Bài giảng phương trình vô tỉ
Đây là khóa học hoàn toàn miễn phí dành tặng cho Mooners và tất cảcác em học sinh trên khắp cảnước
khi tham gia vào hệthống học trực tuyến Moon.vn.
Cuốn sách này bao gồm một hệthống các bài tập có lời giải chi tiết vềphần phương trình, là học liệu giúp
các em khai thác tối đa khóa học.
Các phương pháp, kĩnăng giải toán, các ví dụminh họa đã được thầy trình bày trong các bài giảng của
khóa học, các em hãy truy cập Moon.vn →Khóa Chinh phục PT và hệPT đểhiểu rõ hơn nhé.
Nội dung tài liệu Bài giảng phương trình vô tỉ, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
2 5 0
3 2 1 5 1
x x x x
x x x x
⇔ − + + − − + =
+ − + + −
(2)
Với 2 2 101 5 1 1 1 2
3 3 3
x x x≥ ⇒ + + − ≥ + + − > và 23 2 .
3
x x+ − ≥
( )221 1 1 1 3 12 5 1 4 4 0.2 2 2 23 2 1 5 1
3
x x x
x x x x
⇒ + − − + ≤ + − − + ≤ + − =
+ − + + −
Do đó ( ) 2 12 3 2 0
2
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
1
2
x
x
=
=
Câu 30 [ĐVH]: Giải phương trình ( )2 23 2 3 5 1 3 2 3 2 3 3.x x x x x x x x− + − + − + + = + +
Lời giải
ĐK: ( )2 * .
3
x ≥ Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )21 3 2 3 1 5 1 3 2 3 2x x x x x x x x⇔ − − + + − − = − + +
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( ) ( ) ( ) ( )
22
23 2 1 5 13. 3 2 3 2
3 2 1 5 1
x x x x x
x x x
x x x x
− + + − −
⇔ + = − + +
+ − + + −
( ) ( ) ( )
2 2
23 2 3 3 2 3 2 3 2
3 2 1 5 1
x x x x x
x x x
x x x x
− + − +
⇔ + = − + +
+ − + + −
( )2 33 2 3 2 0
3 2 1 5 1
x
x x x
x x x x
⇔ − + + − + =
+ − + + −
(2)
Với 2 2 10 5 21 5 161 5 1 1 1 3.
3 3 3 3 3
x x x
+ +
≥ ⇒ + + − ≥ + + − = > =
3 31 3 2 1 2 2 0.
33 2 3 2 1 5 1
x x x
x
xx x x x x x
≤ = ⇒ + − + < + − + =
+ − + − + + −
Do đó ( ) 2 12 3 2 0
2
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
1
2
x
x
=
=
Câu 31 [ĐVH]: Giải phương trình ( )3 2 21 2 3 3 1 3 2 3.x x x x x x x x− + − + + = + + − + +
Lời giải
ĐK: ( )1 * .x ≥ Nhận thấy 1x = là một nghiệm của (1). Ta xét với 1.x >
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )3 2 21 2 3 1 1 1 3 2 3x x x x x x x x x⇔ − + + − − + − − − = − + + (2)
( ) ( ) ( )
2 23 2
2
3 2
3 1 1 1
2. 3 2 3
1 13 1
x x x x x x
x x x
x xx x x x
− + + − + − − −
⇔ + = − + +
− + −
− + + + +
( ) ( )
3 2 2
2
3 2
2 2 2 3 2 3 2 3
1 11 3
x x x x x
x x x
x xx x x x
− − +
− +
⇔ − = − + +
− + −+ + − + +
( )( ) ( )
2 2
2
3 2
2 1 3 2 3 2 3 2 3
1 11 3
x x x x x
x x x
x xx x x x
+ − +
− +
⇔ − = − + +
− + −+ + − + +
( ) ( )2
3 2
2 1 13 2 3 0
1 11 3
x
x x x
x xx x x x
+
⇔ − + − − + =
− + −+ + − + +
(3)
Với ( ) ( )
3 2
2 1 2 111 3 1 3 0.
11 11 3
x x
x x
xx xx x x x
+ +
> ⇒ − − + < − + =
+
− + −+ + − + +
Do đó ( ) 2 13 3 2 0
2
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
Kết hợp với ĐK đang xét 1x > ta được 2x = thỏa mãn.
Đ/s:
1
2
x
x
=
=
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Câu 32 [ĐVH]: Giải phương trình 23 3 3 1 5 4x x x x− + = + + + trên tập số thực.
