Bài giảng Phương trình bậc nhất theo sin và cosin (phương trình cổ điển)

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN) asinu+= bcosu c() * .() a,b ∈ R\ 0 Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho ab22+ ≠ 0 ab Đặt cos α= và sin α= vớiα∈[] 0,2 π ab22++ab22 c Thì ()*⇔α+α= sin u cos cos u sin ab22+ c ⇔+α=sin() u ab22+ Cách 2 : Nếu uk2=π+ π là nghiệm của (*) thì : asinπ+ bcos π= c ⇔− b = c u Nếu uk≠π+2 π đặt ttg= thì (*) thành : 2 2t 1− t2 ab+=c 1t++22 1t ⇔+()b c t2 − 2at +−= c b 0( 1)( với b +≠ c 0) Phương trình có nghiệm ⇔ Δ='a2 −( cbcb +) ( −) ≥ 0 ⇔≥−⇔+≥acb222 abc 222 u Giải phương trình (1) tìm được t. Từ ttg= ta tìm được u. 2 ⎛26ππ⎞ Bài 87 : Tìm x,∈ ⎜⎟ thỏa phương trình : cos7x−=− 3 sin7x 2() * ⎝⎠57 Chia hai vế của (*) cho 2 ta được : 13 2 ()*cos7xsin7x⇔− =− 22 2 ππ2 ⇔−sin cos7x+ cos sin7x = 662 ⎛⎞ππ ⇔−=sin⎜⎟ 7x sin ⎝⎠64 ππ π3 π ⇔−=+π7x k2 hay 7x −=+h2π, (k, h∈ Z) 64 6 4 5k2ππ 11h2 ππ ⇔=xh +ayx = + ,k,h ∈ 84 7 84 7 ⎛26π π ⎞ Do x,∈ ⎜⎟ nên ta phải có : ⎝⎠57 25k26ππ ππ 211h26 π π ππ <+ <hay < + <( k, h ∈ ) 584 7 7 5 84 7 7 25k26 211h26 ⇔< + <hay < + <( k, h ∈ ) 584 7 7 584 7 7 Suy ra k = 2, h1,2= 5π 4ππ 53 11 2π 35 Vậy x =+=π∨=x +=π 84 7 84 84 7 84 11ππ 4 59 ∨=x + = π 84 7 84 Bài 88 : Giải phương trình 3sin3x−=+ 3cos9x 1 4sin3 3x( *) Ta có : ()*⇔ () 3sin 3x−− 4 sin3 3x 3 cos 9x= 1 ⇔−sin 9x 3 cos 9x= 1 131 ⇔−sin 9x cos 9x = 22 2 ⎛⎞ππ1 ⇔−==sin⎜⎟ 9x sin ⎝⎠32 6 ππ π5 π ⇔9x −=+ k2 π hay 9x −= +k2 π , k ∈ 36 3 6 ππk2 7 ππ k2 ⇔=xh +ayx, = +k ∈ 18 9 54 9 Bài 89 : Giải phương trình ⎛⎞1 tgx−−+ sin 2x cos 2x 2⎜⎟ 2cos x − =0() * ⎝⎠cos x Điều kiện : cos x≠ 0 sin x 2 Lúc đó : ()* ⇔−sin 2x − cos 2x + 4 cos x −= 0 cos x cos x ⇔−sin x sin 2x cos x − cos x cos 2x + 4 cos2 x −= 2 0 ⇔−sin x() 1 2cos2 x − cos x cos 2x + 2cos2x= 0 ⇔−sin x cos2x − cos x cos2x+ 2cos2x = 0 ⇔=−−+cos2x 0 hay sinx cosx 2= 0 ⎡cos 2x== 0() nhận do cos 2x 2 cos2 x− 1= 0 thì cos x≠ 0 ⇔ ⎢ ⎢sin x+= cos x 2 vô nghiệm vì 122+< 1 2 2 ⎣⎢ () π ⇔=2x() 2k + 1 , k ∈ 2 ππk ⇔=+x,k ∈ 42 31 Bài 90 : Giải phương trình 8sinx =+()* cos x sin x Điều kiện : sin 2x≠ 0 Lúc đó (*) ⇔=8sin2 