−−−−→ x /∈ D0 ta có lim k→+∞ p(xk) = +∞. Hai hàm phạt điểm trong nổi tiếng (Fiacco, McCormick): p(x) = − m∑ j=1 log(−gj(x) hoặc p(x) = − m∑ j=1 1 gj(x) . Xây dựng bài toán phụ (Bt) 1. Xây dựng hàm tham số một biến s(t) : R+ \ {0} → R+ \ {0} sao cho : 29 30 i) s(t) liên tục ∀t > 0 và s(t)→ 0 khi t→ +∞. ii) s(t) đơn điệu giảm (s(t) > s(t′), ∀t′ > t > 0). Ví dụ: s(t) = 1/t, s(t) = 1/t2. 2. Xây dựng bài toán phụ Đặt hàm F (x, t) := f(x) + s(t)p(x), (4.2) với miền t > 0 xây dựng bài toán phụ không ràng buộc (Bt) min x {F (x, t) | x ∈ Rn}. Mệnh đề 4.1. Giả sử các điều kiện a, b, i, ii thỏa mãn và bài toán (Bt) có nghiệm ∀t > 0. Khi đó, nếu 0 < t1 < t2 và xi là nghiệm của Bti(i = 1, 2). Ta có : 1. p(x1) ≤ p(x2), 2. f(x1) ≥ f(x2). Chứng minh. Để đơn giản ký hiệu, đặt s(ti) = si, p(x i) = pi, f(x i) = fi, i = 1, 2. Khi đó : f1 + s1p1 ≤ f2 + s1p2 vì x1 là argmin(Bt1), (4.3) f2 + s2p2 ≤ f1 + s2p1 vì x2 là argmin(Bt2). (4.4) Cộng 2 vế và ước lược: s1p1 + s2p2 ≤ s1p2 + s2p1 ⇒ (s1 − s2)(p1 − p2) ≤ 0. Do t1 s2 (đđ giảm) ⇒ p(x1) ≤ p(x2) ⇒ (theo (4.4)) f(x1) ≥ f(x2). Định lý 4.1. Nếu dãy {tk} đơn điệu tăng đến +∞ và xk là nghiệm của (Btk) thì dãy {f(xk)} hội tụ giảm đến trị tối ưu f∗ của bài toán (4.1). Ngoài ra mọi điểm tụ của dãy xk đều là nghiệm của bài toán (4.1). Chứng minh. Theo mệnh đề (4.1) thì dãy {f(xk)} đơn điệu giảm, do đó dãy {f(xk)} hội tụ. (vì sao ?) 31 1) Xét trường hợp nghiệm của (4.1) x∗ ∈ D0: Do xk là nghiệm của (Btk) (để ý x k ∈ D0, nếu xk /∈ D0 thì F = +∞) nên: f(xk) + s(tk)p(x k) ≤ f(x∗) + s(tk)p(x∗). (4.5) Do D compact nên {xk} hội tụ đến u∗ nào đó. 1.a) Nếu u∗ ∈ D0 qua giới hạn (s(tk)→ 0, p(x∗), p(u∗) hữu hạn) suy ra: f(u∗) ≤ f(x∗)⇒ u∗ ∈ argmin(4.1). 1.b) Nếu u∗ /∈ D0 thì p(xk) k→+∞−−−−→ +∞ nên ∃K1 sao cho s(tk)p(xk) ≥ 0,∀k ≥ K1. Khi đó, từ 4.5 ta có: f(xk) ≤ f(x∗) + s(tk)p(x∗), ∀k ≥ K1. Qua giới hạn ta được lim k→+∞ f(xk) ≤ f(x∗). Mặt khác do xk ∈ D ⇒ f(xk) ≥ f(x∗),∀k ≥ K1 nên ta có lim k→+∞ f(xk) ≥ f(x∗). Từ đó suy ra lim k→+∞ f(xk) = f(x∗). 2) Trường hợp nghiệm tối ưu của bài toán (4.1)x∗ /∈ D0 Đặt β = limk→+∞ f(xk). Ta suy ra f∗ ≤ β (do f(xk) ≥ f(x∗), ∀k) Nếu thật sự f ∗ < β thì do f liên tục trên D, nên suy ra ∃u ∈ D0 : f ∗ < f(u) < β. Từ bất đẳng thức: f(xk) + s(tk)p(x k) ≤ f(u)s(tk)p(u), tương tự 1.b) ta suy ra: f(xk) ≤ f(u), ∀k ≥ K1. Điều này mâu thuẫn với f(xk) ≥ β > f(u),∀k. Vậy β = f(x∗). 32 4.2 Phương pháp hàm phạt điểm ngoài Định nghĩa 4.2. Hàm số p : Rn → R được gọi là hàm phạt điểm ngoài miền D của bài toán (4.1) nếu thỏa mãn: a) p liên tục trên Rn. b) p(x) = 0,∀x ∈ D, p(x) > 0,∀x /∈ D. Ví dụ 4.2.1. Với gj của bài toán (4.1), ta có 2 hàm phạt điểm ngoài p(x) = m∑ j=1 max(0, gj(x)), (4.6) p(x) = m∑ j=1 [max(0, gj(x))] 2. (4.7) * Xây dựng bài toán phụ (Pt) 1) Xây dựng hàm r : R+ \ {0} → R+ \ {0}. i) r(t) liên tục tại ∀t > 0, r(t)→ 0 khi t→ +∞. ii) r(t) đơn điệu tăng: t > t′ > 0→ r(t) > r(t′) > 0. 