Bài giảng Phương pháp tính (Computation Methods) - Chương I: Giải phương trình f(x)=0 - Ngô Thu Lương

Chương I : Giảûi phương trình f(x)=0 1)Định nghĩa: Khoảng ],[ ba gọi là một khoảûng cáùch ly nghiệäm nếu trong khoảng đó phương trình 0)( =xf chỉ có duy nhất một nghiệm . Định lýùù: Nếááu )(xf khả vi liên tục trên ],[ ba 1) )(' xf giữ dấu trên ],[ ba 2) 0)()( <bfaf thì ],[ ba là khoảng cách ly nghiệm . Ví dụïï : Phương trình 0144 =−− xx 094.1)5.1( <−=f 07)2( >=f . Hàm đơn điệu trong ]2,5.1[ 0)(' >xf khoảng cách ly nghiệm : ]2,5.1[ khoảng cách ly nghiệm thứ 2 : ]0,1[− (BTập) 2)Côâng thứùc sai sốá tổång quáùt : dx : nghiệm đúng của 0)( =xf gdx : nghiệm gần đúng. Công thức sai số : (1) ( )gd gd d f x x x m − ≤ Ký hiệu : )(')1( xfMinm = , ∈∀ x ],[ ba Ví dụïï : Phương trình 0144 =−− xx xét trong khoảng cách ly nghiệm : ]2,5.1[ giả sử 663.1=gdx . Đánh giá sai số tuyệt đối (1.663) 0.003629f = =)1(m 9.5 sai số : 0.0004 0.0036291.663 * 9.5 x− ≤ ≈ 3)Phương pháùùp chia đôââi : a)Nộääi dung : Nếu ],[ ba là khoảng cách ly nghiệm thì ] 2 ,[ baa + hoặc ], 2 [ bba + sẽ là khoảng cách ly nghiệm mới . Lặp lại quá trình phân chia này nhiều lần . b) Đáùùnh giáùù sai sốáá : 1 ( ) 2 n d n b a x x + − − ≤ c)Nhậään xéùùt : Luôn cho nghiệm gần đúng. Giải thuật đơn giản. Tốc độ hội tụ khá chậm . Ví dụïï 1: Phương trình 0cos =− xx với khoảng cách ly nghiệm ]1,0[ , chia đôi tới 4x Kết quả cho theo bảng sau Sai số phương pháùùp chia đơi là 5 1 0.3125 322 b a− = = Ví dụïï 2 : Giải phương trình 0=− −xex với khoảng cách ly nghiệm ]1,0[ đến 3x 0.5 0.75 0.625 0.5625 2) Phương pháùùp lặëëp đơn (phương pháùùp điểååm bấáát độääng, phương pháùùp áùùnh xạïï co ) a) Nộääi dung : *) Đưa phương trình 0)( =xf về dạng tương đương )(xx ϕ= *) Kiểm tra điềààu kiệään đối với hàm )(xϕ : ' ( ) 1 [ , ]Max x q x a bϕ = < ∀ ∈ *) Lấy 0x là một giá trị ban đầu tùøøy ýùù ∈[ a, b ] Xây dựng dãy lặp : )( 01 xx ϕ= )( 12 xx ϕ= )( 23 xx ϕ= Lấy n hữõõu hạïïn gdn xx = b) Đáùùnh giáùù sai sốáá : 1) q xxq xx n n − − ≤− 1 * 01 ( đánh giá tiêâân nghiệääm ) 2) q xxq xx nnn − − ≤− − 1 * 1 ( đánh giá hậääu nghiệääm ) c) Nhậään xéùùt : Có vôââ sốáá cách chọn hàm )(xϕ Hàm )(xϕ có tính chất 1<q gọi là hàøøm co q là hệää sốáá co q càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng cao 1q ≥ Không sử dụng được Ví dụïï1 : Xét phương trình 010003 =−+ xx trong khoảng cách ly nghiệm ]10,9[ a) 010003 =−+ xx 31000 xx −= 31000)( xx −=ϕ 23)(' xx −=ϕ 23)(' xx =ϕ 300)(' =ϕ= xMaxq > 1 Không sử dụng được b) 010003 =−+ xx xx −=10003 31000 xx −= 31000)( xx −=ϕ 1)(' x −=ϕ 3 2)1000(3 x− 3 2)1000(3 1)(' x x − =ϕ 3 2)1000(3 1 x Maxq − = 0.003355742403= 9.966554934 9.966667166 9.966666789 9.966666791 x0=10.0 126.74 10−×Sai số hậu nghiệm x4 c) 010003 =−+ xx xx −=10003 x x x − = 10002 x x x − = 1000 x x x − =ϕ 1000)( Với 100 =x ta có 966666791,9=gdx với số bước lặp Phương pháùùp Newton ( Phương pháùùp Tiếááp tuyếáán ) a) Nộääi dung : Đưa 0)( =xf về dạng lặp )()(' )( x xf xf xx ϕ=−= . Chọn 0x )(' )( 0 001 xf xf xx −= )(' )( 1 112 xf xf xx −= b) Đáùùnh giáùù sai sốáá : Sai số theo công thức sai số tổng quát )1( )( * m xf xx gd gd ≤− c)Nhậään xéùùt : Phương pháp sử dụng được nếu )(' xf và )('' xf không đổi dấu trên khoảng cách ly nghiệm . Điểm 0x là điểm Fourier nếu )( 0xf cùng dấu với 0'' ( )f x Chọn 0,x a x b= = nếu a , b là điểååm Fourier Vídụïï: Phương trình 010003 =−+ xx với khoảng cách ly nghiệm ]10,9[ Điểm nào là điểm Fourier trong hai điểm 9 , 10 Với 0x tìm được , tính 2x . Đánh giá sai số của 2x 0.3