Bài giảng Toán cao cấp A1 (Đại học) - Đoàn Vương Nguyên

hận xét 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. 2) ( )f x liên tục và lẻ trên [ ; ]−α α thì ( ) 0f x dx α −α =∫ . Nếu ( )f x liên tục trên [ ; ]a b và ( )F x là một nguyên hàm tùy ý của ( )f x thì ( ) ( ) x a x f t dtϕ = ∫ và ( ) ( )+F x x C= ϕ là nguyên hàm của ( )f x trên [ ; ]a b . Vậy ta có: ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a= = −∫ 2.2.2. Công thức Newton – Leibnitz
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3) ( )f x liên tục và chẵn trên [ ; ]−α α thì: 0 ( ) 2 ( )f x dx f x dx α α −α =∫ ∫ . 4) Để tính ( ) b a f x dx∫ ta dùng bảng xét dấu của ( )f x để tách ( )f x thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ. Đặc biệt ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx=∫ ∫ nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b≠ ∀ ∈ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính tích phân 3 2 1 2 5 dx I x x = − + ∫ . VD 7. Tính tích phân 2 1 ( 1)ln e x x I dx x + = ∫ . VD 8. Tính tích phân 1 2 3 1 1.sinI x x dx − = +∫ . VD 9. Tính tích phân 3 3 3 4I x x dx − = −∫ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10*. Lập công thức quy nạp (truy hồi) để tính: 4 0 tan , 2n n I x dx n π = ≥∫ . VD 11*. Lập công thức quy nạp (truy hồi) để tính: 2 0 sinn n I x dx π = ∫ , 2n ≥ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 24
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét. Đặt 2 t x π = − , ta được: 2 0 cosn n I x dx π = ∫ . Trong đó: 0!! 1!! 1= = ; 2!! 2; 3!! 3; 4 !! 2.4= = = ; 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7;...= = = Sử dụng công thức truy hồi, ta có công thức Walliss: 2 2 0 0 ( 1)!! , !! sin cos ( 1)!! . , 2 !! n n n n n xd x x dx n n n π π  −= = π − ∫ ∫ leû chaün
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 12*. Chứng minh rằng: 1 0 lim 0 1 n n x dx x→∞ = +∫ . VD 13*. Sử dụng định nghĩa tích phân, tính giới hạn: 1 1 2 lim 1 1 ... 1 n n L n n n n→∞    = + + + + + +        . VD 14*. Sử dụng định nghĩa tích phân, tính giới hạn: 1 1 1 1 lim ... 1 2 2 1n L n n n n→∞  = + + + +   + + −  .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng 3.1.1. Biên hình phẳng cho trong tọa độ Descartes a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát S 2 1 ( ) ( ) b a S f x f x dx = −  ∫ S 2 1 ( ) ( ) d c S g y g y dy = −  ∫
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2y x= và 4y x= . A. 1 15 S = ; B. 2 15 S = C. 4 15 S = ; D. 8 15 S = . VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 1xy e= − , 2 3xy e= − và 0x = . A. 1ln 4 2 − ; B. ln 4 1 2 − ; C. 1 ln 2 2 − ; D. 1ln 2 2 −
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình ( ), ( )x x t y y t= = với [ ; ]t ∈ α β thì: ( ). ( ) .S y t x t dt β α ′= ∫ VD 4. Tính diện tích hình elip 2 2 2 2 : 1 x y S a b + ≤ . VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 2 4 3y x x= − + và trục hoành.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 5. Tính diện tích S giới hạn bởi đường cong: 2 3( ) 1, ( ) 4x t t y t t t= − = − . O x y 1− 3 3.1.2. Diện tích hình quạt cong trong tọa độ cực Diện tích hình quạt cong S có biên được cho trong tọa độ cực (xem §6. Chương 2) giới hạn bởi ( ), [ ; ]r r= ϕ ϕ ∈ α β là: 21 ( ) . 2 S r d β α = ϕ ϕ∫ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 25
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi: 2 2 0, 3 , 2 0. y y x x y x  = = + − = VD 6. Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi: 2 cos 4 , 0; 8 r  π = ϕ ϕ ∈    . VD 8. Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi: 0,x y x= = và 2 2 2 0x y y+ + = . A. 1 4 2 S π = + ; B. 3 1 2 2 S π = + ; C. 3 4 S π = ; D. 2 S π = .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.2. Tính độ dài l của đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát Cho cung AB có phương trình ( ), [ ; ]y f x x a b= ∈ thì: 21 [ ( )] . b AB a l f x dx′= +∫ VD 9. Tính độ dài l của cung ln(cos ), 0; 4 y x x  π = ∈    .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Đường cong có phương trình tham số Cho cung AB có phương trình tham số ( ) , [ ; ] ( ) x x t t y y t  = ∈ α β = thì: 2 2[ ( )] [ ( )] . AB l x t y t dt β α ′ ′= +∫ VD 10. Tính độ dài l của cung C có phương trình: 2 2 1 , 0; 1 ln 1 x t t y t t  = +  ∈      = + +    .