Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải phương trình vi phân thường - Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SVCHƯƠNG 5GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006) NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU)B- BÀI TOÁN BIÊN 1 – PHƯƠNG PHÁP EULER 1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN 2 – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA 3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO BÀI TOÁN CÔSI ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầuGiải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t0 = a < t1 = a + h < < tn = b a = t0b = tnt1t2y0 = y1 = ?Cần tính gần đúng giá trị wk  yk = y(tk), k = 1  n MINH HOẠ Ý TƯỞNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán Côsi:& công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm:Từ đó xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) ygđ và vẽ đồ thị so sánh với nghiệm chính xác g(t) =hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1.Với bước chia h = 0.5Điểm chia: Kết quả tìm được: CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chia [a, b]  n đoạn Tính wi, i = 0  n Sơ đồ Euler (i = 0  n – 1) S/đ Euler cải tiến (i = 0  n – 1) Sơ đồ Runge – Kutta: w0 = . Giả sử biết wi Btoán Côsi: Tìm y(t) VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Sơ đồ Euler:Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia:So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1)2 – 0.5et. Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang:Giải: f(t,y) = y – t2 + 1 h = (b–a)/n = 1/3 KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bảng kết quả:Tính gần đúng tích phân với công thức hình thangiti wi gi = g(ti )| gi - wi |000.50.5011/322/331.VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính y(1.) của bt Côsi sau bằng SĐ Euler cải tiến với h = 0.5:iti wi k1 k2 00.00.510.521.00.751.01.3751.06252.5156251.21875VÍ DỤ RUNGE – KUTTA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính y(1.) bằng Runge – Kutta với h = 0.5itiwik1k2k3k400.00.510.521.0Runge – Kutta 4: wi  wi+1HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoảKý hiệu: Chia [a, b] thành đoạn bằng nhau: Phân hoạch & rời rạc hoáMINH HOẠ Ý TƯỞNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xét bài toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường:Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u1, u2 tại t = 0.5; 1So sánh giá trị tính được với giá trị nghiệm chính xác:tu1u20110.51.0Điểm chia: SƠ ĐỒ EULER ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------S/đồ Euler: Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoảVD: ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán Côsi cấp 2 (Ph/trình vi phân cấp 2 và đkiện đầu):Đưa về bài toán Côsi cấp 1: Đổi biến u1(t)= y(t), u2(t)=y’(t)Điều kiện đầu:Sơ đồ Euler:VÍ DỤ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Với h = 0.1, tính xấp xỉ giá trị y(0.2), y’(0.2) của nghiệm bài toán sau bằng phương pháp Euler:Đổi biến đưa về bài toán Côsi cấp 1: u1 = y(t), u2 = y’(t) BÀI TOÁN BIÊN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán biên cấp 2: Tìm hàm y = y(x) thoả phương trìnhHay gặp: Bài toán biên tuyến tính cấp 2MINH HOẠ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính giá trị nghiệm y của bài toán biên tuyến tính cấp 2tại các điểm chia cách đều của [0, 1] với bước chia h = 1/3 và xấp xỉ đạo hàm y’, y’’ bằng công thức hướng tâmĐiểm chia: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BT biên tuyến tínhChia [a, b] thành các đoạn nhỏ bằng nhau. Thay x = xk vào (*). Xấp xỉ y’(xk) , y’’(xk): công thức đạo hàm hướng tâmb= xn+1a= x0x1x2x3hCÔNG THỨC LẮP GHÉP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n mốc xk  (a, b) – ứng n giá trị yk chưa biết  Ma trận cấp n Ký hiệu pk = p(xk) yk = y(xk), 1  k  n  y= [y1, yn]T: Ay = b LẬP BẢNG LẮP GHÉP ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ độ dài h. n điểm chia xk (không kể 2 đầu) – ứng với yk chưa biết  n ẩn số yk ixk pk qk rk akk ak,k+1 ak-1,k bkyk123BT biên tuyến tính Lập bảng cột xk  pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk)  akk (đ/chéo chính), ak,k+1 (chéo trên), ak-1,k (dưới), bk  Nghiệm yk Đ/chéo akk: k = 1  n; ak,k+1: k = 1  (n – 1), ak-1,k: k = 2  n VÍ DỤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải bài toán biên cấp 2 sau bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia h = 0.2 h = 0.2  n = 5  6 điểm chia  Hệ phương trình 4 ẩn Ma trận cấp 4: Chéo chính akk – 4 phần tử; Chéo trên ak, k+1: 3 ixi pi qi ri aii ai,i+1 ai-1,i bi 1234KẾT QUẢ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải hệ bằng phép khử Gauss (làm tròn 3 chữ số lẻ):