2) Với mỗi t cố định xây dựng bài toán phụ (Pt): (Pt) min{F (x, t) := f(x) + r(t)p(x) | x ∈ Rn}. Ta có mệnh đề và cách chứng minh tương tự mệnh đề (4.1). Mệnh đề 4.2. Giả sử (Pt) có nghiệm ∀t > 0. Khi đó nếu x là nghiệm của (Pti), (i = 1, 2) và 0 < t1 < t2 thì 1) p(x1) ≥ p(x2). 2) f(x1) ≤ f(x2). Định lý 4.2. Nếu dãy {tk} đơn điệu tăng đến +∞ và xk là nghiệm của (Ptk), thì dãy số {f(xk)} hội tụ tăng đến giá trị tối ưu f∗ của (4.1). Ngoài ra mọi điểm tụ của dãy {xk} đều là nghiệm của (4.1). Chứng minh. Gọi x∗ ∈ argmin(4.1), xk ∈ argmin(Ptk) suy ra p(x∗) = 0 và f(xk) + r(tk)p(x k) ≤ f(x∗) + r(tk)p(x∗) = f∗. (4.8) 33 Ta sẽ chứng minh mọi điểm tụ u∗ của dãy {xk} phải thuộc D. Thật vậy, giả sử u∗ /∈ D ⇒ p(u∗) > 0. Cho r(tk)→ +∞ khi đó, ∃k đủ lớn để: f(u∗) + r(tk)p(u∗) > f∗ ⇒ mâu thuẫn với (4.8). Do đó, u∗ ∈ D. Bây giờ ta chứng minh u∗ ∈ argmin(4.1): Từ (4.8) ta suy ra f(xk) ≤ f∗,∀k. Vì f liên tục, qua giới hạn ta được: f(u∗) ≤ f∗. Vì u∗ ∈ D ⇒ f(u∗) = f∗ ⇒ u∗ ∈ argmin(4.1) Cuối cùng, ta chứng minh f(xk)↗ f∗ Ta có: f(xk) ≤ f∗, ∀k và theo mệnh đề (4.2)⇒ f(xk)↗ f∗ khi tk → +∞ Chú ý 4.2.1. 1. Nếu tập {x | f(x) + r(t0)p(x) ≤ c} compact với mọi hằng số C thì bài toán không ràng buộc (Pt) có nghiệm. 2. Nếu gj, j = 1,m lồi thì (4.6), (4.7) lồi. 4.3 Bài tập chương 4 Bài tập 4.1. Cho bài toán (P ) min{f(x) | x ∈ S, g(x) ≤ 0}, trong đó, f, g hàm lõm trên S, S là đa diện lồi bị chặn và g(x) ≥ 0,∀x /∈ S. Chứng minh rằng ∃t∗ ∈ (0,+∞) sao cho mọi nghiệm của bài toán (Pt) min{f(x) + tg(x) | x ∈ S}, đều là nghiệm của (P ),∀t ≥ t∗. (Gợi ý: Cực tiểu của hàm lõm đạt trên đỉnh của S.) Chương 5 TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 Điểm hữu hiệu và bài toán tối ưu đa mục tiêu 5.1.1 Điểm hữu hiệu Định nghĩa 5.1. Cho nón lồi Rp := {x ∈ Rp | x ≤ 0}, x, y ∈ Rp, ta nói : x nhỏ hơn hoặc bằng y (x ≤ y) khi và chỉ khi x− y ∈ Rp−. (Tức là : xi ≤ yi ∀i = 1, p) Định nghĩa 5.2. Cho Y ⊆ Rp, ta nói : y∗ ∈ Y là điểm hữu hiệu hay điểm Pareto của Y nếu : ̸ ∃ y ∈ Y để y ≤ y∗ và y ̸= y∗ Nhận xét 10. Về mặt hình học nếu y∗ là điểm Pareto của Y thì nón có đỉnh tại y∗ và có phương của các cạnh trùng với phương của các cạnh của nón Rp− không chứa một điểm y ∈ Y, y ̸= y∗ nào. 5.1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu Cho Rn ⊃ D ̸= ∅, f : Rn → Rn, Y := f(D) là ảnh của D qua f . Bài toán tối ưu đa mục tiêu được viết như sau: Min{f(x) | x ∈ D}. (5.1) Bài toán này được hiểu là : hãy tìm một tập (có thể là một điểm) các điểm x∗ ∈ D sao cho y∗ := f(x∗) là điểm Pareto của Y . Khi đó x∗ được gọi là nghiệm tối ưu của bài toán (5.1) hay điểm hữu hiệu của f trên D. 34 35 Chú ý 5.1.1. 