Bài giảng Toán 3

ao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại thông qua các pt của hệ.Ví dụ 1: Giải hệ pt:Ví dụ 2: Giải hệ pt: Phương pháp tổ hợp: - Tổ hợp các pt trong hệ thành một pt đơn giản, sau đó kết hợp với các pt trong hệ để tìm ra nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ pt:Ví dụ 2: Giải hệ pt:3.5.2 Hệ phương trình vp tuyến tính hệ số hằng số:Đ/n: Hệ pt vp tt hệ số hằng số là hệ pt có dạng:Cách giải:+ Lập pt đặc trưng: với I là ma trận đơn vị tương ứng với ATrường hợp 1: Nếu - Ứng với thay vào pt đặc trưng ta tìm được véc tơ riêng tương ứng -Khi đó hệ có n nghiệm là:hệ trên gọi là hệ nghiệm cơ bảnKhi đó nghiệm tổng quát của hệ là:Ví dụ : Giải hệ pt:Trường hợp 2: Nếu pt đặc trưng có các nghiệm thực , lần lượt bội Ta tìm nghiệm của hệ dưới dạng:Trong đó là các đa thức bậc mk - 1 Ví dụ : Giải hệ pt:Trường hợp 3: Nếu pt đặc trưng có các nghiệm phức,- Muốn tìm nghiệm tổng quát của hệ dưới dạng thực thì ta làm giống như t/h 1, áp dụng công thức Euler lấy các nghiệm riêng là phần thực , phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng.Ví dụ : Giải hệ pt:CHUỖIChương 4Chuỗi số dươngChuỗi FourierChuỗi hàm số4.1 Đại cương về chuỗi số Tổng Sn=u1+u2+...+un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi Nếu Sn dần tới một giới hạn hữu hạn S khi n  , ta nói rằng chuỗi số hội tụ và có tổng S, ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ. Hiệu Rn = S – Sn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì Rn  0 khi n  .Tính chất:Giả sử và là 2 chuỗi hội tụ và có tổng là S và T.Khi đó: Chuỗi số hội tụ và có tổng là S+T Chuỗi số hội tụ và cố tổng là với Điều kiện cần để chuỗi hội tụNếu chuỗi hội tụ thì số hạng tổng quát un dần tới 0 khi n Ví dụ: Chuỗi phân kì vì un=1 0 khi 4.1.2 Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số ( tiêu chuẩn Cauchy)Chuỗi số hội tụ   > 0,  N  n0 >0 : |Sp – Sq| = q  n0Ví dụ: Chuỗi là phân kì4.2 Chuỗi số dương4.2.1 Định nghĩa Chuỗi số dương là chuỗi có dạng với un 4.2.2 Tiêu chuẩn so sánhTiêu chuẩn 1: Cho hai chuỗi số dương và thoả mãn un  vn, n  no  N. Khi đó: Nếu chuỗi số hội tụ thì chuỗi hội tụ Nếu chuỗi số phân kỳ thì chuỗi phân kì Tiêu chuẩn 2: Cho hai chuỗi số dương và Nếu tồn tại giới hạn hữu hạnthì hai chuỗi số đấy cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:4.2.3 Các quy tắc khảo sát tính ht của chuỗi số:Quy tắc Đalămbe:Cho chuỗi số dương . G/s Ta có: thì:+ Nếu k 1chuỗi phân kỳ. Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:Quy tắc Cauchy:Cho chuỗi số dương . G/s Ta có: thì:+ Nếu k 1chuỗi phân kỳ. Ví dụ: Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:Quy tắc so sánh với tích phân:Cho chuỗi số dương .G/s f(x) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1, +∞) sao cho f(n) = un, n = 1, 2,.Khi đó tích phân suy rộng và chuỗi số cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ví dụ : Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:4.2.4 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ:a) Chuỗi đan dấu:Định nghĩa: Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng trong đó un là các số cùng dấu. Để đơn giản ta luôn luôn xem un > 0 với mọi n. Định lý Leibniz: Cho chuỗi đan dấuNếu dãy số {un} là dãy đơn điệu giảm và thì chuỗi hội tụ và có tổng nhỏ hơn u1 Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi sau:b) Chuỗi có dấu bất kìChuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ:Xét chuỗi số với các số hạng un có dấu bất kỳ.