Bài giảng Toán cao cấp A3 đại học - Đoàn Vương Nguyên

VD 3. Tính S I xyzdS= ∫∫ , trong đó S là 6 mặt của hình hộp chữ nhật 0 1x≤ ≤ , 0 2y≤ ≤ , 0 3z≤ ≤ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 1) Diện tích mặt S là S dS∫∫ . 2) N ếu mặt S có hàm mật độ khối lượng là ( , , )x y zρ thì khối lượng của mặt S là: ( , , ) . S m x y z dS= ρ∫∫ Khi đó, tọa độ trọng tâm G của mặt S là: 1 1 ( , , ) , y ( , , ) , 1 ( , , ) . G G S S G S x x x y z dS y x y z dS m m z z x y z dS m = ρ = ρ = ρ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt §4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II 4.1. Định nghĩa 4.1.1. Mặt định hướng • Mặt trơn S được gọi là mặt định hướng nếu pháp vector đơn vị n  xác định tại mọi điểm M thuộc S (có thể trừ biên S) biến đổi liên tục khi M chạy trên S. Mặt định hướng có hai phía, phía mà nếu đứng trên đó thì n  hướng từ chân lên đầu là phía dương, ngược lại là phía âm.
Chương 3. Tích phân đường – mặt • Hướng của biên S là hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ ngọn của n  . • Khi mặt S không kín, ta gọi phía trên là phía mà n  lập với tia Oz góc nhọn, ngược là là phía dưới. • Khi mặt S kín ta gọi phía trong và phía ngoài. • Mặt trơn từng khúc S là định hướng được nếu hai phần trơn bất kỳ của S nối với nhau bởi đường biên C có định hướng ngược nhau.
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2 • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt định hướng, trơn từng khúc S. Chia S một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,,n). Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm ( , , )i i i iM ξ η ζ tùy ý. Gọi Di là hình chiếu của ∆Si lên Oxy kèm theo dấu dương nếu ∆Si có định hướng trên, ngược lại là dấu âm.
Chương 3. Tích phân đường – mặt Lập tổng tích phân ( ) 1 ( , , ). n n i i i i i I f S D = = ξ η ζ∑ . N ếu ( ) max ( ) 0 1 lim ( , , ). i n i i i i d S i I f S D ∆ → = = ξ η ζ∑ tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm Mi thì số I được gọi là tích phân mặt loại 2 của hàm f(x, y, z) trên mặt định hướng S. Ký hiệu ( , , ) . S f x y z dxdy∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt • Tương tự, khi chiếu S lên Ozx và Oyz ta có: ( , , ) S f x y z dzdx∫∫ và ( , , ) S f x y z dydz∫∫ . • Kết hợp cả 3 dạng trên ta được tích phân mặt loại 2 của các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) trên S: ( , , ) ( , , ) ( , , ) . S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy+ +∫∫ hận xét • N ếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu. • N ếu S kín thì tích phân còn được ký hiệu là: . S Pdydz Qdzdx Rdxdy+ +∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 • Cho mặt định hướng trơn từng khúc S có pháp vector n  . Gọi , , α β γ lần lượt là góc hợp bởi n  với các tia Ox, Oy, Oz. Khi đó: ( cos cos cos ) . S S Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS + + = α + β+ γ ∫∫ ∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt • N ếu S có pháp vector đơn vị ( , , )n a b c=  thì: = ( . . . ) . S S Pdydz Qdzdx Rdxdy P a Qb Rc dS + + + + ∫∫ ∫∫ VD 1. Tính S I dydz dzdx dxdy= + +∫∫ , với S là tam giác giao của mặt phẳng 1x y z+ + = với 3 mặt phẳng tọa độ (lấy phía trên).
