Bài giảng Phương pháp tính - Chương 1: Giải phương trình phi tuyến - Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK2 0506CHƯƠNG 1GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN f(x) = 0TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (02/2006) NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1– KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT. CÔNG THỨC SAI SỐ 2– PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 3– PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 4– PHƯƠNG PHÁP NEWTON (TIẾP TUYẾN) 5– HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN. PHƯƠNG PHÁP  NEWTON – RAPHSON.1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CÔNG THỨC SAI SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, có đạo hàmKhoảng cách ly nghiệm: Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b) ), trên đó phương trình (1) có nghiệm  duy nhấtVD: Phương trình x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm:ĐK đủ: [a, b] là KCLN của (1) khi Đạo hàm f’ không đổi dấu trên  đoạn (hoặc khoảng) (a,b) f(a).f(b) 0 (ĐK Fourier) Ước lượng sai số : Công thức tổng quát (chủ yếu) hoặc(Phức tạp hơn)VÍ DỤ LẶP NEWTON – TIẾP TUYẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải xấp xỉ f(x) = x – cosx = 0 trên [0, 1], sai số 10–8 1/ Kiểm tra điều kiện hội tụ2/ Xây dựng dãy lặp: Sai số : nxn n 0HỆ PHI TUYẾN – PP NEWTON – RAPHSON --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Minh hoạ : Hệ 2 phương trình, 2 ẩnKý hiệu ma trận f’(x) (ma trận Jacobi):  Có thể tính “giá trị” f’(x(0)) tại “điểm” x(0) cho trướcKý hiệu: Bộ nghiệm gần đúng ở bước thứ kXem x(k) đã biết. Tính x(k+1): giải thuật Newton - Raphson1/ Tính ma trận A = f’(x(k)) (thay x(k) vào) & vectơ b = –f(x(k))2/ Giải hệ p/tr (bằng máy bỏ túi) Ah = b. Tính x(k+1) = x(k) + hVÍ DỤ LẶP NEWTON – RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tìm nghiệm gần đúng x(1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ: Giải: Ma trận A = f’(x) b “nhỏ”: x(k) gần nghiệmnx(n) Ma traän Jacobian AVectô –f(x(n) )Vectô hỨNG DỤNG THỰC TẾ: LÝ THUYẾT MẠCH ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mạch điện: Nguồn (pin) V0, Điện trở R, Tụ C, Cảm ứng LRLKirchhoff:Nghiệm:Tìm R (L, C đã biết) để năng lượng tiêu hao của mạch có vận tốc cho trước: q/q0 = 0.01 với t = 0.05s, L = 5H, C = 10–4 F LỜI GIẢI VÍ DỤ THỰC TẾ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Biến đổi phương trình thu được (ẩn R) Khoảng cách ly nghiệm: R  [0, 400 ] (2000 – 0.01R2  0) Giải thực tế: Đồ thịP/p chia đôi (n = 21)P/p Newton R = 328.1515 