Lời giải
Điều kiện: 4
5
x ≥ − , phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )23 3 1 3 1 2 5 4 0x x x x x x− + + − + + + − + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2
2
2
1 3 1 2 5 4
3 0
1 3 1 2 5 4
3 0
1 3 1 2 5 4
1 1 3 0
1 3 1 2 5 4
0 0; 1
1 1 3 0
1 3 1 2 5 4
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + + − +
⇔ − + + =
+ + + + + +
− −
⇔ − + + =
+ + + + + +
⇔ − + + =
+ + + + + +
− = ⇔ = =
⇔
+ + = ∗
+ + + + + +
Với điều kiện 4
5
x ≥ − thì 1 1 3 0
1 3 1 2 5 4x x x x
+ + >
+ + + + + +
nên ( )∗ vô nghiệm.
Do đó phương trình có hai nghiệm là 0; 1x x= = .
Câu 33 [ĐVH]: Giải phương trình 4 33 3 4 1x x x x− + = − + + trên tập số thực.
Lời giải
Điều kiện: 4 1x≥ ≥ − , phương trình đã cho tương đương với
( )4 3 3 6 33 4 1 3 3 4 1
3 3
x x
x x x x x x x x
− +
− = − + + − ⇔ − = − − + + −
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3
2 2
2 2
2 2
2
2
3 3 3 4 6 3 1 3
3 33 3
3 4 6 3 1 3
1 13 3 0
3 4 6 3 1 3
3 0 0; 3
1 13 0
3 4 6 3 1 3
x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
⇔ − = − − − + + − +
− + − +
⇔ − = +
− + − + + +
⇔ − + + =
− + − + + +
− = ⇔ = =
⇔
+ + = ∗
− + − + + +
Với điều kiện 2
6 0 1 11 4 3 0
3 0 3 4 6 3 1 3
x
x x
x x x x x
− >
− ≤ ≤ ⇒ ⇒ + + >
+ >
− + − + + +
nên ( )∗ vô nghiệm.
Do đó phương trình có hai nghiệm là 0; 3x x= = .
Câu 34 [ĐVH]: Giải phương trình ( ) ( )6 3 5 42 3 1 3 2 0
1 3 1
x
x x x x
x
− +
+ + − − + = ∈
+ +
R
Lời giải
Điều kiện: 1
3
x ≥ − , phương trình đã cho tương đương với
( ) ( ) 6 3 5 41 3 1 3 1 3 1 1 0
1 3 1
x
x x x x
x
− +
+ + − + + + − + =
+ +
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2
3 1 1 1 3 1 6 3 5 4
3 1 1 3 1 0
1 3 1
3 2 5 43 1 3 1 3
0 0
1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 2 5 4
3 1 3 0
1 3 1 1 3 1 2 5 4
x x x
x x x
x
x xx x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x x
x x x x x
+ − + + + − +
⇔ + + − + + =
+ +
+ − +
− + − + −
⇔ + = ⇔ + =
+ + + + + + + + + + + + +
+ ⇔ − + = ∗
+ + + + + + + +
Với điều kiện ta có ( )( )
1 01 3 1 3
2 03 1 3 1 1 3 1 2 5 4
x x
x
x x x x x x
+ > +
≥ − ⇒ ⇒ +
+ > + + + + + + + +
do đó phương
trình ( )∗ trở thành ( ) 2 00
1
x
x x
x
=
∗ ⇔ − = ⇔
=
. Vậy phương trình có hai nghiệm kể trên.
Câu 35 [ĐVH]: Giải phương trình ( )( ) ( )2 22 4 16 7 3 3 1x x x x x x+ + = − + + + ∈R
Lời giải
Điều kiện: 7
16
x ≥ , phương trình đã cho tương đương với
( )( )2 22 1 16 7 3 3 3 1 0x x x x x+ − − + + − + + =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 1 16 7 3 3 3 1 0
3 3 22 1 16 7
0
2 1 16 7 3 3 1
4 3 2 3 3 2
0
2 1 16 7 3 3 1
4 33 2 0
2 1 16 7 3 3 1
3 2 0 1; 2
4 3
2 1 16 7 3 3 1
x x x x x
x x xx x
x x x x
x x x x x
x x x x
x
x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
⇔ + − − + + + − + =
+ − ++ − −
⇔ + =
+ + − + + +
− + + − +
⇔ + =
+ + − + + +
+
⇔ − + + =
+ + − + + +
− + = ⇔ = =
⇔ +
+
+ + − + + +
( )0
> ∗
Với điều kiện 7
16
x ≥ thì
2
2
4 3 0
2 1 16 7 3 3 1
x
x x x x
+
+ >
+ + − + + +
nên ( )∗ vô nghiệm.
Do đó phương trình có hai nghiệm là 1; 2x x= = .