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.3. Phương pháp tính a) N ếu S có hình chiếu đơn trị lên Oxy là miền Dxy và có phương trình z = z(x, y) thì: ( , , ) ( , , ( , )) . xy S D R x y z dxdy R x y z x y dxdy= ±∫∫ ∫∫ (dấu + hay – tùy thuộc vào mặt ở phía trên hay dưới). b) N ếu S có hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền Dxz và có phương trình y = y(x, z) thì: ( , , ) ( , ( , ), ) . xz S D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx= ±∫∫ ∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt c) N ếu S có hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền Dyz và có phương trình x = x(y, z) thì: ( , , ) ( ( , ), , ) . yz S D P x y z dydz P x y z y z dydz= ±∫∫ ∫∫ VD 2. Tính S I zdxdy= ∫∫ , với S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.4. Công thức Stokes • Cho S là mặt định hướng trơn từng khúc có biên S∂ trơn từng khúc và không tự cắt. Giả sử P, Q, R là các hàm có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S. Khi đó: ( ) ( ) ( ) / / / / / / . S y z z x S x y Pdx Qdy Rdz R Q dydz P R dzdx Q P dxdy ∂ + +  − + −  =    + −   ∫ ∫∫  (Hướng của S∂ là hướng dương phù hợp với hướng của S).
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 3. Tính C ydx zdy xdz+ +∫ , với C là đường tròn giao của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = và mặt phẳng 0x y z+ + = và hướng tích phân trên C là hướng dương khi nhìn từ ngọn tia Oz.
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.5. Công thức Gauss – Ostrogradski • Cho V là một khối giới nội với biên S trơn từng khúc. Giả sử P, Q, R là các hàm có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V. Khi đó: ( )/ / / . S x y z V Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdydz + + = + + ∫∫ ∫∫∫  (Tích phân S ∫∫ lấy theo phía ngoài của S).
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 4. Tính 3 3 3 S I x dydz y dzdx z dxdy= + +∫∫ , với S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 5. Tính S I dxdy= ∫∫ , với S là mặt dưới của mặt 2 2 1, 2 9 y x z+ ≤ = . A. 3I =− π; B. 3I = π; C. 9I = − π; D. 9I = π.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 6. Tính S I zdxdy= ∫∫ , với S là mặt trên của mặt 2z = được giới hạn bởi 1, 0, 0 1x y x y+ ≤ ≥ ≤ ≤ với pháp vector theo chiều dương. A. 1I = ; B. 2I = ; C. 3I = ; D. 4I = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 7. Tính 3 2 S I xdxdy xdydz ydzdx= + −∫∫ , với S là mặt biên ngoài của elipsoid 2 2 2: 1 4 9 y z xΩ + + ≤ . A. 144I = π; B. 32I = π; C. 8I = π; D. 36I = π.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 8. Tính 2 S I xdydz zdzdx dxdy= + +∫∫ với S là mặt ngoài của mặt cầu: 2 2 2 2 0, 1x y z z z+ + − = ≤ . A. 2 3 I π = − ; B. 2 3 I π = − ; C. 3 I π = ; D. 3 I π = − .
Giải nhanh tích phân từng phần Vậy 3 2( 5 10 7)xI e x x x C= − + − + . 3 22 3x x− + xe 23 4x x− xe 6 4x − xe 6 xe 0 xe VD 1. 3 2( 2 3)xI e x x dx= − +∫
Giải nhanh tích phân từng phần VD 2. lnI x xdx= ∫ ln x x 1 x 2 2 x Vậy 2 2 21 ln ln 2 2 2 4 x x x I x xdx x C= − = − +∫ .
Giải nhanh tích phân từng phần VD 3. 2 sin 3xI e x dx= ∫ sin 3x 2xe 3 cos 3x 2 1 2 xe 9 sin 3x− 2 1 4 xe Vậy 2 1 3 9 sin 3 cos 3 2 4 4 xI e x x I  = − −    2 13 1 3 sin 3 cos 3 4 2 4 xI e x x C  ⇒ = − +    .
Chương 4. Phương trình vi phân §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ §2. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
Chương 4. Phương trình vi phân §3. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP CAO 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ 3.1.2. Phương trình khuyết y 3.1.3. Phương trình khuyết x 3.2. Pt vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất 3.2.2. Phương trình không thuần nhất 3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính với hệ số hằng
Chương 4. Phương trình vi phân §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ 1. Bài toán 1 • Tìm phương trình đường cong ( ) : ( )C y f x= đi qua điểm M(2; 3) sao cho mọi đoạn của tiếp tuyến với ( )C nằm giữa hai trục tọa độ đều bị tiếp điểm chia thành hai phần bằng nhau ?