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số c) Đường cong có phương trình trong tọa độ cực Cho cung AB có phương trình trong tọa độ cực là ( ), [ ; ]r r= ϕ ϕ ∈ α β thì: 2 2( ) [ ( )] . AB l r r d β α ′= ϕ + ϕ ϕ∫ VD 11. Tính độ dài l của cung: (1 cos ), [0; ]r a= + ϕ ϕ ∈ π .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( ), 0y f x y= = , x a= , x b= quay quanh Ox là: 2[ ( )] . b a V f x dx= π∫ VD 12. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi ln , 0, 1,y x y x x e= = = = quay xung quanh Ox . VD 13. Tính V do 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b + = quay quanh Ox .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y= , 0x = , y c= và y d= quay quanh Oy là: 2[ ( )] . d c V g y dy= π∫ Giải. Ta có: 22y x x= − 1 1 , 1 1 1 , 1 x y x x y x  = + − ≥⇔  = − − < . VD 14. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi 22 , 0y x x y= − = quay xung quanh Oy . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 26
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1 1 3 00 8 8 4 1 (1 ) 3 3 y dy y π π = π − = − − =∫ . Vậy ( ) ( ) 1 2 2 0 1 1 1 1V y y dy    = π + − − − −    ∫ Chú ý. Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )y f x= , 0y = , x a= và x b= quay quanh Oy còn được tính theo công thức: 2 ( ) (*). b a V xf x dx= π∫ VD 15. Dùng công thức (*) để giải lại VD 14.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.4. Tính diện tích mặt tròn xoay a) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong ( )y f x= , a x b≤ ≤ , quay xung quanh trục Ox là: 22 ( ) 1 [ ( )] . b a S f x f x dx′= π +∫ VD 16. Tính diện tích mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = . b) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong ( )x g x= , c y d≤ ≤ , quay xung quanh trục Oy là: 22 ( ) 1 [ ( )] . d c S g y g y dy′= π +∫ VD 17. Tính S do 2y x= , 0 1x≤ ≤ xoay quanh Oy .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tích phân suy rộng loại 1 4.1.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a +∞ , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( )a b a b< . Giới hạn (nếu có) của ( ) b a f x dx∫ khi b →+∞ được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của ( )f x trên [ ; )a +∞ . Ký hiệu: ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx +∞ →+∞ =∫ ∫
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số • Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). • Định nghĩa tương tự: ( ) lim ( ) ; b b a a f x dx f x dx →−∞ −∞ =∫ ∫ ( ) lim ( ) . b b aa f x dx f x dx +∞ →+∞ −∞ →−∞ =∫ ∫ • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số • Trường hợp α khác 1: 1 1 1 1 lim lim 1 b b b b dx I x x −α α→+∞ →+∞  = =   −α  ∫ ( )1 1 , 11 lim 1 1 1 , 1.b b −α →+∞  α >= − = α −−α  +∞ α < Giải • Trường hợp α = 1: 1 1 lim lim ln b b b b dx I x x→+∞ →+∞  = = = +∞  ∫ (phân kỳ). VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân 1 dx I x +∞ α = ∫ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính tích phân 0 2(1 ) dx I x−∞ = − ∫ . VD 3. Tính tích phân 21 dx I x +∞ −∞ = + ∫ . Vậy: • Với 1α > : 1 1 I = α − (hội tụ). • Với 1α ≤ : I = +∞ (phân kỳ). ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 27
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý • Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F →+∞ = +∞ , ta dùng công thức: ( ) ( ) a a f x dx F x +∞ +∞ =∫ . • Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F →−∞ = −∞ , ta dùng công thức: ( ) ( ) b b f x dx F x −∞ −∞ =∫ . • Tương tự: ( ) ( )f x dx F x +∞ +∞ −∞ −∞ =∫ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn 1. Nếu 0 ( ) ( ), [ ; )f x g x x a≤ ≤ ∀ ∈ +∞ và ( ) a g x dx +∞ ∫ hội tụ thì ( ) a f x dx +∞ ∫ hội tụ. • Các trường hợp khác tương tự. VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân 10 1 xI e dx +∞ −= ∫ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Tiêu chuẩn 2 • Nếu ( ) a f x dx +∞ ∫ hội tụ thì ( ) a f x dx +∞ ∫ hội tụ (ngược lại không đúng). • Các trường hợp khác tương tự. VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân 1 cos 3xI e x dx +∞ −= ∫ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số c) Tiêu chuẩn 3 • Cho ( ), ( )f x g x liên tục, luôn dương trên [ ; )a +∞ và ( )lim ( )x f x k g x→+∞ = . Khi đó:
Nếu 0 k< <+∞ thì: ( ) a f x dx +∞ ∫ và ( ) a g x dx +∞ ∫ cùng hội tụ hoặc phân kỳ.