Câu 36 [ĐVH]: Giải phương trình 23 10 4 4 1 6x x x x− + = − + .
Lời giải.
Điều kiện 1
4
x ≥ .
Phương trình tương đương ( )24 1 1 6 3 4 1 0x x x x x x− − + + − + − + =
( ) ( )2 2 2 24 1 4 1 1 13 4 1 0 4 1 3 0
4 1 1 6 4 1 1 6
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
− + − +
⇔ + + − + = ⇔ − + + + =
+ − + + + − + +
Ta có 1 1 13 0,
44 1 1 6
x
x x x x
+ + > ∀ ≥
+ − + +
nên thu được 2 4 1 0 2 3; 2 3x x x x− + = ⇔ = + = − .
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm { }2 3;2 3S = + − .
Câu 37 [ĐVH]: Giải phương trình 28 10 5 7 2 11 1x x x x− + = − + − .
Lời giải.
Điều kiện 2
7
x ≥ . Phương trình tương đương
( )
( )
2
2 2
2
2
2 7 2 2 1 11 1 8 14 4 0
4 7 2 4 7 2 2 4 7 2 0
2 7 2 2 1 11 1
1 14 7 2 2
2 7 2 2 1 11 1
x x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
− − + + − − + − + =
− + − +
⇔ + + − + =
+ − + + −
⇔ − + + +
+ − + + −
Vì 1 1 22 0,
72 7 2 2 1 11 1
x
x x x x
+ + > ∀ ≥
+ − + + −
nên thu được
2 7 17 7 174 7 2 0 ;
8 8
x x x
+ −
− + = ⇔ ∈
.
Đối chiếu điều kiện ta có tập hợp nghiệm 7 17 7 17;
8 8
S
+ −
=
.
Câu 38 [ĐVH]: Giải phương trình 3 29 11 7 2 11 1 23 3x x x x x− + + = − + + .
Lời giải.
Điều kiện 1
11
x ≥ . Phương trình tương đương
( )
( )
3 2
2 2
2
2
3 11 1 3 2 23 3 9 11 0
9 11 1 9 11 1 9 11 1 0
3 11 1 3 2 23 3
1 19 11 1 0
3 11 1 3 2 23 3
x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
− − + + − + + − + =
− + − +
⇔ + + − + =
+ − + + +
⇔ − + + + =
+ − + + +
Rõ ràng 1 1 10,
113 11 1 3 2 23 3
x x
x x x x
+ + > ∀ ≥
+ − + + +
nên ta có
2 11 85 11 859 11 1 0 ;
18 18
x x
+ −
− + = ⇔
.
So sánh với điều kiện đi đến 11 85 11 85;
18 18
S
+ −
=
.
Câu 39 [ĐVH]: Giải phương trình 2 5 24 6 11 7xx x x
x
−
− + = + + .
Lời giải.
Điều kiện 2
5
x ≥ . Phương trình tương đương
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( )
( )
( )
3 2
2 3 2
3 2
2 2
2
2
4 6 5 2 11 7
5 2 3 11 7 5 2 0
5 2 3 11 7 5 2 0
5 2 5 2
. 5 2 0
5 2 3 11 7
15 2 0
5 2 3 11 7
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x
x x x x
− + = − + +
⇔ − − + + − + + − + =
⇔ − − + + − + + − + =
− + − +
⇔ + + − + =
+ − + + +
⇔ − + + + =
+ − + + +
Ta thấy 1 20,
55 2 3 11 7
x
x x
x x x x
+ + > ∀ ≥
+ − + + +
nên 2 5 17 5 175 2 0 ;
2 2
x x x x
+ −
− + = ⇔ = = .
Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm, 5 17 5 17;
2 2
S
+ −
=
Câu 40 [ĐVH]: Giải phương trình ( ) ( )3 23 4 1 3 1 3 7x x x x x x x− + + = − + + ∈ .
Lời giải.
Điều kiện 1
3
x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2
2
3 1 2 1 3 7 3 1 0
3 1 3 1 3 1 0
3 1 2 1 3 7
1 13 1 0 1
3 1 2 1 3 7
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
− − + + − + + − + =
− + − +
⇔ + + − + =
+ − + + +
⇔ − + + + =
+ − + + +
Ta thấy
2
1 1 10,
33 1 2 1 3 7
x x
x x x x x
+ + > ∀ ≥
+ − + + +
nên ( )
2 3 1 0 3 51 1 2
3
x x
x
x
− + =
+
⇔ ⇔ =
≥
.
Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất kể trên.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
luyen_thi_toan_thpt_quoc_gia_phuong_trinh_vo_ti_4469.pdf