xcosx 3sinx+ cosx ⇔−41() cos2xcosx = 3sinx + cosx ⇔−4 cos 2x cos x= 3 sin x − 3 cos x ⇔−2() cos 3x + cos x = 3 sin x − 3 cos x 31 ⇔=−cos 3x sin x + cosx 22 ⎛⎞π ⇔=+cos 3x cos⎜⎟ x ⎝⎠3 ππ ⇔=++π∨=−−+3x x k2 3x x k2π 33 πππk ⇔=+π∨=−xkx + ,k ∈ 6122 Nhận so vớiđiều kiện sin 2x≠ 0 Cách khác : (*) ⇔=+8sin2 xcosx 3sinx cosx ( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này ) ⇔−8(1 cos2 x) cos x = 3 sin x + cos x ⇔−8 cos x 8 cos3 x = 3 sin x + cos x ⇔−6 cos x 8 cos3 x = 3 sin x − cos x 13 ⇔−=−4 cos3 x 3 cos x cos x sin x 22 ⎛⎞π ⇔=+cos 3x cos⎜⎟ x ⎝⎠3 ππ ⇔=++π∨=−−+3x x k2 3x x k2π 33 πππk ⇔=+π∨=−xkx + ,k ∈ 6122 Bài 91 : Giải phương trình 9sin x+− 6cos x 3sin 2x += cos 2x 8( *) Ta có : (*) ⇔ 9sinx+− 6cosx 6sinxcosx +−( 1 2sin2 x) = 8 ⇔−6 cos x 6 sin x cos x − 2 sin2 x +− 9 sin x 7= 0 ⎛⎞7 ⇔−−−−6 cos x()() 1 sin x 2 sin x 1⎜⎟ sin x= 0 ⎝⎠2 ⎛⎞7 ⇔−1 sin x = 0 hay 6 cos x+ 2⎜⎟ sin x − = 0 ⎝⎠2 ⎡sin x= 1 ⇔ ⎢ 6 cos x+= 2 sin x 7 vô nghiệm do 6222+< 2 7 ⎣⎢ () π ⇔=+xk2,k π ∈ 2 Bài 92 : Giải phương trình: sin 2x+=+− 2cos 2x 1 sin x 4 cos x() * Ta có : (*) ⇔+−=+−2sinxcosx 2( 2cos2 x 1) 1 sinx 4cosx ⇔−++−=2sinxcosx sinx 4cos2 x 4cosx 3 0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞113 ⇔−+−+=2 sin x⎜⎟⎜⎟⎜⎟ cos x 4 cos x cos x 0 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠222 1 ⇔−=cos x 0 hay 2 sin x + 4 cos x += 6 0 vô nghiệm do 2222+< 4 6 2 () π ⇔=±+xk2 π 3 Bài 93 : Giải phương trình 2sin2x−=+− cos2x 7sinx 2cosx 4( *) Ta có : (*) ⇔ 4 sin x cos x−−( 1 2sin2 x) = 7sin x + 2cos x − 4 ⇔−2 cos x( 2 sin x 1) +−+ 2 sin2 x 7 sin x 3= 0 ⎛⎞1 ⇔−2 cos x() 2 sin x 1+−− 2⎜⎟ sin x() sin x 3 ⎝⎠2 ⇔−2 cos x()()() 2 sin x 1+−− 2 sin x 1 sin x 3= 0 ⇔−=2 sin x 1 0 hay 2 cos x +−= sin x 3 0() vô nghiệm vì 1222+< 2 3 ππ5 ⇔=+π∨=xk2x +π k2,k ∈ 66 Bài 94 : Giải phương trình sin 2x−=+− cos 2x 3sin x cos x 2( *) Ta có (*) ⇔ 2sinxcosx−−( 1 2sin2 x) = 3sinx + cosx − 2 ⇔−+−+cos x() 2 sin x 1 2 sin2 x 3sin x 1= 0 ⇔−+−−cos x()()( 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1)= 0 ⇔−=2sinx 1 0 hay cosx +−= sinx 1 0 1 ⎛⎞π ⇔=sin x hay 2 cos x⎜⎟ x−= 1 24⎝⎠ ππ5 