Định lý: Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi cũng hội tụ. Định nghĩa: Xét chuỗi số trong đó un có dấu bất kỳ.Chuỗi được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu hội tụ. Chuỗi được gọi là bán hội tụ nếu hội tụ nhưng phân kỳVí dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:c)Một số tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối:Tính chất 1: + Nếu chuỗi số hội tụ tuyệt đối và có tổng S thì chuỗi số suy từ nó bằng cách thay đổi thứ tự các số hạng và bằng cách nhóm tuỳ ý một số số hạng lại cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là S+ Còn nếu chuỗi số bán hội tụ thì ta có thể thay đổi thứ tự của các số hạng của nó để chuỗi số thu được hội tụ và có tổng bằng một số bất kỳ cho trước hoặc trở nên phân kỳĐịnh nghĩa: Cho hai chuỗi và , người ta gọi tích của chúng là chuỗi số trong đó Tính chất 2: Nếu hai chuỗi và hội tụ tuyệt đối và có tổng là S1 và S2 thì tích của chúng cũng là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng S1S24.4 Dãy hàm số4.4.1 Miền hội tụĐịnh nghĩa: Giả sử f1, f2,..,fn là những hàm số thực xác định trên tập X. Với mỗi x X, {fn( x)} là những dãy số thực. Nếu dãy số thực {f(x)} hội tụ ta nói rằng dãy {fn} hội tụ tại x. Điểm x được gọi là điểm hội tụ của dãy. Tập tất cả các điểm hội tụ của dãy được gọi là miền hội tụ của dãy.Ví dụ: Xét dãy hàm fn(x)= xn xác định trên R. 4.4.2 Định nghĩaGiả sử f1, f2, .., fn là những hàm số xác định trên tập X. Ta nói rằng dãy hàm số {fn} hội tụ điểm đến hàm f trên X nếu với ta đều có Hay: Số n0 phụ thuộc vào và x, trong trường hợp chỉ phụ thuộc vào thì ta có khái niệm hội tụ đều: Ta nói rằng dãy hàm số {fn} hội tụ đều đến hàm f trên X nếu:4.4.3 Các tính chất của dãy hàm số hội tụ đều:Tính chất 1: G/s dãy các hàm số liên tục và hội tụ đều trên X tới hàm f(x) thì f(x) là một hàm số liên tục trên tập X.Tính chất 2: G/s dãy hàm số liên tục và hội tụ đều trên đoạn [a; b] tới hàm f(x). Khi đóTính chất 3: G/s trên [a; b] Dãy hàm số khả vi liên tục và hội tụ tới hàm f(x), Dãy các đạo hàm hội tụ đều tới hàm g(x). Khi đó trên [a; b], hàm số f(x) khả vi và 4.5 Chuỗi hàm số:Định nghĩa: Chuỗi hàm số là chuỗi có dạng trong đó un(x) là các hàm số xác định trên XNếu tại x0 mà chuỗi số phân kỳ thì ta nói x0 là điểm phân kỳ của chuỗi hàm Tại x = x0 chuỗi hàm trở thành chuỗi số Nếu tại x0 mà chuỗi số hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ của chuỗi hàm - Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm ấy.+ Gọilà tổng riêng thứ n của chuỗi hàm . Khi đó: chuỗi hàm số được gọi là hội tụ tại điểm nếu dãy hàm số hội tụ tại điểm x0, và được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm+ Giới hạn S(x) của gọi là tổng của chuỗi hàm* Cách tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:b1: Xét chuỗi Sử dụng các dấu hiệu Đalămbe hay Cauchy tìm được khoảng hội tụ của chuỗi, g/s là (a; b) b2: Xét tại các mút x = a, x = b biết được tại đó chuỗi hội tụ hay phân kỳ.Kết luận : Miền hội tụ của chuỗi = khoảng hội tụ + điểm hội tụ tại các mút ( nếu có)Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm sau:b) Hội tụ đều:Định nghĩa: Chuỗi hàm số được gọi là hội tụ đều trên X tới hàm S(x) nếu dãy hàm số hội tụ đều trên X tới hàm S(x), nghĩa là:* Tiêu chuẩn Cauchy:Chuỗi hàm số được gọi là hội tụ đều trên X khi và chỉ khi.