1. Khi p = 1 thì x∗ là điểm làm cực tiểu tuyệt đối f trên D. 2. Nếu D là khúc lồi, f affine trên D (mỗi fi là affine) thì (5.1) được gọi là bài toán tuyến tính đa mục tiêu. 5.2 Sự tồn tại và tính chất của nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu đa mục tiêu Mệnh đề 5.1. Cho λ ∈ Rp là vector dương λ > 0. Khi đó mọi nghiệm tối ưu của bài toán một mục tiêu min{λTf(x) | x ∈ D} (5.2) đều là điểm hữu hiệu của f trên D. Chứng minh. Gọi x∗ ∈ argmin(5.2). Giả sử x∗ /∈ argmin(5.1) (tức x∗ không phải là điểm hữu hiệu của f trên D). Suy ra : ∃x′ ∈ D : f(x′) ≤ f(x∗) và f(x′) ̸= f(x). Kết hợp với λ > 0 (tức là λi > 0,∀i = 1, p), ta có: λTf(x′) < λTf(x∗). Điều này mâu thuẫn với x∗ ∈ argmin(5.2). Vậy, x∗ ∈ argmin(5.1) Hệ quả 5.1.1. Nếu D compact và f(x) nửa liên tục dưới thì bài toán tối ưu đa mục tiêu (5.1) có nghiệm tối ưu. Định lý 5.1. Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi. Khi đó mọi u ∈ argmin (5.1) đều tồn tại λ = (λ1, λ2, . . . , λp) ≥ 0 sao cho u ∈ argmin của bài toán min{λTf(x) | x ∈ D}. Chứng minh. Đặt C := cov (K := {y ∈ Rp | y = f(x)− f(u), x ∈ D}) . 1) Ta chứng minh C ∩Rp = {0}: Trước hết, C ̸= ∅ vì {0} ∈ K (lấy x ≡ u). Lấy bất kỳ y ∈ C, vì C là bao lồi của K nên suy ra : ∃y1, y2 ∈ K : y = ty1 + (1− t)y2, 0 ≤ t ≤ 1. 36 Và ∃x1, x2 ∈ D: yi = f(xi)− f(u), i = 1, 2. (5.3) Lấy x = tx1 + (1− t)x2 ⇒ x ∈ D (D lồi). Do f lồi và kết hợp với (5.3) có: f(x)− f(u) ≤ tf(x1) + (1− t)f(x2)− f(u) = t(f(x1)− f(u)) + (1− t)(f(x2)− f(u)) = ty1 + (1− t)y2 = y Tức là f(x)− f(u) ≤ y Giả sử y ∈ C ∩Rp− và y < 0, ta suy ra f(x)− f(u) ≤ 0 và f(x) ̸= f(u) Do đó u không phải là điểm hữu hiệu của f trên D. Điều này mâu thuẫn với giả thiết u là điểm hữu hiệu của f trên D. Vậy: C ∩Rp− = {0}. 2) Bây giờ ta sẽ chứng minh u ∈ argmin{λTf(x) | x ∈ D}: Do C lồi, Rp− lồi và C ∩ Rp− = {0} nên theo định lý tách ∃λ ̸= 0 (λ = λ1, λ2, . . . , λp): λTy ≤ 0 ∀y ∈ Rp− (5.4) λTy ≥ 0 ∀y ∈ K (5.5) Bằng cách chia cho ∑p i=1 λi ta coi ∑p i=1 λi = 1. Từ (5.4) ⇒ λT ≥ 0. Từ (5.5) và định nghĩa của K suy ra λTy = λT (f(x)−f(u)) ≥ 0,∀x ∈ D. Do đó, u là nghiệm tối ưu của bài toán (5.2): min{λTf(x) | x ∈ D}. Bây giờ, ta xét bài toán sau: Bài Toán 5.2.1. Cho quy hoạch lồi Minf(x) (5.6) x ∈ D = {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0} trong đó f : Rn → Rp, g : Rn → Rm lồi. 37 Định lý 5.2. Giả sử quy hoạch lồi (5.6) thỏa mãn điều kiện Slater. Khi đó x0 là điểm hữu hiệu của (5.6) khi và chỉ khi tồn tại (x0, v0) sao cho (x0, v0) là