Bài giảng Thủy văn công trình - Chương 3: Phương pháp thống kê xác suất trong thuỷ văn

Chương 3 Phương pháp thống kê xác suất trong thuỷ vănI. Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suấtPhép thử:Được hiểu là các thử nghiệm hoặc các quan sát được thực hiện đối với một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó. Các thử nghiệm và các quan sát đó phải được thực hiện trong cùng một điều kiện nhất định.Kết quả của phép thử ngẫu nhiên gọi là biến cố ngẫu nhiên, hoặc nói ngắn gọn là biến cố.Phân loại biến cốBiến cố chắc chắn: là biến cố nhất định phải xuất hiện trong một phép thử.Biến cố không thể có: là biến cố không thể xuất hiện trong một phép thử.Biến cố độc lập: là biến cố mà sự xuất hiện của nó không phụ thuộc vào sự xuất hiện của các biến cố khácBiến cố phụ thuộc: là biến cố mà sự xuất hiện của nó phụ thuộc vào sự xuất hiện của biến cố khácBiến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố xung khắc nếu chúng không cùng xuất hiện trong một phép thử.Biến cố đối lập: A được gọi là đối lập với biến cố A nếu biến cố A và biến cố A không xảy ra trong phép thử nhưng một trong hai biến cố chắc chắn phải xuất hiện.Biến cố tổng: biến cố C được gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B nếu hoặc A xuất hiện, hoặc B xuất hiện, hoặc cả A và B cùng xuất hiện.Biến cố tích: Biến cố C được gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B nếu biến cố C xuất hiện là do biến cố A và B cùng xuất hiện tạo nên.ABC=A+BABC=A.BPhân loại biến cố (tiếp)Định nghĩa xác suấtĐịnh nghĩa cổ điển:Xác suất xuất hiện của một biến cố A nào đó bằng tỷ số giữa số biến cố cơ bản thuận lợi cho A xuất hiện trên tổng các biến cố cơ bản của không gian biến cố.Công thức tính xác suất của biến cố A là:Trong đó: n là tổng số các biến cố cơ bản của không gian biến cố đang xét; m là số biến cố cơ bản thuận lợi cho biến cố A xuất hiện.Định nghĩa xác suất (tiếp)Định nghĩa xác suất theo thống kê:Xác suất xuất hiện của một biến cố A nào đó trong một phép thử là tần số xuất hiện của biến cố đó khi số lần thực hiện phép thử tăng lên vô hạn.Công thức tính xác suất:Trong đó: n là số lần thực hiện phép thử; m là số lần xuất hiện biến cố AMột số định lý Định lý cộng xác suất: Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng xác suất xuất hiện của từng biến cố trừ đi xác suất xuất hiện của vùng trùng lặp.P(C)= P(A)+P(B)-P(AB)Định lý nhân xác suất: Xác suất của biến cố tích của hai biến cố AB bằng xác suất của một biến cố nhân với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại với điều kiện biến cố đầu đã xảy ra.P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)Đại lượng ngẫu nhiênĐại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng mà trong một phép thử nó nhận một giá trị có thể với xác suất tương ứng của nó.Phân loại:Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:Nếu nó nhận một số giá trị hữu hạn trong khoảng xác định của nó.Đại lượng ngẫu nhiên liên tục:Nếu nó nhận bất kỳ giá trị trong khoảng xác định của nóLuật phân phối xác suấtLà quy luật liên hệ những giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên với những xác suất tương ứng của chúng.VD: Bảng phân phối xác suất của ĐLNN là số đọc trên mặt con xúc sắc (phép thử gieo con xúc sắc).xi123456Pi1/61/61/61/61/61/6Hàm phân phối xác suấtHàm phân phối xác suất F(x) là xác suất để cho đại lượng ngẫu nhiên X nhận các giá trị lớn hơn hoặc bằng một giá trị x, trong đó x là biến số nhận