Bài giảng Quản trị rủi ro tài chính - Bài 4: Định giá quyền chọn bằng mô hình nhị phân

Baøi 4: Ñònh giaù quyeàn choïn baèng moâ hình nhò phaân QUAÛN TRÒ RUÛI RO TAØI CHÍNH • Mô hình định giá quyền chọn – Công thức toán sử dụng những nhân tố tác động đến giá quyền chọn làm dữ liệu đầu vào để tính toán ra giá trị hợp lý lý thuyết của quyền chọn Mô hình nhị phân một thời kỳ Mô hình nhị phân nghĩa là tính đến trường hợp giá cổ phiếu hoặc tăng lên hoặc giảm xuống với những khả năng xảy ra khác nhau. Một phân phối xác suất nhị phân là một phân phối xác suất có tất cả hai kết quả hoặc hai trạng thái. Xác suất của một biến động tăng hoặc giảm được chi phối bởi phân phối xác suất nhị phân. Vì lý do này mà mô hình còn được gọi là mô hình hai trạng thái. Một thời kỳ nghĩa là dựa trên giả định đời sống quyền chọn chỉ còn 1 đơn vị thời gian. Mô hình nhị phân một thời kỳ Khi quyền chọn hết hiệu lực thì cổ phiếu có thể nhận một trong hai giá trị sau: Nó có thể tăng lên theo một tham số u hoặc giảm xuống theo một tham số d. Nếu nó tăng lên thì giá cổ phiếu sẽ là Su. Nếu giá cổ phiếu giảm xuống thì nó sẽ là Sd. Mô hình nhị phân một thời kỳ Xem xét một quyền chọn mua cổ phiếu với giá thực hiện là X và giá hiện tại là C. Khi quyền chọn hết hiệu lực, giá của nó sẽ là Cu hoặc Cd. Bởi vì tại ngày hiệu lực, giá của quyền chọn là giá trị nội tại của nó nên: Cu = Max[0,Su – X] Cd = Max[0,Sd – X] Mô hình nhị phân một thời kỳ Mô hình nhị phân một thời kỳ Mục tiêu của mô hình này là xây dựng một công thức để tính toán giá trị lý thuyết của quyền chọn, biến số C. Công thức tìm C được phát triển bằng cách xây dựng một danh mục phi rủi ro của cổ phiếu và quyền chọn. Danh mục phi rủi ro này được gọi là một danh mục đã được phòng ngừa rủi ro (hedge portfolio), từ đây chúng tôi sẽ gọi tắt là danh mục phòng ngừa, nó bao gồm h cổ phần và một vị thế bán quyền chọn mua. Mô hình nhị phân một thời kỳ Giá trị hiện tại của danh mục được ký hiệu là V, với V = hS – C. là khoản tiền mà bạn cần để xây dựng danh mục này. Tại ngày đáo hạn, giá trị của danh mục hoặc là Vu nếu cổ phiếu tăng giá hoặc là Vd nếu cổ phiếu giảm giá. Sử dụng các ký hiệu đã định nghĩa ở trên chúng ta được: Vu = hSu – Cu Vd = hSd – Cd Mô hình nhị phân một thời kỳ Nếu kết quả của danh mục là không đổi bất chấp giá cổ phiếu biến động như thế nào thì danh mục được gọi là phi rủi ro. Khi đó, Vu = Vd. SdSu CCh du − −= Mô hình nhị phân một thời kỳ r1 C)p1(pCC du + −+= du dr1p − −+= Chúng ta được công thức định giá quyền chọn với p được tính bởi Mô hình nhị phân một thời kỳ Những biến số tác động đến giá quyền chọn mua là: • Giá cổ phiếu ở thời điểm hiện tại: S • Giá thực hiện: X • Lãi suất phi rủi ro: r • Hai tham số u và d, giải thích cho các khả năng về giá trong tương lai của cổ phiếu tại ngày đáo hạn của