Chương 4. Phương trình vi phân Giải Giả sử ( , ) ( )I x y C∈ , hệ số góc tiếp tuyến tại I là: ( ) ( ) PI PI y y x tg y x PA OP x ′ ′= α = − = − ⇒ =− (*). N hận thấy hàm , C y C x = ∈ ℝ thỏa (*). Thay tọa độ M vào C y x = ta được 6 y x = .
Chương 4. Phương trình vi phân 2. Bài toán 2 • Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phóng 1 vật theo phương thẳng đứng sao cho vật không rơi trở lại trái đất ? Biết lực cản của không khí không đáng kể. Giải Gọi khối lượng của trái đất và vật phóng là M, m. Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật phóng là r. Theo định luật hấp dẫn N ewton, lực hút tác dụng lên vật là 2 . Mm f k r = , k là hằng số hấp dẫn.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương trình chuyển động của vật là: 2 2 2 2 2 2 . . . d r Mm d r M m k k dt r dt r =− ⇔ =− (1). Mặt khác, 2 2 . d r dv dv dr dv v dt dr dt drdt = = = nên: 2 2 (1) . dv M kM v k vdv dr dr r r ⇔ =− ⇔ =− 2 12 2 kM v kM vdv dr C rr ⇒ =− ⇒ = +∫ ∫ (2).
Chương 4. Phương trình vi phân Tại t = 0 thì r R= (BK trái đất), 0 v v= nên: 2 22 0 0 1 (2) 2 2 2 v vkM v kM kM C R r R   ⇒ = − ⇒ = + −     (3). Khi r →+∞ thì 2 2 0 0 2 2 v kM v R − = ≥ 0 2kM v R ⇒ ≥ . Vậy 0 11,2 /v km s≈ .
Chương 4. Phương trình vi phân 3. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân • Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. • Cấp cao nhất của đạo hàm chứa trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó. • Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là: ( )( , , , ..., ) 0nF x y y y′ = (*) nếu từ (*) ta giải được theo y(n) thì ptvp có dạng: ( ) ( 1)( , , , ..., )n ny f x y y y −′= .
Chương 4. Phương trình vi phân • N ghiệm của (*) trên khoảng K là hàm số y = φ(x) xác định trên K sao cho khi thay y = φ(x) vào (*) ta được đồng nhất thức trên K. • Phương trình vi phân nếu có nghiệm thì có vô số nghiệm sai khác hằng số C. • Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó. • Đồ thị của nghiệm y = φ(x) được gọi là đường cong tích phân.
Chương 4. Phương trình vi phân §2. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát ( , , ) 0F x y y ′ = (*), nếu từ (*) ta giải được theo y ′ thì (*) trở thành ( , )y f x y′ = . • Giải ptvp cấp 1 với điều kiện đầu y(x0) = y0 là đi tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu, hay tìm 1 đường cong tích phân của ptvp đi qua điểm M0(x0; y0). • N ghiệm chứa hằng số C là nghiệm tổng quát, nghiệm chứa hằng số C0 cụ thể là nghiệm riêng và nghiệm không nhận được từ nghiệm tổng quát là nghiệm kỳ dị.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 1. Giải ptvp 0y x′ − = , biết đường cong tích phân đi qua điểm M(2; 1).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp 21y y′ = − .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong y = Cx2.
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly • Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: ( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy+ = Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) ta được nghiệm tổng quát: ( ) ( ) .f x dx g y dy C+ =∫ ∫
Chương 4. Phương trình vi phân VD 4. Giải ptvp 2 2 0 1 1 xdx ydy x y + = + + .
Chương 4. Phương trình vi phân Chú ý 1) Ptvp 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy+ = (1’) được đưa về dạng (1) như sau: • N ếu g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghiệm của (1). • N ếu f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghiệm của (1). • N ếu 1 2 ( ) 0, ( ) 0g y f x≠ ≠ thì: 1 2 2 1 ( ) ( ) (1 ') 0 ( ) ( ) f x g y dx dy f x g y ⇒ + = (dạng (1)). 2) Từ đây về sau ta không xét nghiệm kỳ dị.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 5. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y′ = + .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 6. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy+ + − − = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 7. Giải ptvp 2xy y y′ + = thỏa điều kiện 1 (1) 2 y = .