điểm yên ngựa của hàm F (u0, x, v) := ⟨ u0, f(x) ⟩ + ⟨v, g(x)⟩ trên Rn × Rm+ Chứng minh. ⇒) Giả sử x0 là điểm hữu hiệu của quy hoạch lồi (5.6). Theo định lý (5.1), ∃u0 ≥ 0 : x0 ∈ argmin{minx ⟨u0, f(x)⟩ | g(x) ≤ 0} Áp dụng định lý điểm yên ngựa cho hàm Lagrange của bài toán này, ta suy ra tồn tại v0 ≥ 0 sao cho (x0, v0) là điểm yên ngựa của hàm F (u0, x, v) = ⟨ u0, f(x) ⟩ + ⟨v, g(x)⟩ trên Rn × Rm+ Tức là: F (u0, x0, v) ≤ F (u0, x0, v0) ≤ F (u0, x, v0) ∀(x, v) ∈ Rn × Rm+ (5.7) ⇐) (x0, u0) là điểm yên ngựa của F (u0, x, v) trên Rn × Rm+ . Từ điều kiện Slater, lặp lại chứng minh của định lý điểm yên ngựa (ở chương 2), ta có u0 > 0. Áp dụng (5.7) với v = 0 ta có⟨ u0, f(x0) ⟩ ≤ ⟨u0, f(x)⟩+ ⟨v, g(x)⟩ = ⟨x0, f(x)⟩ ∀x ∈ D ⇒ x0 ∈ argmin{⟨u0, f(x)⟩ | x ∈ D} Theo mệnh đề (5.1), x0 là điểm hữu hiệu của f trên D. 5.3 Bài tập chương 5 Bài tập 5.1. Điểm x∗ ∈ D gọi là hữu hiệu yếu của hàm vector f(x) trên D nếu ̸ ∃x ∈ D : f(x) < f(x∗). Chứng minh rằng nếu λ > 0 thì mọi nghiệm của bài toán minλTf(x)|x ∈ D đều là điểm hữu hiệu yếu của f trên D. 38 Bài tập 5.2. Cho bài toán tối ưu đa mục tiêu Minx∈Df(x), f : Rn → Rp. Chứng minh x0 là điểm hữu hiệu (điểm Pareto) khi và chỉ khi x0 là nghiệm tối ưu của bài toán một mục tiêu minh(x) := eTf(x)|x ∈ D, f(x) ≤ f(x0), trong đó : e = (1, 1, . . . , 1) ∈ Rp. Bài tập 5.3. Tìm một điểm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu Min{f(x) = (f1(x), f2(x)) |x ∈ D}, trong đó: f1(x) = x1 + x2; f2(x) = x1 − 2x2;D := {x |x1 ≥ x2, 0 ≤ x1 ≤ 2, x2 ≥ 0} Mục lục 1 CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH LỒI 1 1.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tính chất cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU 9 2.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Đối ngẫu Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 PHƯƠNG PHÁP CÓ THỂ VÀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA 22 3.1 Hướng chấp nhận tụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Phương pháp FRANK-WOLFE (phương pháp hướng có thể) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Phương pháp cắt KELLEY (phương pháp tuyến tính hóa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 PHƯƠNG PHÁPHÀMPHẠTĐIỂM TRONG, ĐIỂMNGOÀI 29 4.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Phương pháp hàm phạt điểm ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 39 40 5 TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 34 5.1 Điểm hữu hiệu và bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . 34 5.1.1 Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Sự tồn tại và tính chất của nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37