quyền chọn. Tại sao không có yếu tố thời gian đáo hạn? Mô hình nhị phân một thời kỳ Ví dụ minh họa Xem xét một cổ phiếu hiện tại đang có giá là $100. Một kỳ sau nó có thể tăng lên $125, một sự gia tăng 25% hoặc giảm xuống $80, một sự sụt giảm 20%. Giả sử một quyền chọn mua với giá thực hiện là $100. Lãi suất phi rủi ro là 7%. Mô hình nhị phân một thời kỳ Ví dụ minh họa = 0 = Max [0, 100(0,80) – 100] = Max [0, Sd – X]Cd = 25 = Max [0, 100(1,25) – 100] = Max [0, Su – X]Cu Mô hình nhị phân một thời kỳ Ví dụ minh họa 556,0 80125 025h =− −= 6,0 80,025,1 80,007,1 du dr1p =− −=− −+= 02,14 07,1 0)4,0(25)6,0(C =+= Tỷ số phòng ngừa h là: Do đó, giá trị lý thuyết của quyền chọn mua này là $14,02. Mô hình nhị phân một thời kỳ Danh mục phòng ngừa Mô hình nhị phân một thời kỳ Quyền chọn bị đánh giá cao Giả sử giá thị trường của quyền chọn mua là $15 V = 556($100) – 1.000($15) = $40.600 Vu = 556($125) – 1.000($25) = $44.500 Vd = 556($80) – 1.000(0) = $44.480 Tỷ suất sinh lợi phi rủi ro là: 096,01 600.40$ 500.44$rh ≈−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= , Mô hình nhị phân một thời kỳ Quyền chọn bị đánh giá thấp Giả sử quyền chọn mua được định giá là $13. Mua quyền chọn và bán khống cổ phiếu Khi đó các nhà đầu tư bán khống 556 cổ phần với giá $100, tạo ra một dòng tiền vào là 556($100) = $55.600. Bây giờ, nhà đầu tư mua 1.000 quyền chọn mua với giá $13 mỗi quyền chọn cho ra một khoản chi phí là $13.000. Điều này cho một dòng tiền vào thuần là $42.600. Mô hình nhị phân một thời kỳ Quyền chọn bị đánh giá thấp Nếu giá cổ phiếu tăng lên $125, nhà đầu tư mua lại cổ phiếu với 556($125) = $69.500. Ông ta thực hiện quyền chọn mua và thu được 1.000($125 – $100) = $25.000. Dòng tiền thuần là –$69.500 + $25.000 = –$44.500. Nếu giá cổ phiếu giảm xuống $80, nhà đầu tư sẽ mua lại và phải trả 556($80) = $44.480 trong khi quyền chọn hết hiệu lực mà không được thực hiện. Mô hình nhị phân một thời kỳ Quyền chọn bị đánh giá thấp Nhìn toàn thể giao dịch này giống một khoản nợ, trong đó nhà đầu tư nhận trước $42.600 và sau đó trả lại $44.500. Điều này tương đương với một mức lãi suất bằng ($44.500/$42.600 – 1) = 0,0446. Bởi vì giao dịch này tương đương với việc đi vay với lãi suất 4,46% và lãi suất phi rủi ro là 7% nên nó là một cơ hội đi vay hấp dẫn. Mô hình nhị phân hai thời kỳ Mô hình của chúng ta sẽ có ba thời điểm: • Ngày hôm nay là thời điểm 0, • Thời điểm 1 • Thời điểm 2 Mô hình nhị phân hai thời kỳ Mô hình nhị phân hai thời kỳ Mô hình nhị phân hai thời kỳ Các giá quyền chọn tại ngày đáo hạn là: Mô hình nhị phân hai thời kỳ 2 udu u pC (1 p)C C 1 r + −= + r1 C)p1(pC C 2dud d + −+= Sử dụng mô hình nhị phân một thời kỳ, giá quyền chọn Cu và Cd là: Mô hình nhị phân hai thời kỳ Để tính được giá quyền chọn mua vào thời điểm đầu kỳ, chúng ta chiết