các giá trị có thể trên miền xác định của nó.F(x)=P(Xx)Tính chất:Luôn dương và nhận giá trị trong khoảng [0,1]F(-)=1F()=0Là hàm nghịch biến và không tăng trên toàn trục sốx2x1 thì F(x2)F(x1)Liên tục bên phải tại mỗi điểm x0Hàm phân phối xác suất (tiếp)Hàm mật độ xác suất Công thức:Tính chất:1.2. Hàm f(x) luôn dương và biến đổi từ 0 đến 13.xf(x)Đồ thị hàm mật độ xác suấtĐặc điểm của đồ thị hàm mật độ xác suấtHoàn toàn nằm trên trục hoànhDiện tích giới hạn bởi đồ thị của hàm mật độ xác suất với trục hoành có giá trị bằng 1 Hàm mật độ xác suất nhận trục 0x làm tiệm cận ngangCó ít nhất một giá trị cực đạiCác đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiênKỳ vọng toánNếu X là ĐLNN rời rạc, có phân phối xác suất P(X = xk) = pk thì Nếu X là ĐLNN liên tục với hàm mật độ f(x) thì Phương saiKhoảng lệch quân phương Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên (tiếp)Hệ số phân tánHệ số thiên lệchÝ nghĩa của các đặc trưngTrị số bình quânlà đại biểu chung cho chuỗi sốbị ảnh hưởng lớn bởi các giá trị cực đoan nhất là trong trường hợp chuỗi thống kê ngắnKhoảng lệch quân phương: biểu thị độ phân tán của chuỗi sốLà một số có thứ nguyên nên không thể dùng để so sánh các chuỗi số có thứ nguyên khác nhauHệ số phân tán:Biểu thị độ phân tán của chuỗi sốLà một số không có thứ nguyên nên có thể dùng để so sánh các chuỗi số có thứ nguyên khác nhauHệ số thiên lệch:Nếu Cs>0 đường phân bố lệch dương Nếu Cs0: lệch dương (đỉnh của hàm mật độ nằm bên trái trị số bình quân)d0)VD: F1%(Cs=-1)=-F99%(Cs=1)=1,59Luật phân phối xác suất Kritxki-MenkenĐiều kiện:Có thể dùng 3 đặc trưng x, Cv, Cs làm tham số của hàm mật độChỉ có một số đôngGiá trị của ĐLNN nằm trong phạm vi 0x+Phương trình hàm mật độ xác suất:Trong đó: a, b là các hằng số;Ứng dụng: Tương tự hai ông Kritxki-Menken cũng lập bảng tra sẵn hệ số môđuyn Kp phụ thuộc vào Cv, Cs và P. Ảnh hưởng của các tham số thống kê đến đường tần suấtẢnh hưởng của trị số bình quân:Trị số trung bình ảnh hưởng đến vị trí của đường tần suất so với trục hoành.Cv=constCs=constX2>X>X1P%KpXX1X2X1 Cv1P%KpCv2Cv1Ảnh hưởng của các tham số thống kê đến đường tần suất (tiếp)Ảnh hưởng của hệ số thiên lệch Hệ số Cs ảnh hưởng đến độ cong của đường tần suấtX =constCv=constCs2 > Cs1P%KpCs>0Cs<0Cs=0Hai phương pháp vẽ đường tần suất lý luận thường dùngPhương pháp thích hợp dầnPhương pháp 3 điểm của AlechxayepNguyên tắc chung:Xác định các tham số thống kê (X, Cv, Cs)Lựa chọn dạng phân phối xác suấtSử dụng các bảng tra xác định tọa độ đường tần suất lý luậnKiểm tra sự phù hợp giữa ĐTSKN và ĐTSLL và điều chỉnhP(%)0.11.0510..50..7580909999.9Kpxp=Kp.XPhương pháp thích hợp dầnVẽ đường tần suất kinh nghiệmXác định các đặc trưng thống kê: X, CvGiả định Cs=mCv, với m=1(hoặc 2,3,4,5,6)Lựa chọn dạng đường phân phối xác suất (PIII hoặc KM)Xây dựng đường tần suất lý luậnKiểm tra sự phù hợp giữa đường TSLL và đường TSKNNếu chưa phù hợp giả thiết lại m và tính lạiNhận xét: Phương pháp trực quan, dễ dàng nhận xét và xử lý điểm. Nhược điểm là phải thử dần mất nhiều thời gianPhương pháp 3 điểmVẽ đường tần suất kinh nghiệmLựa chọn bộ 3 điểm trên đường TSKN (x1, p1), (x2, p2), (x3,p3)Nên chọn bộ 3 điểm đã có sẵn bảng tra:VD: (X1%, X50%, X99%) (X3%, X50%, X97%) (X5%, X50%, X95%) (X10%, X50%, X90%)Tính hệ số lệch SPhương pháp 3 điểm (tiếp)Tra quan hệ S=f(Cs) xác định CsTra F50%, F1-F3 theo CsTính độ lệch quân phươngTính Xtb=X50%-50%Tính hệ số phân tán CvCóX, Cv, Cs vẽ đường TSLL. Kiểm