ππ ⇔=+x k2 π∨= x + k2 π hay x −=±+k2 π , k ∈ 66 44 ππ5 π ⇔=+π∨=x k2 x +π k2 hay x =+π∨=π∈ k2 x k2 , k 66 2 Bài 95 : Giải phương trình 2 ⎛⎞π ()sin 2x+−=− 3 cos 2x 5 cos⎜⎟ 2x() * ⎝⎠6 Đặt t=+ sin 2x 3 cos2x , Điều kiện −+=−≤≤=+ab2222 t ab22 ⎛⎞13 ⎛⎞π Thì t=+= 2⎜⎟ sin 2x cos2x 2cos⎜⎟ 2x − ⎝⎠22 ⎝⎠6 Vậy (*) thành: t5 t522−= ⇔ 2tt100 −− =⇔= t (loại)t ∨=−2 22 ⎛⎞π Do đó ()* ⇔ cos⎜⎟ 2x−=− 1 ⎝⎠6 π 7π ⇔−=π+π⇔=+2x k2 x kπ 612 Bài 96 : Giải phương trình 2cos3 x++= cos2x sin x 0( *) Ta có (*) ⇔ 2cos32 x+−+ 2cos x 1 sinx= 0 ⇔+−2 cos2 x( cosx 1) 1+= sin x 0 ⇔−2() 1 sin2 x()() 1 + cosx −− 1 sin x = 0 ⇔−1 sin x = 0 hay 2()( 1 + sin x 1 + cosx ) −= 1 0 ⇔−1 sin x = 0 hay 1 + 2sin x cosx + 2(sin x + cosx) = 0 ⇔−1sinx = 0hay(sinx + cosx)2 + 2(sinx + cosx) = 0 ⇔=sinx 1haysinx += cosx 0 hay sinx ++= cosx 2 0( vônghiệm do:122+< 1 2 2) π π ⇔=sin x 1 hay tgx1 =−⇔ xk2hayx=+ π =−+ k2,k π ∈¢ 24 1cos2x− Bài 97 : Giải phương trình 1cot+=g2x ()* sin2 2x Điều kiện : sin 2x≠⇔ 0 cos2x ≠± 1 Ta có (*) 1cos2x− 1 ⇔+1cotg2x = = 1cos2x− 2 1cos2x+ 1 ⇔=cot g2x −1 1cos2x+ cos2x− cos2x ⇔= sin 2x 1+ cos2x ⎡cos2x=≠± 0() nhận do 1 ⎢ ⇔ 11− ⎢ = ⎣⎢sin 2x 1+ cos2x ⇔=∨+=−cos2x 0 1 cos2x sin2x ⇔=∨+=cos2x 0 sin 2x cos2x− 1 ⎛⎞ππ1 ⎛⎞ ⇔=∨cos2x 0 sin⎜⎟ 2x +=−=−sin ⎜⎟ ⎝⎠442 ⎝⎠ πππ ππ5 ⇔=+π∨+=−+π∨+=2x k 2x k2 2x +π∈ k2 ,k ¢ 244 44 ππk π ⇔=+xxk2xk2loại, ∨==−+π∨ =π+ π()k ∈¢ 42 4 ππk ⇔=+x,k ∈¢ 42 Bài 98 : Giải phương trình 4sinx()44++ cosx 3sin4x = 2*( ) Ta có : (*) 2 ⇔+−4⎡⎤ sin22 x cos x 2sin 22 x cos x + 3 sin 4x= 2 ⎣⎦⎢⎥() ⎡⎤1 ⇔−4 1 sin2 2x + 3 sin 4x = 2 ⎣⎦⎢⎥2 ⇔+cos4x 3 sin 4x =− 1 131 ⇔+cos4x sin 4x =− 22 2 ⎛⎞ππ2 ⇔−=cos⎜⎟ 4x cos ⎝⎠33 ππ2 ⇔−=±+π4x k2 33 π ⇔=π+π4x k2 hay 4x =−+π∈ k2 ,k ¢ 3 ππ π π ⇔=+xkhayx =− + k,k ∈¢ 42 122 Cách khác : (*) ⇔−2() 1 sin2 2x + 3 sin 4x = 0 ⇔+2 cos2 2x 2 3 sin 2x cos2x = 0 ⇔=∨+cos2x0cos2x 3sin2x0= ⇔=∨cos2x 0 cot g2x =− 3 ππ ⇔=+π∨=−+π∈2x k 2x k , k ¢ 26 ππkk π π ⇔=+xx ∨=− + ,k ∈¢ 42 122 1 Bài 99 : Giải phương trình 1++ sin33 2x cos 2x = sin4x() * 2 1 Ta có (*) ⇔+1() sin2x + cos2x( 1 − sin2xcos2x ) = sin4x 2 11⎛⎞ ⇔−1 sin4x +() sin2x + cos2x⎜⎟ 1 − sin4x = 0 22 ⎝⎠ 1 ⇔−1 