Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 1.2: Chuỗi số dương

Bài 1.2: CHUỖI SỐ DƯƠNG NỘI DUNG: 1.2.1. Các định lí so sánh 1.2.2. Quy tắc D’Alembert 1.2.3. Quy tắc Cauchy 1.2.4. Quy tắc tích phân Định nghĩa: Chuỗi số   1n nu được gọi là chuỗi số dương nếu  ,1,0 nun Ví dụ:   1 1 n n      1 2 1 1 n n n    1 2 2)!1(n nn n Các chuỗi trên có phải là chuỗi số dương không ? Các chuỗi trên là n ững chuỗi số dương Điều kiện đủ để chuỗi số dương hội tụ Nếu dãy số nS bị chặn trên  ,1, n tức là 0A sao cho nAS n  , thì chuỗi số dương   1n nu hội tụ. Nếu dãy số Sn không bị chặn trên, Sn ∞ khi n∞ thì chuỗi số phân kì 1.2.1 Các định lí so sánh a. Định lí 1.2: (Tiêu chuẩn so sánh 1) Cho hai chuỗi số dương  1n nu và   1n nv trong đó 1,  nvu nn Khi đó ta có: - Nếu   1n nv hội tụ thì   1n nu hội tụ. - Nếu   1n nvphân kì thì  1n nu phân kì Ví dụ:     1 3 11 ) n n nn d   1 12 1 ) n n c Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau   1 3 3. 1 ) n nn a   1 3 1 ) n n b b. Định lí 1.3: (Tiêu chuẩn so sánh 2) Cho 2 chuỗi số dương và Giả sử K v u n n n   lim Khi đó ta có: - Nếu 0 < K < +∞ thì   1n nu và   1n nv cùng hội tụ hoặc cùng phân kì - Nếu K = 0 và nếu   1n nv hội tụ thì  1n nu hội tụ. - Nếu K = +∞ và nếu   1n nv phân kì thì   1n nu phân kì.   1n nu . 1   n nv Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số.    1 12 1 n n    1 3 1 n n a) b)           1 1 1ln) n n c   1 2 sin) n n d  Chú thích Cho chuỗi số dương   1n nu , trong đó un  0 khi n  ∞. Nếu tồn tại 1 VCB vn tương đương với VCB un thì   1n nu hội tụ (phân kì) nếu   1n nv hội tụ (phân kì) 1.2.2 Quy tắc D’Alembert Cho chuỗi số dương   1n nu . Giả sử l u u n n n   1lim Khi đó: * Nếu l < 1 thì   1n nu hội tụ * Nếu l > 1 thì   1n nu phân kì (l có thể = +∞) Ví dụ     1 3 12 ) n n n a   1 ! ) n nn n c )( )!( ) 1 R n n d n n      Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số   1 3 3 ) n n n b 1.2.3 Quy tắc Cauchy Cho chuỗi số dương   1n nu . Giả sử hội tụ lun n n   lim Khi đó: * Nếu l < 1 thì   1n nu * Nếu l > 1 thì   1n nu phân kì. Ví dụ Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số: 2 1 53 12 ) n n n n a            2 1 32 15 ) n n n n b            1.2.4 Quy tắc tích phân Nếu hàm f(x) liên tục, dương, giảm trong [a, +∞) với a ≥ 1, f(x)  0 khi x  +∞ và chuỗi số dương   1n nu có ),(nfun   ,1n Khi đó: - Nếu   1 )( dxxf hội tụ thì chuỗi số   1n nu hội tụ - Nếu   1 )( dxxf phân kì thì chuỗi số   1n nu phân kì Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:   1 1 n n   2 2)(ln 1 n nn a) b) Chú ý Một số chuỗi số đặc biệt thường dùng để so sánh khi xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số         1 1 11 )1 n n             1 1 1 )2 n n q q q Hội tụ khi Phân kì khi Hội tụ khi Phân kì khi