Nếu 0k = và ( ) a g x dx +∞ ∫ hội tụ thì ( ) a f x dx +∞ ∫ hội tụ.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
Nếu ( ) a k g x dx +∞  = +∞ ∫ phaân ky ø thì ( ) a f x dx +∞ ∫ phân kỳ. • Các trường hợp khác tương tự. VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân 2 3 1 1 2 dx I x x +∞ = + + ∫ . Chú ý • Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x →+∞∼ thì ( ) a f x dx +∞ ∫ và ( ) a g x dx +∞ ∫ có cùng tính chất.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân 1 1 sin dx I x x +∞ = + +∫ . VD 8. Điều kiện của α để 3 1 . ln 1 dx I x x +∞ α = + ∫ hội tụ là: A. 3α > ; B. 3 2 α > ; C. 2α > ; D. 1 2 α > . VD 9. Điều kiện của α để 2 4 1 ( 1) 2 3 x dx I x x +∞ α + = + − ∫ hội tụ? ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 28
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.2. Tích phân suy rộng loại 2 4.2.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a b và không xác định tại b , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( 0)a b− ε ε > . Giới hạn (nếu có) của ( ) b a f x dx −ε ∫ khi 0ε → được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của ( )f x trên [ ; )a b . Ký hiệu: 0 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx −ε ε→ =∫ ∫
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số • Định nghĩa tương tự: 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx ε→ +ε =∫ ∫ (suy rộng tại a ); 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx −ε ε→ +ε =∫ ∫ (suy rộng tại a , b ). • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. VD 10. Khảo sát sự hội tụ của 0 , 0 b dx I b xα = >∫ . Giải. • Trường hợp α = 1: 0 0 0 lim lim ln ln lim ln b bdx I x b x+ + +εε→ ε→ ε→ ε  = = = − ε = +∞  ∫ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số • Trường hợp α khác 1: 1 0 0 0 1 lim lim lim 1 b b bdx I x dx x x −α −α αε→ ε→ ε→ ε ε ε  = = =   −α  ∫ ∫ ( ) 1 1 1 0 1 , 1 lim 1 1 , 1. b b −α −α −α ε→  α  Vậy
Với 1α < : 1 1 b I −α = −α (hội tụ).
Với 1α ≥ : I = +∞ (phân kỳ).