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 • Hàm hai biến f(x, y) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Chẳng hạn các hàm ( , ) 2 3 x y f x y x y − = + , 2 ( , ) 2 3 x xy f x y x y − = + , f(x, y) = x2 + xy là đẳng cấp bậc 0, 1, 2 tương ứng.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải • Đặt y u y u xu x ′ ′= ⇒ = + . • (2) ( ) ( ) du dx u xu u u u x ′⇒ + = ϕ ⇒ = ϕ − ( )( ) 0u u xϕ − ≠ ≠ (ptvp có biến phân ly). • Cho hàm f(x, y) đẳng cấp bậc 0 hay ( , ) y f x y x  = ϕ     . Khi đó, phương trình vi phân đẳng cấp có dạng: ( , ) (2).y f x y′ =
Chương 4. Phương trình vi phân VD 8. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y y xy − +′ = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 9. Giải phương trình vi phân x y y x y +′ = − với điều kiện đầu y(1) = 0.
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho phương trình vi phân có dạng: ( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy+ = với điều kiện / / x y Q P= trong miền phẳng D. N ếu tồn tại hàm u(x, y) sao cho: du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) được gọi là phương trình vi phân toàn phần. • N ghiệm tổng quát của (3) là u(x, y) = C.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có / x u P= (3a) và / y u Q= (3b). Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo x: ( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y= = ϕ +∫ (3c), với C(y) là hàm theo biến y. Bước 3. Đạo hàm (3c) theo y: / / ( ) y y u C y′= ϕ + (3d). Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C(y), thay vào (3c) ta được u(x, y).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 10. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy+ + + + + = (*). a) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. b) Giải phương trình (*).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 11. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy+ − + + = .
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) Bước 1. Tìm biểu thức ( ) ( ) p x dx A x e −∫= . Bước 2. Tìm biểu thức ( ) ( ) ( ). p x dx B x q x e dx∫= ∫ . Bước 3. N ghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C = +   . 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: ( ) ( ) (4).y p x y q x′ + = • Khi q(x) = 0 thì (4) được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Chương 4. Phương trình vi phân Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: ( ) ( ) . p x dx y C x e −∫= • Tìm nhanh ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ) p x dx q x B x q x e dx dx A x ∫= =∫ ∫
Chương 4. Phương trình vi phân VD 12. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2 4 ln y y x x x ′ + = dưới dạng: A. 2 ( )C x y x = ; B. 3 ( )C x y x = ; C. ( )C x y x = ; D. ( )C x y x =− .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 13. Giải phương trình vi phân 2 0y x y′ − = thỏa điều kiện x = 3, y = – e9.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 14. Giải phương trình sincos xy y x e−′ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 15. Giải phương trình 2( )y x y y′ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: ( ) ( ) (5).y p x y q x yα′ + = • Khi 0α = hoặc 1α = thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là pt có biến phân ly.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)  Với 0y ≠ , chia hai vế cho yα: (5) ( ) ( ) y y p x q x y yα α ′ ⇒ + = 1( ) ( )y y p x y q x−α −α′⇒ + = .  Đặt 1 (1 )z y z y y−α −α′ ′= ⇒ = −α thì: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x′⇒ + −α = −α (phương trình tuyến tính cấp 1). Chú ý • Ptvp Bernoulli luôn có nghiệm kỳ dị là y = 0.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 16. Giải phương trình vi phân 2 y y xy x ′ + = với điều kiện x = 1, y = 1.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 17. Giải ptvp 3 42y xy x y′ − = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 18. Giải ptvp 3 sin 2 dy dy x y y x dx dx + = .
Chương 4. Phương trình vi phân • Dạng phương trình: ( ) (1).y f x′′ = Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần. §3. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP CAO 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’
Chương 4. Phương trình vi phân VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x′′ = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 2. Giải ptvp 2xy e′′ = với 7 3 (0) , (0) 4 2 y y ′= − = .
