Bài giảng Phương trình lượng giác không mẫu mực

CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM ⎧A ≥∧0B0 ≥ Áp dụng Nếu ⎨ thì A = B = 0 ⎩AB0+= Bài 156 Giải phương trình: 4cos22 x+− 3tg x 4 3cosx + 2 3tgx += 4 0 (*) Ta có: 22 (*)⇔−++() 2 cos x 3( 3tgx 1) = 0 ⎧ 3 ⎪cos x = ⎪ 2 ⇔ ⎨ 1 ⎪tgx =− ⎩⎪ 3 ⎧ π xk2,k=± + π ∈ ⎪ 6 ⇔ ⎨ 1 ⎪tgx =− ⎩⎪ 3 π ⇔=−+xk2,k π ∈ 6 Bài 157 Giải phương trình: 8cos4x.cos2 2x+− 1 cos3x += 1 0( *) Ta có: ()*⇔ 4cos4x( 1+++− cos4x ) 1 1 cos3x= 0 ⇔+++−()4cos2 4x 4cos4x 1 1 cos3x= 0 ⇔++−=()2cos4x 12 1 cos3x 0 ⎧⎧11 ⎪⎪cos 4x=− cos 4x =− ⇔⇔⎨⎨22 ⎪⎪ ⎩⎩cos 3x==π∈ 1 3x k2 , k ⎧ 1 cos 4x =− ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪ k2π x=∈ , k (có 3 đầu ngọn cung) ⎩⎪ 3 ⎧ 1 cos 4x =− ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪ 22ππ x=− +m2hay π xm2hayxm2,m = π = + π ∈ ⎩⎪ 33 2π ⇔=±xm2,m + π ∈ 3 (ta nhận k= ±1 và loại k = 0 ) Bài 158 Giải phương trình: sin2 3x sin23 x ++=()cos 3x sin x sin 3x cos3 x sin x sin2 3x() * 3sin4x Ta có: cos 3x.sin33 3x+ sin 3x.cos x =−()4cosx33 3cosxsinx +−( 3sinx 4sinxcosx 3) 3 =−3 cos x sin33 x+ 3sin x cos x= 3sin x cos x() cos 2 x− sin2 x 33 ==sin 2x.cos 2x sin 4x 24 1 Vậy:() *⇔+ sin22 x sin 3x = sin x sin 2 3x và sin 4x≠ 0 4 2 ⎛⎞111242 ⇔−−+=⎜⎟sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 và sin 4x≠ 0 ⎝⎠244 2 ⎛⎞11222 ⇔−+⎜⎟sin 3x sin x sin 3x() 1 −= sin 3x 0 và sin 4x≠ 0 ⎝⎠24 2 ⎛⎞1122 ⇔−+=⎜⎟sin 3x sin x sin 6x 0 và sin 4x≠ 0 ⎝⎠216 ⎧sin 4x≠ 0 ⎪ ⎪1 ⇔=⎨ sin2 3x sin x ⎪2 ⎩⎪sin3x0cos3x0=∨ = ⎧sin 4x≠ 0 ⎧sin 4x≠ 0 ⎪ ⎪⎪1 ⇔=∨=⎨⎨sin 3x 0 sin x ⎪⎪2 ⎩sin x= 0 (VN) ⎩⎪sin 3x= ± 1 ⎧sin 4x≠ 0 ⎪ ⎪ 1 ⇔=⎨sin x ⎪ 2 3 ⎩⎪3sinx−= 4sin x± 1 ⎧sin 4x≠ 0 ⎪ ⇔ ⎨ 1 sin x = ⎩⎪ 2 ⎧sin 4x≠ 0 ⎪ ⇔ ⎨ ππ5 xk2=+ π∨ + k2,k π∈ ⎩⎪ 66 ππ5 ⇔=+π∨=xk2x +π∈ k2,k 66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập ⎧A ≤≤MB Nếu ⎨ thì A = BM= ⎩AB= Bài 159 Giải phương trình: sin44 x−=+ cos x sin x cos x (*) Ta có: (*) ⇔−=+sin22 x cos x sin x cos x ⇔−cos 2x = sin x + cos x ⎪⎧cos 2x≤ 0 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪cos 2x=+ 1 2 sin x cos x ⎪⎧cos 2x≤ 0 ⎧cos 2x≤ 0 ⇔⇔⎨⎨2 ⎩⎪−=sin 2x 2 sin 2x ⎩sin 2x= 0 (cos 2x=± 1 ) ⇔=−cos 2x 1 π ⇔=+π∈xk,k 2 Cách khác Ta có sin44x−≤ cos x sin 4 x ≤≤+ sin x sin x cos x ⎪⎧cos x= 0 π Do đó (*) ⇔⇔=⎨ 4 cos x 0 ⇔ xk,k=+π∈ ⎩⎪sin x= sin x 2 Bài 160: Giải phương trình: ()cos 2x−=+ cos 4x2 6 2sin 3x (*) Ta có: (*) ⇔=4 sin22 3x.sin x 6+ 2sin 3x • Do:sin2 3x≤ 1 và sin2 x≤ 1 nên 4sin22 3xsin x≤ 4 • Do sin 3x≥− 1 nên 62+ sin3x≥ 4 Vậy 4 sin22 3x sin x≤≤+ 4 6 2sin 3x Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi ⎧sin2 3x= 1 ⎪ ⎧sin2 x= 1 ⎨⎨sin2 x=⇔ 1 sin 3x= − 1 ⎪ =− ⎩ ⎩sin 3x 1 ⎧ π ⎪xk2,k=± + π ∈ π ⇔⇔⎨ 2 xk2,k=+π∈ 2 ⎩⎪sin 3x=− 1 cos33 x− sin x Bài 161 Giải phương trình: = 2cos2x(*) sin x+ cos x Điều kiện: sin x≥∧ 0 cos x ≥ 0 Ta có: (*) ⇔−()cos x sin x( 1 + sin x cos x ) = 2( cos22 x − sin x)( sin x + cos x ) ⎡cos x−= sin x 0 (1) ⇔ ⎢ 1+=+ sin x cos x 2 cos x sin x sin x + cos x (2) ⎣⎢ ()() π Ta có: (1) ⇔=⇔=+π∈tgx 1 x k , k 4 Xét (2) Ta có: khi sin x≥ 0 thì sin x≥≥ sin x sin2 x Tương tự cos x≥≥ cos x cos2 x Vậy sin x+≥ cos x 1 và sin x+ cos x≥ 1 Suy ra vế phải của (2) thì ≥ 2 13 Mà vế trái của (2): 1sin2x+≤ 22 Do đó (2) vô nghiệm π Vậy: (*) ⇔=+π∈xk,k 4 Bài 162: Giải phương trình: 3−− cos x cos x += 1 2(*) Ta có: (*) ⇔−3cosx =+ 2 cosx1 + ⇔−3cosx =+ 5cosx4cosx1 + + ⇔−2cosx() + 1 = 4 cosx + 1 Ta có: −+≤2cosx( 1) 0∀ x mà 4cosx+≥∀ 1 0x Do đó dấu = của (*) xảy ra ⇔ cos x=− 1 ⇔ xk2,k=π+ π ∈ Bài 163: Giải phương trình: cos 3x+− 2 cos22 3x = 2( 1 + sin 2x) (*) Do bất đẳng thức Bunhiacốpski: AXBY+≤ A222 + B.X + Y2 nên: 1cos3x+− 1 2 cos222 3x ≤ 2. cos 3x +−( 2 cos 3x) = 2 Dấu = xảy ra ⇔=−cos3x 2 cos2 3x ⎧cos 3x≥ 0 ⇔ ⎨ 22 ⎩cos 3x=− 2 cos 3x ⎧cos 3x≥ 0 ⇔⇔⎨ cos 3x= 1 ⎩cos 3x=± 1 Mặt khác: 21()+≥ sin2 2x 2 dấu = xảy ra ⇔=sin 2x 0 Vậy: cos3x+− 2 cos22 3x ≤≤ 2 2( 1 + sin 2x) dấu = của (*) chỉ xảy ra khi: cos 3x=∧ 1 sin 2x = 0 ⎧cos 