khấu bình quân có trọng số của hai mức giá khả thi trong tương lai của quyền chọn mua theo lãi suất phi rủi ro cho một thời kỳ. Do đó, mô hình nhị phân một thời kỳ là một công thức tổng quát có thể sử dụng cho mô hình đa thời kỳ khi chỉ còn lại một thời kỳ. r1 C)p1(pCC du + −+= Mô hình nhị phân hai thời kỳ Thay công thức tính Cu và Cd trên vào ta có công thức tổng quát của mô hình nhị phân 2 thời kỳ: 2 d 2 udu 2 )r1( C)p1(C)p1(p2Cp C 22 + −+−+= Mô hình nhị phân hai thời kỳ Chúng ta cần phải điểu chỉnh tỷ số phòng ngừa. Nếu giá cổ phiếu là Su thì chúng ta gọi tỷ số phòng ngừa mới là hu; nếu giá cổ phiếu là Sd thì tỷ số này sẽ là hd. SdSu CCh du − −= SudSu CC h 2 udu u 2 − −= 2 dud d SdSdu CC h 2 − −= Mô hình nhị phân hai thời kỳ Ví dụ minh họa Chúng ta mở rộng ví dụ trên trong trường hợp quyền chọn còn hiệu lực trong 2 thời kỳ nữa. Xem xét một cổ phiếu hiện tại đang có giá là $100. Một kỳ sau nó có thể tăng lên $125, một sự gia tăng 25% hoặc giảm xuống $80, một sự sụt giảm 20%. Giả sử một quyền chọn mua với giá thực hiện là $100. Lãi suất phi rủi ro là 7%. Mô hình nhị phân hai thời kỳ = 64. = 100(0,80)2Sd2 = 100 = 100(1,25)(0,80)Sud = 156,25 = 100(1,25)2Su2 Giá cổ phiếu tại ngày đáo hạn có thể là: Mô hình nhị phân hai thời kỳ Giá trị của quyền chọn mua tại ngày đáo hạn là: 2u C 2d C = 0. = Max(0, 64 – 100) = Max[0, Sd2 – X] = 0 = Max(0, 100 – 100) = Max[0, Sud – X]Cud = 56,25 = Max(0; 156,25 – 100) = Max[0, Su2 – X] Mô hình nhị phân hai thời kỳ Trước hết chúng ta tính giá trị của Cu và Cd: 54,31 07,1 0)4,0(25,56)6,0(Cu =+= 00,0 07,1 0)4,0(0)6,0(Cd =+= 69,17 07,1 0)4,0(54,31)6,0(C =+= > 14,02 Mô hình nhị phân hai thời kỳ Danh mục phòng ngừa 701,0 80125 00,054,31h =− −= = $52.410 (giá trị thuần)Đầu tư thuần = –$17.690 (nợ)Bán 1.000 quyền chọn mua với giá $17,69 = $70.100 (tài sản)Mua 701 cổ phần với giá $100 Mô hình nhị phân hai thời kỳ Mô hình nhị phân hai thời kỳ Quyền chọn mua bị định giá sai trong mô hình hai thời kỳ Nếu quyền chọn mua bị định giá thấp, chúng ta nên mua nó và bán khống h cổ phần. Nếu quyền chọn mua bị định giá cao, chúng ta nên bán nó và mua h cổ phần. Tỷ suất sinh lợi của hai thời kỳ là một trung bình nhân của hai tỷ suất sinh lợi một thời kỳ Mô hình nhị phân hai thời kỳ Quyền chọn mua bị định giá sai trong mô hình hai thời kỳ Mở rộng mô hình nhị phân Định giá quyền chọn bán Định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu hai thời kỳ có giá thực hiện là 100. 