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 11. Tính tích phân 1 3 2 1 6 3 1 9 dx I x = − ∫ . A. 3 I π = − ; B. 3 I π = ; C. 6 I π = ; D. I = +∞. VD 12. Tính tích phân 3 2 1 . ln e dx I x x = ∫ . VD 13. Tính tích phân 2 2 1 dx I x x = − ∫ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ • Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. Chú ý • Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x b→∼ thì ( ) b a f x dx∫ và ( ) b a g x dx∫ có cùng tính chất (với b là cận suy rộng). VD 14. Tích phân suy rộng 1 0 ( 1)(2 ) x dx I x x x α = + − ∫ hội tụ khi và chỉ khi: A. 1α <− ; B. 1 2 α <− ; C. 1 2 α >− ; D. α ∈ ℝ .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 15. Tích phân suy rộng 1 2 0 1 ( 1)sin x I dx x x α + = + ∫ phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1α ≤− ; B. 1 2 α ≤− ; C. 1 2 α ≥− ; D. α ∈ ℝ . Chú ý • Cho 1 2 I I I= + với 1 2 , ,I I I là các tích phân suy rộng ta có: 1) 1 I và 2 I hội tụ I⇒ hội tụ. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 29
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2) 1 2 ( ) 0 I I  → −∞ ≤ phaân ky ø hoặc 1 2 ( ) 0 I I  → +∞ ≥ phaân ky ø thì I phân kỳ. 3) 1 2 ( ) 0 I I  → −∞ > phaân ky ø hoặc 1 2 ( ) 0 I I  → +∞ < phaân ky ø thì chưa thể kết luận I phân kỳ. VD 16. 1 2 0 1 sin x I dx x x α + = ∫ phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1 4 α ≤ ; B. 1 4 α ≤− ; C. 1 2 α ≤− ; D. α ∈ ℝ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 1.1. Định nghĩa • Cho dãy số có vô hạn các số hạng 1 2 , ,..., ,... n u u u Biểu thức • Tổng n số hạng đầu tiên 1 2 ... n n S u u u= + + + được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. 1 2 1 ... ... n n n u u u u ∞ = + + + + =∑ được gọi là chuỗi số. • Các số 1 2 , ,..., ,... n u u u là các số hạng và n u được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi • Nếu dãy { }n nS ∈ℕ hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là 1 n n u S ∞ = =∑ . Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ. VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân 1 n n aq ∞ = ∑ với 0a ≠ . Giải • 1q = : n S na= →∞⇒ chuỗi phân kỳ. • 1q ≠ : 1 1 1 . . 1 1 n n n q q S u aq q q − − = = − − Với 1q < thì 1n aq S q → ⇒ − chuỗi hội tụ. VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 ( 1)n n n ∞ = + ∑ . Với 1q > thì n S →∞⇒ chuỗi phân kỳ. Vậy 1 1 n n aq ∞ − = ∑ hội tụ 1q⇔ < . VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 ln 1 n n ∞ =   +     ∑ . VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 n n ∞ = ∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ • Nếu chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ thì lim 0n n u →∞ = , ngược lại nếu lim 0 n n u →∞ ≠ thì 1 n n u ∞ = ∑ phân kỳ. VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số 4 4 1 3 2n n n n ∞ = + + ∑ . VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số 5 4 1 1n n n ∞ = + ∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 1.3. Tính chất • Nếu 1 1 , n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑ hội tụ thì: 1 1 1 ( ) n n n n n n n u v u v ∞ ∞ ∞ = = = + = +∑ ∑ ∑ . • Nếu 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ thì: 1 1 n n n n u u ∞ ∞ = = α = α∑ ∑ . • Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 30 §2. CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1. Định nghĩa • 1 n n u ∞ = ∑ được gọi là chuỗi số dương nếu 0, nu n≥ ∀ . Khi 0, n u n> ∀ thì chuỗi số là dương thực sự. 2.2. Các định lý so sánh Định lý 1 Cho hai chuỗi số dương 1 1 , n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑ thỏa: 0 0 , n n u v n n≤ ≤ ∀ ≥ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 .2nn n ∞ = ∑ . VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa 1 1 n n ∞ = ∑ bằng cách so sánh với 1 1 ln 1 n n ∞ =   +     ∑ . • Nếu 1 n n v ∞ = ∑ hội tụ thì 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ. • Nếu 1 n n u ∞ = ∑ phân kỳ thì 1 n n v ∞ = ∑ phân kỳ.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi Định lý 2 Cho hai chuỗi số 1 1 , n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑ thỏa: 0 n u > và 0 n v > với n đủ lớn và lim n n n u k v→∞ = . • Nếu 0k = thì 1 n n u ∞ = ∑ phân kỳ 1 n n v ∞ = ⇒∑ phân kỳ. • Nếu k = +∞ thì 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ 1 n n v ∞ = ⇒∑ hội tụ. • Nếu 0 k< <+∞ thì 1 1 , n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑ cùng tính chất.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 2 ( 1) .3 n n n n n ∞ + = +∑ bằng cách so sánh với 1 2 3 n n ∞ =       ∑ . Chú ý Chuỗi 1 1 n n ∞ α = ∑ hội tụ khi 1α > và phân kỳ khi 1α ≤ . VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số 5 1 1 2 3n n n ∞ = + + ∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương 1 n n u ∞ = ∑ và 1lim n n n u D u + →∞ = . • Nếu 1D < thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1D > thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1D = thì chưa thể kết luận. VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 1 1 3 n n n n ∞ =   +     ∑ . VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 1 5 ( !) (2 )! n n n n ∞ = ∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy Cho chuỗi số dương 1 n n u ∞ = ∑ và lim n n n u C →∞ = . • Nếu 1C < thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1C > thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1C = thì chưa thể kết luận. VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 2 n n ∞ =       ∑ . VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 3 n n n n∞ = ∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 31 2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số ( )f x liên tục, không âm và giảm trên nửa khoảng [ ; ), k k+∞ ∈ ℕ . Khi đó: ( ) ( ) n k k f n f x dx +∞∞ = ⇔∑ ∫ hoäi tuï hoäi tuï. VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3 21 1 n n ∞ = ∑ . VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3 2 1 lnn n n ∞ = ∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi §3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý VD 1. 1 ( 1)n n n ∞ = −∑ , 1 1 1 2 1 ( 1) 2 n n n n ∞ + + = + −∑ là các chuỗi đan dấu. 3.1. Chuỗi đan dấu a) Định nghĩa. Chuỗi số 1 ( 1)n n n u ∞ = −∑ được gọi là chuỗi số đan dấu nếu 0, n u n> ∀ . b) Định lý Leibnitz Nếu dãy { } n n u ∈ℕ giảm nghiêm ngặt và 0nu → thì chuỗi 1 ( 1)n n n u ∞ = −∑ hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 ( 1)n n n ∞ = −∑ . VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 2 1 ( 1) 2 n n n n ∞ + = + −∑ . VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 ( 1) ( 1) n n n n ∞ = − + − ∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 3.2. Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa • Chuỗi 1 , n n n u u ∞ = ∈∑ ℝ được gọi là chuỗi có dấu tùy ý. • 1 n n u ∞ = ∑ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ. • 1 n n u ∞ = ∑ được gọi là bán hội tụ nếu 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ và 1 n n u ∞ = ∑ phân kỳ.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi b) Định lý Nếu 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ. VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 1 cos( )n n n n ∞ = ∑ . VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 ( 1) ( 2) 3 n n n n +∞ = − + −∑ . VD 5. Chuỗi số 1 ( 1)n n n ∞ = −∑ là bán hội tụ.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi §4. CHUỖI HÀM
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 4.1. Khái niệm chung về chuỗi hàm 4.1.1. Các định nghĩa • Cho dãy hàm 1 2 ( ), ( ),..., ( ),... n u x u x u x cùng xác định trên D ⊂ ℝ. Tổng hình thức: 1 2 1 ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) n n n u x u x u x u x ∞ = + + + + =∑ (1) được gọi là chuỗi hàm số hay chuỗi hàm trên D ⊂ ℝ. • Nếu tại 0 x D∈ , chuỗi số 0 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ hội tụ (phân kỳ) thì 0 x được gọi là điểm hội tụ (phân kỳ) của chuỗi (1). ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 32
Chương 4. Lý thuyết chuỗi • Tập hợp các điểm hội tụ 0 x của chuỗi (1) được gọi là miền hội tụ của chuỗi (1). • Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối tại 0 x D∈ nếu chuỗi 0 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ hội tụ. • Tổng 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n S x u x u x u x= + + + được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1). Trong miền hội tụ của chuỗi (1), tổng ( ) n S x hội tụ về một hàm số ( )f x nào đó. • Hàm ( ) lim ( ) n n f x S x →∞ = xác định trong miền hội tụ của chuỗi (1) được gọi là tổng của chuỗi (1).