Chương 4. Phương trình vi phân 3.1.2. Phương trình khuyết y • Dạng phương trình: ( , ) (2).y f x y′′ ′= Phương pháp giải • Đặt z y ′= đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 3. Giải phương trình vi phân y y x x ′ ′′ = − .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 4. Giải ptvp ( 1) 0 1 y y x x x ′ ′′ − − − = − với (2) 1, (2) 1y y ′= = − .
Chương 4. Phương trình vi phân 3.1.3. Phương trình khuyết x • Dạng phương trình: ( , ) (3).y f y y′′ ′= Phương pháp giải • Đặt z y ′= ta có: . dz dz dy dz y z z dx dy dx dy ′′ ′= = = = . Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 5. Giải phương trình vi phân ( )22 1yy y′′ ′= + .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y′′ ′+ − = với điều kiện 1 (0) 0, (0) 2 y y ′= = .
Chương 4. Phương trình vi phân 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất • Dạng phương trình: 1 2 0 (4)y a y a y′′ ′+ + = (a1, a2 là các hằng số). Phương pháp giải • Xét phương trình đặc trưng của (4): 2 1 2 0 (5).k a k a+ + =
Chương 4. Phương trình vi phân 1) Trường hợp 1 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2. Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: 1 2 1 2 , k x k x y e y e= = và nghiệm tổng quát là 1 2 1 2 . k x k x y C e C e= + 2) Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k. Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: 1 2 , kx kxy e y xe= = và nghiệm tổng quát là 1 2 .kx kxy C e C xe= +
Chương 4. Phương trình vi phân 3) Trường hợp 3 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k i= α ± β. Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: 1 2 cos , sinx xy e x y e xα α= β = β và nghiệm tổng quát: ( )1 2cos sin .xy e C x C xα= β + β
Chương 4. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân: 2 3 0y y y′′ ′+ − = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 8. Giải phương trình vi phân: 6 9 0y y y′′ ′− + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 9. Giải phương trình vi phân 16 0y y′′ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y′′ ′+ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y′′ ′− + = .
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải • N ếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x), y2(x) thì (6) có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x= + 3.2.2. Phương trình không thuần nhất • Dạng phương trình: 1 2 ( ) (6)y a y a y f x′′ ′+ + = (a1, a2 là các hằng số). • Để tìm C1(x) và C2(x), ta giải hệ Wronsky: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). C x y x C x y x C x y x C x y x f x  ′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + =
Chương 4. Phương trình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân: 1 cos y y x ′′ + = (a).
Chương 4. Phương trình vi phân Định lý • N ghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của (4) với 1 nghiệm riêng của (6). VD 13. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e′′ ′− + = + (*). a) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e= . b) Tìm nghiệm tổng quát của (*).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 2 sin 2 4 cos2y y x x′′ ′+ = + biết 1 nghiệm riêng là cos2y x= − .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 22cosy y x′′ ′− = . Cho biết: 1y y′′ ′− = có nghiệm riêng 1 y x=− , cos2y y x′′ ′− = có N R 2 2 1 cos2 sin 2 10 10 y x x=− − . Định lý (nguyên lý chồng nghiệm) • Cho ptvp 1 2 1 2 ( ) ( ) (7)y a y a y f x f x′′ ′+ + = + . Giả sử 1 ( )y x và 2 ( )y x lần lượt là nghiệm riêng của 1 2 1 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = , 1 2 2 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = thì 1 2 ( ) ( )y y x y x= + là nghiệm riêng của (7). 3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính với hệ số hằng Định lý • Cho phương trình: ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 + + +...+ + 0(8).n n n n n y a y a y a y a y− − − ′ = N ếu phương trình đặc trưng: 1 2 1 2 1 ... 0n n n n n k a k a k a k a− − −+ + + + + = có n nghiệm thực đơn 1 2 1 , , ..., , n n k k k k− thì (8) có n N R 1 2 1 1 2 1 , , ..., , .n n k x k x k x k x n n y e y e y e y e−−= = = = và nghiệm tổng quát là: 1 2 1 1 2 1 ... .n n k x k x k x k x n n y C e C e C e C e−−= + + + +
Chương 4. Phương trình vi phân VD 16. Giải phương trình vi phân: 2 2 0y y y y′′′ ′′ ′− − + = .