2u P 2d P = 36,00= Max(0, 100 – 64) = 0,00= Max(0, 100 – 100)Pud = 0,00= Max(0, 100 – 156,25) Mở rộng mô hình nhị phân Định giá quyền chọn bán Tại thời điểm 1, sử dụng cùng công thức mà chúng ta đã áp dụng cho quyền chọn mua: 00,0 07,1 0)4,0(0)6,0(Pu =+= 46,13 07,1 36)4,0(0)6,0(Pd =+= Mở rộng mô hình nhị phân Định giá quyền chọn bán Chiết khấu 1 thời kỳ theo lãi suất phi rủi ro. Bây giờ chúng ta tìm giá trị tại thời điểm 0: 03,5 07,1 46,13)4,0(0)6,0(P =+= Mở rộng mô hình nhị phân Định giá quyền chọn bán Tại thời điểm 0 tỷ số phòng ngừa là: 299,0 80125 46,130h −=− −= Mở rộng mô hình nhị phân Định giá quyền chọn bán Danh mục phòng ngừa : Giá trị danh mục: 299 cổ phần, vị thế mua 1.000 quyền chọn bán = $34.930Tổng cộng = $5.030 (bằng các quyền chọn bán)1.000($5,03) = $29.900 (bằng cổ phần)299($100) Mở rộng mô hình nhị phân Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm Trả lời cho câu hỏi Khi quyền chọn bán ở trạng thái cao giá ITM thì chúng ta có đáng để thực hiện sớm quyền chọn hay không? Mở rộng mô hình nhị phân Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm Trở lại với giá trị quyền chọn bán kiểu châu Âu đã được tính tại thời điểm 1. Giá trị của chúng là: 00,0 07,1 0)4,0(0)6,0(Pu =+= 46,13 07,1 36)4,0(0)6,0(Pu =+= khi giá cổ phiếu là $125 khi giá cổ phiếu là $80 Mở rộng mô hình nhị phân Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm Quyền chọn bán cao giá ITM một khoản $20. Vì vậy, chúng ta thực hiện quyền chọn, nghĩa là chúng ta thay thế giá trị Pd đã tính toán 13,46 bằng 20. Do đó, chúng ta bây giờ có Pu = 0 và Pd = 20. Khi đó giá trị tại thời điểm 0 là: 48,7 07,1 20)4,0(0)6,0(P =+= > 5,03 ? Mở rộng mô hình nhị phân Cổ tức, quyền chọn mua kiểu châu Âu và quyền chọn mua kiểu Mỹ được thực hiện sớm • Xem xét lại ví dụ hai thời kỳ mà chúng ta đã nói đến trong phần trước của chương này. • Giả định một tỷ lệ chi trả cổ tức cao một cách hợp lý là 10% • Giả sử cổ tức được chia và cổ phiếu ở trạng thái đã chia cổ tức tại thời điểm 1. Mở rộng mô hình nhị phân Mở rộng mô hình nhị phân Cổ tức, quyền chọn mua kiểu châu Âu và quyền chọn mua kiểu Mỹ được thực hiện sớm < 17,69 ? Mở rộng mô hình nhị phân Cổ tức, quyền chọn mua kiểu châu Âu và quyền chọn mua kiểu Mỹ được thực hiện sớm • Giả sử quyền chọn mua theo kiểu Mỹ và chúng ta chuyển từ thời điểm 0 đến thời điểm 1, • Giả định là giá cổ phiếu tăng lên 125. • Chúng ta có quyền thực hiện trước khi cổ phiếu được chia cổ tức, trả 100 và nhận được một cổ phiếu trị giá 125. • Do đó, giá trị quyền chọn tại thời điểm này là 25. 02,14 07,1 0)4,0(25)6,0(C =+= Mở rộng mô hình nhị phân Mở rộng hô hình nhị phân ra n thời kỳ • Khi tăng số thời kỳ trong đời sống của một quyền chọn thì giá trị của nó sẽ hội tụ về một con số. • Nếu chúng ta thu được một số lượng n cần thiết để đạt được sự miêu tả một cách chính xác những gì diễn ra cho cho giá cổ phiếu trong suốt đời sống quyền chọn. • Chúng ta có thể tự tin rằng giá trị quyền chọn mà chúng ta tính được sẽ phản ánh gần như chính xác giá trị trong thực tế của quyền chọn. Giá trị của quyền chọn khi n tiến tới vô cực sẽ có một tên gọi rất đặc biệt, được gọi là giá trị BLACK - SCHOLE