Chương 4. Lý thuyết chuỗi Ta viết là: 1 ( ) ( ) n n u x f x ∞ = =∑ . Khi đó, ( ) ( ) ( ) n n R x f x S x= − được gọi là phần dư của (1) và tại mỗi x thuộc miền hội tụ thì lim ( ) 0 nn R x →∞ = . VD 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 nx n ne ∞ − = ∑ . Giải • Với 0x > : lim 1n nx x n ne e− − →∞ = < ⇒ chuỗi hội tụ. • Với 0x ≤ : 0nxne− →/ ⇒ chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là ( )0;+∞ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi VD 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 2 1 ! n n x n ∞ = ∑ . Giải • Với 0x = : Chuỗi hội tụ. • Với 0x ≠ , ta có: 2( 1) 2 2 lim : lim 0 ( 1)! ! 1 n n n n x x x n n n + →∞ →∞     = = + +   ⇒ chuỗi hội tụ. Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là ℝ . 4.1.2. Chuỗi hàm hội tụ đều a) Định nghĩa Chuỗi (1) được gọi là hội tụ đều trong miền D nếu 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... n n n n m R x u x u x u x+ + += + + + + hội tụ đều về 0 trong miền D .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi Nghĩa là: 0, ( ) : , | ( ) | . n N N n N x D R xε ε ε∀ > ∃ = ∀ > ∀ ∈ ⇒ < b) Tiêu chuẩn hội tụ đều Weierstrass Nếu chuỗi (1) thỏa mãn: ( ) , , n n n u x C x D C≤ ∀ ∈ ∈ ℝ và 1 n n C ∞ = ∑ hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ đều trong miền D . VD 3. Chuỗi hàm 2 1 sin n nx n ∞ = ∑ hội tụ đều trên ℝ vì: 2 2 sin 1 , nx x n n ≤ ∀ ∈ ℝ và 2 1 1 n n ∞ = ∑ hội tụ. 4.2. Chuỗi lũy thừa 4.2.1. Định nghĩa Chuỗi hàm 0 0 ( )n n n a x x ∞ = −∑ với 0,na x là các hằng số được gọi là chuỗi lũy thừa. Nhận xét • Nếu đặt 0 x x x′ = − thì chuỗi lũy thừa có dạng 0 n n n a x ∞ = ∑ . • Miền hội tụ của 0 n n n a x ∞ = ∑ chứa 0x = nên khác rỗng.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 4.2.2. Bổ đề Abel Nếu chuỗi hàm 0 n n n a x ∞ = ∑ hội tụ tại 0x = α ≠ thì chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm ( );x ∈ − α α . • Hệ quả Nếu chuỗi hàm 0 n n n a x ∞ = ∑ phân kỳ tại x = β thì phân kỳ tại mọi x thỏa x > β . 4.2.3. Bán kính hội tụ a) Định nghĩa • Số 0R > để 0 n n n a x ∞ = ∑ hội tụ tuyệt đối trên ( ; )R R− và phân kỳ tại :x x R∀ > được gọi là bán kính hội tụ.
Chương 4. Lý thuyết chuỗi ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 33 • Khoảng ( ; )R R− được gọi là khoảng hội tụ. Nhận xét • Nếu chuỗi hội tụ x∀ ∈ ℝ thì R = +∞. • Nếu chuỗi phân kỳ 0x∀ ≠ thì 0R = . b) Phương pháp tìm bán kính hội tụ Nếu tồn tại 1lim n n n a r a + →∞ = hoặc lim n n n a r →∞ = thì: 0, 1 , 0 , 0 r R r r r  = +∞= < <+∞+∞ = .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Bước 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số tại x R= ± . Bước 3 • Nếu các chuỗi số phân kỳ tại x R= ± thì kết luận: miền hội tụ của chuỗi hàm là ( ; )R R− . Bước 1. Tìm bán kính hội tụ R, suy ra khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa là: ( ; )R R− . • Nếu chuỗi số phân kỳ tại x R= và hội tụ tại x R=− thì kết luận: miền hội tụ của chuỗi hàm là [ ; )R R− . • Tương tự: miền hội tụ là ( ; ], [ ; ]R R R R− − .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi
Chương 4. Lý thuyết chuỗi VD 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 n n x n ∞ = ∑ . VD 5. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 ( 1) .2 n n n x n ∞ = −∑ . VD 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 2 1 1 1 n n n x n ∞ =   +     ∑ . VD 7. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 2 0 3 ( 2)n n n x ∞ = +∑ .
Chương 4. Lý thuyết chuỗi 4.3. Sơ lược về chuỗi Fourier a) Chuỗi lượng giác Chuỗi hàm dạng: 0 1 ( cos sin ) 2 n nn a a nx b nx ∞ = + +∑ (*) được gọi là chuỗi lượng giác. Nếu chuỗi (*) hội tụ đều trên [ ; ]π π− đến hàm số ( )f x thì các hệ số , n n a b được tính theo công thức: 1 ( )cos , 0, 1, 2,... n a f x nx dx n π π π − = =∫ (2);