tra sự phù hợp của Đường TSLL và đường TSKN Ví dụ bảng tra S~Cs trường hợp P=1_50_99%S012345678900.000.030.050.070.100.120.150.170.200.230.10.260.280.310.340.360.390.410.440.470.490.20.520.540.570.590.620.650.670.700.730.760.30.780.810.840.860.890.920.940.971.001.020.41.051.081.101.131.161.181.211.241.271.300.51.321.361.391.421.451.401.511.551.581.610.61.641.681.711.741.781.811.841.881.921.950.71.992.032.072.112.162.202.252.302.402.390.82.442.502.552.612.672.742.812.892.973.050.93.143.223.333.463.593.733.924.144.444.90Ví dụ về bảng tra quan hệ Cs~FCsF50%F1%-F99%F3%-F97%F5%-F95%F10%-F90%00.0004.6523.7623.2902.5640.1-0.0174.6483.7563.2872.5600.2-0.2334.6453.7503.2842.5570.3-0.0554.6413.7433.2782.5500.4-0.6806.6373.7363.2732.5430.5-0.0814.6333.7323.2662.5320.6-0.1004.6293.7273.2592.5220.7-0.1164.6243.7183.2462.5100.8-0.1324.6203.7093.2332.498Ví dụ về so sánh sự phù hợp giữa ĐTSLL và ĐTSKNChưa phù hợpVí dụ về so sánh sự phù hợp giữa ĐTSLL và ĐTSKNPhù hợpIII. Phân tích tương quan1. Khái niệm chungxyxyyxyxycQuan hệ hàm sốQuan hệ độc lập (Không quan hệ)Quan hệ tương quanHai đại lượng X và Y được gọi là có quan hệ tương quan thống kê với nhau nếu với mỗi trị số của X, đại lượng Y có thể nhận các giá trị khác nhau một cách ngẫu nhiên. Ngược lại, với mỗi giá trị của Y thì X cũng có thể nhận các giá trị khác nhau một cách ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu tập hợp nhiều số liệu thống kê thì quan hệ giữa X và Y có tính quy luật và tạo thành một xu thế nào đó. xyxy Tương quan tuyến tính Tương quan phi tuyếnĐường hồi quyĐặt tương ứng mỗi giá trị của đại lượng này với giá trị trung bình của các giá trị tương ứng của đại lượng kia ta được hàm hồi quy. Đường phối hợp tốt nhất biểu thị hàm hồi quy của tổng thể được gọi là đường hồi quy.Tương quan giữa hai đại lượng X và Y được gọi là tuyến tính nếu cả hai hàm hồi quy đều là tuyến tính.Đường hồi quy của y theo x là: y = f1(x)Đường hồi quy của x theo y là: x=f2(y)Xác định phương trình của đường thẳng hồi quyPhương trình của đường thẳng hồi quy y = ax +bKhoảng lệch giữa điểm thực đo (xi, yi) với đường thẳng hồi quy là:yi- y = yi – (axi+b)Theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất, muốn cho đường thẳng phối hợp tốt nhất thì tổng bình phương của khoảng lệch phải nhỏ nhất, nghĩa là:(xi,yi)(xi,y)xiyiyXác định phương trình của đường thẳng hồi quy (tiếp)Muốn vậy:Giải hệ phương trình trên rút ra a, b và thay vào ta có:Trong đó g là hệ số tương quanVí dụXây dựng quan hệ tương quan giữa hai đại lượng Y và X dựa trên tài liệu thực đo.STTXiYi(Xi-Xtb)(Yi-Ytb)(Xi-Xtb)2(Yi-Ytb)2(Xi-Xtb)(Yi-Ytb)1359.79.4979.70-3.116351.489.679-247.952236.97.56-43.09-5.041856.6425.410217.203199.66.70-80.46-5.906473.7534.806474.684268.314.04-11.731.43137.482.058-16.825205.311.34-74.73-1.265584.681.59994.496215.010.80-65.02-1.814228.063.258117.377212.69.73-67.46-2.884551.148.284194.178250.69.21-29.44-3.40866.8211.545100.049255.39.78-24.73-2.82611.807.94969.7410329.712.3149.65-0.302465.310.088-14.7011181.212.41-98.80-0.209761.190.03919.5412312.612.2932.59-0.311061.970.095-10.0713301.711.7821.62-0.82467.420.675-17.7614249.414.80-30.652.20939.464.821-67.3015206.412.21-73.65-0.395424.120.15328.8216401.719.18121.646.5814796.9343.304800.4817298.014.6917.922.09321.234.36837.4618286.210.296.20-2.3138.495.338-14.3319402.822.46122.729.8615060.0397.1971209.8720427.820.99147.728.3821821.0070.2741238.32TB280.012.60 Tổng102819.01330.944213.26g = 0.7