sin 4x = 0 hay 1 + sin 2x + cos2x = 0 2 ⎡sin 4x= 2( loại) ⇔ ⎢ ⎣sin 2x+= cos2x− 1 π ⇔ 2sin(2x+=− ) 1 4 ⎛⎞ππ ⇔+=−sin⎜⎟ 2x sin( ) ⎝⎠44 ⎡ ππ 2x +=−+k2 π ⎢ 44 ⇔∈⎢ ()kZ ππ5 ⎢2x+= + k2 π ⎣⎢ 44 ππ ⇔ xkxk,k=− + π∨ = + π ∈¢ 42 Bài 100 : Giải phương trình tgx3cot−=+gx4sinx( 3cosx*)( ) ⎧sin x≠ 0 Điều kiện ⎨ ⇔≠sin 2x 0 ⎩cos x≠ 0 sin x cosx Lúc đó : (*) ⇔−34sinx3co = +sx cos x sin x ( ) ⇔−sin22 x 3cos x = 4sin x cosx( sin x + 3 cosx) ⇔+()sin x 3 cosx() sin x − 3 cosx − 2sin 2x = 0 ⎡sin x=− 3 cosx ⎢ ⇔ ⎢13 sin x−= cosx sin 2x ⎣⎢22 ⎡π⎛⎞ ⎢tgx=− 3 = tg⎜⎟ − ⎝⎠3 ⇔ ⎢ ⎢ ⎛⎞π ⎢sin⎜⎟ x−= sin 2x ⎣ ⎝⎠3 ππ π ⇔=−+π∨−=xkx2xk2x + π∨−=π− 2xk2,k + π ∈Z 33 3 ππ4k2 ππ ⇔=−+π∨=−−xkxk2x π∨= + ,k ∈¢ 3393 πππ4k2 ⇔=−+π∨=x k x + ()nhận do sin2x≠ 0 393 Bài 101 : Giải phương trình sin33 x+=− cos x sin x cosx( *) Ta có : (*) ⇔−++=sin33 x sin x cos x cosx 0 ⇔−++=sin x() sin23 x 1 cos x cosx 0 ⇔−sin x cos23 x + cos x + cosx = 0 ⇔=cosx 0 hay − sin x cosx + cos2 x += 1 0 ⎡cosx= 0 ⇔ ⎢ ⎣−+sin2x cos2x =− 3() vô nghiệm do 1 +< 1 9 π ⇔=x2k1,kZ() + ∈ 2 44⎛⎞π 1 Bài 102 : Giải phương trình cos x++= sin⎜⎟ x() * ⎝⎠44 2 112 ⎡π⎤⎛⎞1 Ta có : (*) ⇔ ()1++−+ cos2x⎢⎥ 1 cos⎜⎟ 2x = 442⎣⎦⎝⎠4 ⇔+()()1 cos2x22 ++ 1 sin2x = 1 ⇔+=−cos2x sin 2x 1 ⎛⎞ππ13 ⇔−=−=cos⎜⎟ 2x cos ⎝⎠442 ππ3 ⇔−=±+π2x k2 44 ππ ⇔=+π∨=−+πxkx k,k ∈Z 24 Bài 103 : Giải phương trình 4sin33 x.cos3x++ 4 cos x.sin3x 3 3 cos4x= 3() * Ta có : (*) ⇔−+−+4sin33 x( 4cos x 3cosx) 4cos3 x( 3sin x 4sin3 x) 3 3 cos4x= 3 ⇔−12sin33 x cosx+ 12sin x cos x+ 3 3 cos4x = 3 ⇔−++4sin x cosx() sin22 x cos x 3 cos4x= 1 ⇔+2sin2x.cos2x 3 cos4x= 1 π sin ⇔+sin 4x3 cos4x = 1 π cos 3 ππ π ⇔+=sin 4x.cos sin cos4x cos 33 3 ⎛⎞ππ ⇔+=sin⎜⎟ 4x sin ⎝⎠36 ππ π5 π ⇔+=+π∨+=+π∈4x k2 4x k2 , k ¢ 36 3 6 ππkk ππ ⇔=−xx, + ∨=+k ∈¢ 24 2 8 2 Bài 104 : Cho phương trình : 2sin22 x−−= sin x cosx cos x m() * a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 11 Ta có : (*) ⇔ ()1cos2x−− sin2x −+=() 1cos2x m 22 ⇔+sin 2x 3cos2x =− 2m+ 1 a/ (*) có nghiệm ⇔+≥abc222 2 ⇔+≥19() 12m − ⇔−−≤4m2 4m 9 0 110−+ 110 ⇔≤≤m 22 b/ Khi m = -1 ta được phương trình sin 2x+= 3cos2x 3() 1 π •=+Nếu x() 2k 1 thì sin 2x = 