* Tiêu chuẩn Weierstrass:Cho chuỗi hàm . Nếu có một chuỗi số dương hội tụ sao cho thì sẽ hội tụ đều trên XVí dụ : Xét sự hội tụ của chuỗi:c) Tính chất của các chuỗi hàm hội tụ đều:Tính chất 1: Cho chuỗi hàm số . Nếu un(x) là những hàm số liên tục trên tập X và hội tụ đều trên X tới hàm S(x) thì S(x) là một hàm số liên tục trên X.Chú ý : Nếu S(x) không liên tục trên X thì chuỗi không hội tụ đều trên XTính chất 2:Cho chuỗi hàm số . Nếu các số hạng un(x) là những hàm số liên tục trên [a; b] và nếu chuỗi hàm số hội tụ đều trên [a; b] tới hàm S(x) thìTính chất 3:Cho chuỗi hàm số Giả sử: Chuỗi hội tụ trên (a, b) tới S(x) Các số hạng un(x) liên tục cùng với đạo hàm của chúng trên (a; b) .Chuỗi hội tụ đều trên (a; b) Khi đó: Tổng S(x) khả vi trên (a; b) và ta cóVí dụ: Cho chuỗi hàm sốKhảo sát sự hội tụ của nó trên miền x>0. Có thể nói gì về sự liên tục và khả vi của tổng chuỗi hàm số đó4.2.2 Chuỗi luỹ thừa: Định nghĩa: Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạngtrong đó an = constChú ý: Chuỗi luỹ thừa là một trường hợp riêng của chuỗi hàm nên mọi t/c đúng cho chuỗi hàm thì cũng đúng cho chuỗi luỹ thừab) Định lý Abel:Chuỗi luỹ thừa hội tụ tại thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả mãnChú ý : Tại x = 0 chuỗi luôn hội tụHệ quả: Chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại thì nó phân kỳ tại mọi x thoả mãnNhận xét: Từ định lý Abel ta thấy tồn tại một số R sao cho chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đối trong khoảng (-R; R), phân kỳ trong các khoảng (-∞; R) và ( R ;+ ∞) .Tại x = R và x = -R chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Số R như vậy được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừaQuy tắc tìm bán kính hội tụ: Cho chuỗi luỹ thừa . Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa là:+ Nếu R = ∞ thì chuỗi hội tụ với mọi x thuộc khoảng (- ∞; + ∞)+ Nếu R = 0 thì chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0+ Nếu R ≠ 0 và R ≠ ∞ thì chuỗi hội tụ trong khoảng ( -R; R ). Tại các mút x = R và x = -R còn phải xét thêm. Miền hội tụ = ( -R; R ) + các mút (nếu có)Ví dụ : Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm:c) Các tính chất của chuỗi luỹ thừa:Tính chất 1: Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên mọi đoạn [a; b] nằm trong khoảng hội tụ của nó.Tính chất 2: Tổng của chuỗi luỹ thừa là một hàm số liên tục trong khoảng hội tụ của nó.Tính chất 3: Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi luỹ thừa trên mọi đoạn [a; b] nằm trong khoảng hội tụ của nó. Tức là:Tính chất 4: Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi luỹ thừa tại mọi điểm nằm trong khoảng hội tụ của nó. Tức là:Ví dụ: Tính tổng:d) Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa:- Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm mọi cấp ở trong một lân cận nào đó của x0 thì hàm đó có thể khai triển được thành một chuỗi dưới dạng:Chuỗi (1) gọi là chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại lân cận x = x0. Nếu x0 = 0 thì ta có:Chuỗi (2) gọilà chuỗi Macloranh của hàm số f(x)* Điều kiện khai triển:Theo công thức Taylor, nếu hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp (n + 1) ở lân cận điểm x0 thì f(x) = Pn(x) + Rn(x) trong đó:Trong đó ξ là một điểm nào đó giữa x và x0Định lý 1: G/s trong một lân cận nào đó của điểm x0 hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp, và nếu Với ξ là một điểm nào đó giữa x và x0 thì có thể khai triển f(x) thành chuỗi Taylor trong lân cận đó.Định lý 2: Nếu trong một lân cận nào đó của điểm x0 hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp, luôn bị chặn bởi cùng một số trong lân cận ấy thì hàm số f(x) có thể khai triển được thành chuỗi Taylor* Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi luỹ thừa: (Khai triển Macloranh)Ví dụ 1 : Khai triển Taylor hàm số f(x) = lnx tại x = 1Ví dụ 2: Khai triển Macloranh hàm số