3x= 1 ⎪ ⇔ ⎨ kπ x,k(có4đầungọncun=∈ g) ⎩⎪ 2 ⇔=x2m,m π ∈ 22 5⎛⎞π Bài 164: Giải phương trình: tg x+= cotg x 2sin⎜⎟ x + (*) ⎝⎠4 Điều kiện: sin 2x≠ 0 • Do bất đẳng thức Cauchy: tg22 x+ cotg x≥ 2 dấu = xảy ra khi tgx= cotgx ⎛⎞π • Mặt khác: sin⎜⎟ x+ ≤ 1 ⎝⎠4 5 ⎛⎞π nên 2sin⎜⎟ x+≤ 2 ⎝⎠4 ⎛⎞π dấu = xảy ra khi sin⎜⎟ x+ = 1 ⎝⎠4 22 5⎛⎞π Do đó: tg x+≥≥ cotg x 2 2sin⎜⎟ x + ⎝⎠4 ⎧tgx= cotgx ⎪ Dấu = của (*) xảy ra ⇔ ⎨ ⎛⎞π ⎪sin⎜⎟ x+ = 1 ⎩ ⎝⎠4 ⎧tg2 x= 1 ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪xk2,k= +π∈ ⎩ 4 π ⇔=+xk2,k π∈ 4 Trường hợp 3: ⎧⎧A ≤≤MvàB M A= M Áp dụng: Nếu ⎨⎨thì ⎩⎩A +=BMN + BN = ⎧sin u= 1 sin u+=⇔ sin v 2 ⎨ ⎩sin v= 1 ⎧sin u= 1 sin u−=⇔ sin v 2 ⎨ ⎩sin v= − 1 ⎧sin u= − 1 sin u+=−⇔ sin v 2 ⎨ ⎩sin v= − 1 Tương tự cho các trường hợp sau sin u±=± cos v 2 ; cos u ±=± cos v 2 3x Bài 165: Giải phương trình: cos 2x+−= cos 2 0() * 4 3x Ta có: ()*cos2xcos⇔+=2 4 3x Do cos 2x≤ 1 và cos≤ 1 4 nên dấu = của (*) chỉ xảy ra ⎧cos 2x= 1 ⎧xk,k=π ∈ ⎪⎪ ⇔⇔⎨⎨3x 8hπ ⇔=πx8m,m∈ cos= 1 x,h=∈ ⎩⎪⎪4 ⎩ 3 8hπ 8h Do : kπ= ⇔k = 33 để k nguyên ta chọn h=∈Ζ 3m() m ( thì k = 8m ) Cách khác ⎧⎧cos 2x==π∈ 1 x k , k ⎪⎪ ⎨⎨3x ⇔⇔3kπ x8m,m=π∈ cos== 1 cos 1 ⎩⎩⎪⎪44 Bài 166: Giải phương trình: cos2x++= cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x+ 2() * cos2x++ cos 4x cos 6x = 2cos 3x cos x + 2cos2 3x− 1 = 2cos3x() cosx+− cos3x 1 =−4 cos3x.cos2x.cos x 1 1 Vậy: cos 3x.cos 2x.cos x= () cos 2x++ 6cos 4x cos 6x+ 1 4 Do đó: 19 ()*⇔++= cos 2x cos 4x cos 6x() cos2x ++ cos 4x cos6x + 44 39 ⇔++=()cos2x cos4x cos6x 44 ⇔ cos2x++= cos4x cos6x 3 ⎧⎧cos 2x==π∈ 1 2x k2 , k (1) ⎪⎪ ⇔=⇔=⎨⎨cos 4x 1 cos 4x 1 (2) ⎪⎪ ⎩⎩cos 6x== 1 cos 6x 1 (3) ⇔2x = k2 π∈⇔=π∈ ,k x k ,k ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+=( ) Ta có: ⎛⎞13⎛ 31⎞ ()*⇔=− 2⎜⎟ cos 2x + sin 2x +⎜ sin x + cos x⎟ ⎝⎠22⎝ 22⎠ ⎛⎞⎛ππ⎞ ⇔=2sin2x⎜⎟⎜ − + sinx +⎟ ⎝⎠⎝66⎠ ⎧π⎛⎞ ⎧ ππ ⎪sin⎜⎟ 2x−= 1 2x− =+ k2 π∈ , k ⎪⎝6 ⎠⎪ 62 ⇔⇔⎨⎨ ⎪⎪⎛⎞π ππ sin x+= 1 xh2,h+=+ π∈ ⎪ ⎜⎟ ⎩⎪ 62 ⎩ ⎝⎠6 ⎧ π xk,k=+π∈ ⎪ 3 π ⇔⇔⎨ xh,h=+π∈ ⎪ π 3 xh2,h=+ π∈ ⎩⎪ 3 Cách khác ⎧π⎛⎞ ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ 2x−= 1 ⎪sin⎜⎟ 2x−= 1 ⎪⎝6 ⎠ ⎪⎝⎠6 (*) ⇔⇔⎨⎨ ⎪⎪⎛⎞π ππ sin⎜⎟ x+= 1 xh2,h+ =+ π∈ ⎩⎪⎪⎝⎠6 ⎩ 62 ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ 2x−= 1 ⎪ ⎝⎠6 π ⇔⇔⎨ xh,h=+π∈ ⎪ π 3 xh2,h=+ π∈ ⎩⎪ 3 Bài 168: Giải phương trình: 4cosx2cos2xcos4x1*−−=() Ta có:()*⇔ 4 cos x−−−− 2( 2cos22 x 1) ( 1 2sin 2x) = 1 ⇔−4cosx 4 cos222 x + 8sin x cos x = 0 ⇔=cos x 0 hay 1 −+ cos x 2 sin2 x cos x = 0 ⇔=cos x 0 hay 1 + cos x 2 sin2 x −= 1 0 ( ) ⇔=cos x 0 hay 1 − cos x cos 2x = 0 ( * *) 1 ⇔=cos x 0 hay 1 −() cos 3x + cos x = 0 2 ⇔=∨cos x 0 cos 3x += cos x 2 ⎧cos 3x= 1 ⇔=∨cos x 0 ⎨ ⎩cos x= 1 ⎧cos x= 1 ⇔=⇔ cos x 0 ⎨ 3 ⎩4cos x− 3cosx= 1 ⇔=∨=cos x 0 cos x 1 π ⇔=+π∨=xkxk2,k π∈ 2 Cách khác ( * *)⇔= cos x 0 hay cos x cos 2x= 1 ⎧⎧cos x== 1 cos x− 1 ⇔=∨cos x 0 ⎨⎨ ∨ ⎩⎩cos2x= 1 cos2x=− 1 π ⎧⎧xk2,k=π∈ x =π+ k2,k π∈ (loại) ⇔=+π∈∨xk,k ⎨⎨∨ 2 ⎩⎩cos 2x== 1 cos 2x− 1 π ⇔=+π∨=xkxk2,k π∈ 2 Bài 169: Giải phương trình: 1 tg2x++ tg3x =0() * sin x cos 2x cos 3x Điều kiện: sin 2x cos 2x cos 3x≠ 0 Lúc đó: sin 2x sin 3x 1 ()*0⇔++ = cos2x cos3x sin x.cos2x.cos3x ⇔+sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x+ 1= 0 ⇔++sin x() sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1= 0 ⇔=sin x.sin 5x− 1 1 ⇔−()cos6x − cos4x =− 1 2 ⇔−=cos 6x cos 4x 2 ⎧⎧tcos2x== tcos2x ⎧cos 6x= 1 ⎪⎪ ⇔⇔−=⇔−⎨⎨4t33 3t 1 ⎨ 4t 3t= 1 cos 4x=− 1 ⎩ ⎪⎪2 ⎩⎩2t−=− 1 1 t0= Do đó: (*) vô nghiệm. Cách khác ⎧⎧sin x= 1 sin x=− 1 ⇔=sin x.sin 5x− 1 ⇔⎨⎨hay ⎩⎩sin 5x= −= 1 sin 5x 1 ⎧⎧ππ ⎪⎪xk2,k=+ π∈ x =−+ k2,k π∈ ⇔ ⎨⎨22hay ⎩⎩⎪⎪sin 5x=− 1 sin 5x= 1 ⇔∈∅x Bài 170: Giải phương trình: cos22 3x.cos 2x−= cos x 0( *) 11 Ta có: ()*⇔ () 1+−+ cos6x cos2x() 1 cos2x= 0 22 ⇔ cos 6x cos 2x= 1 1 ⇔ ()cos 8x+= cos 4x 1 2 ⇔+=cos 8x cos 4x 2 ⎧cos 8x= 1 ⇔ ⎨ ⎩cos 4x= 1 ⎧2cos2 4x−= 1 1 ⇔ ⎨ ⎩cos 4x= 1 ⎧cos2 4x= 1 ⇔ ⎨ ⎩cos 4x= 1 ⇔=cos 4x 1 ⇔=π∈4x k2 ,k kπ ⇔=x,k ∈ 2 Cách khác ⇔=cos 6x cos 2x 1 ⎧⎧cos2x= 1 cos2x=− 1 ⇔ ⎨⎨hay ⎩⎩cos6x= 1 cos6x=− 1 ⎧⎧2x=π∈ k2 , k 2x =π+π∈ k2 , k ⇔ ⎨⎨hay ⎩⎩cos 6x== 1 cos 6x− 1 kπ x,k=∈ 2 Cách khác ⎧⎧cos8x== 1 cos8x 1 ⎨⎨⇔ ⎩⎩cos 4x==π∈ 1 4x k2 , k kπ ⇔=x,k ∈ 2 Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax là hàm giảm khi 0< a <1. Do đó ta có mn π sinxxnmxkk∀≠+∈ sin , π , 2 π cosxcoxnmxmn∀≠+ s , kkπ , ∈ 2 sinx mn≤⇔≥ sin xnm,∀x cosx mn≤⇔≥co s x n m,∀ x x2 Bài 171: Giải phương trình: 1cosx−= ()* 2 x2 Ta có: ()*1⇔= + cosx 2 x2 Xét ycosxtrên=+ R 2 Ta có: y'=−x sinx và y''= 1−≥∀∈ cosx 0 x R Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R Vậy ∀∈x0,:x0nêny'xy'0() ∞ > ( ) >( ) =0 ∀∈−∞x,0:x0nêny'xy'0() < ( ) <( ) =0 Do đó: x2 Vậy : ycosx1x=+ ≥∀∈R 2 Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0 Do đó ()*x0⇔ =• Bài 172: Giải phương trình sin46810x +=+ sinxx sin sin x (*) Ta có ⎧sin48xx≥ sin và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin2 x = 1hay sinx = 0 ⎪ ⎨ 610 2 ⎩⎪ sinxx≥ sin và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0 ⇔ sin2x = 1 ∨ sinx = 0 π ⇔ x = ± + kxkk22ππ∨=, ∈ 2 Cách khác (*) ⇔=sin42x 01hay +=+sinxx sin4 sin6 x ⇔=sinx 01hay sin2 x = BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. lg() sin23 x−+ 1 sin x = 0 ⎛⎞π 2. sin 4x−=+ cos 4x 1 4 2 sin⎜⎟ x − ⎝⎠4 1 3. sin22 x+= sin 3x sin x.sin 2 3x 4 4. π=sin x cos x 5. 2 cos x+=+ 2 sin10x 3 2 2 cos 28x.sin x 6.() cos 4x−=+ cos 2x2 5 sin 3x 7. sin x+= cos x 2( 2 − sin 3x) 8. sin 3x()( cos 2x−++− 2 sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2 cos 3x)= 0 9. tgx+=− tg2x sin 3x cos 2x 10. 2 loga2() cot gx= log () cos x ⎡⎤π 11. 2sin x =∈ cos x với x 0, ⎣⎦⎢⎥2 12. cos13 x+= sin14 x 1 13. cos 2x−+ cos 6x 4() sin 2x + 1= 0 14. sin x+= cos x 2( 2 − cos 3x) 15. sin33 x+=− cos x 2 sin 4 x 16. cos22 x−− 4 cos x 2x sin x ++ x 3= 0 17. 2sin x += sin x sin2 x + cos x 18. 3 cot g22 x+− 4 cos x 2 3 cot gx −+ 4 cos x 2= 0 Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)