0 và cos2x =− 1 nên phương trình (1) không 2 thỏa. π •≠+Nếux() 2k 1 thì cosx ≠ 0,đặt t = tgx 2 2 2t 31()− t (1) thành +=3 1t++22 1t ⇔+2t 3()( 1 − t22 = 3 t + 1) ⇔−=6t2 2t 0 ⇔=∨=t0t3 Vậy (1) ⇔ tgx0ha===y tgx3tgϕ ⇔=πxk hay xk,k=ϕ+π ∈¢ ⎛⎞3π 54sin+− x ⎜⎟2 6tgα Bài 105 : Cho phương trình ⎝⎠= ()* sin x 1+α tg2 π a/ Giải phương trình khi α =− 4 b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệm ⎛⎞3ππ ⎛⎞ Ta có : sin⎜⎟−=− x sin ⎜⎟ −=− x cosx ⎝⎠22 ⎝⎠ 6tgαα 6sin =α=.cos2 3sin2αvới cosα ≠ 0 1tg+α2 cos α 54cosx− Vậy : ()* ⇔=α3sin 2() điều kiện sin x ≠α 0 và cos≠ 0 sin x ⇔α+3sin 2 sin x 4 cosx = 5 π a/ Khi α=− ta được phương trình 4 −+3sinx 4cosx = 5() 1 ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34 ⇔−sin x + cosx = 1 55 34 Đặt cosϕ=− và sin ϕ= với 0 <ϕ< 2 π 55 Ta có pt (1) thành : sin()ϕ+ x = 1 π ⇔ϕ+xk2 = + π 2 π ⇔=−ϕ++xk2 π 2 2 b/ (**) có nghiệm ⇔α+≥()3sin2 16 25 và cos α≠ 0 ⇔α≥sin2 2 1 và cos α≠ 0 ⇔α=sin2 2 1 ⇔α=cos2 0 ππk ⇔α= +,k ∈¢ 42 BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ 2 2() sin x+=+ cos x cos x 3 cos2x b/ ()2cosx−+ 1( sinx cosx)= 1 c/ 2 cos2x=− 6() cosx sin x d/ 3sinx=− 3 3cosx e/ 2 cos3x++ 3 sin x cosx= 0 f/ cosx+=++ 3 sin x sin 2x cosx sin x 3 g/ cosx+= 3 sin x cosx++ 3 sin x 1 h/ sin x+= cosx cos2x k/ 4sin3 x−= 1 3sinx − 3cos3x 6 i / 3cosx++ 4sinx =6 3cosx++ 4sinx 1 j/ cos7xcos5x−=− 3sin2x 1 sin7xsin5x m/ 4cosx()44+ sinx+= 3sin4x 2 p/ cos22 x−=+ 3 sin 2x 1 sin x q/ 4sin2x−= 3cos2x 3() 4sinx− 1 2 r/ tgx−− sin 2x cos2x =−+ 4 cosx cosx ⎛⎞x π 23cosx2sin−−−2 () ⎜⎟24 s/ ⎝⎠= 1 2cosx− 1 2. Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1) a/ Giải phương trình m3= b/ Tìm các giá trị m để (1) có nghiệm (ĐS : m3≥ ) 3. Cho phương trình : msinx2−− mcosx2 = ()1 m2cosx−− m2sinx a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 b/ Khi m0vàm≠≠ 2 thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên [20ππ ,30 ]? (ĐS : 10 nghiệm) 4. Cho phương trình 2sinx++ cosx 1 = a1() sin x−+ 2 cosx 3 1 a/ Giải (1)khi a = 3 b/ Tìm a để (1) có nghiệm Th.S Phạm Hồng Danh TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn