Bài giảng Phân tích và thiết kế giải thuật - Chương 9: Cây khung nhỏ nhất

Cây Khung Nhỏ Nhất 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 2 Cây khung nhỏ nhất ª Cho – một đồ thị liên thông, vô hướng G = (V, E ) – một hàm trọng số w : E  R ª Tìm một tập con không chứa chu trình T  E nối tất cả các đỉnh sao cho tổng các trọng số w(T) =  (u, v)  T w(u, v) là nhỏ nhất. – Tập T làø một cây, và được gọi là một cây khung nhỏ nhất. ª Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất: bài toán tìm T. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 3 Cây khung nhỏ nhất (tiếp) ª Giải bài toán tìm cây khung nhỏ nhất – Giải thuật của Kruskal – Giải thuật của Prim. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 4 Cây khung nhỏ nhất: ví dụ b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 ° Tập các cạnh xám là một cây khung nhỏ nhất ° Trọng số tổng cộng của cây là 37. ° Cây là không duy nhất: nếu thay cạnh (b, c) bằng cạnh (a, h) sẽ được một cây khung khác cũng có trọng số là 37. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 5 Cạnh an toàn ª Cho một đồ thị liên thông, vô hướng G = (V, E ) và một hàm trọng số w : E  R. Tìm một cây khung nhỏ nhất cho G! ª Giải bài toán bằng một chiến lược greedy: nuôi một cây khung lớn dần bằng cách thêm vào cây từng cạnh một. ª Định nghĩa cạnh an toàn Nếu A là một tập con của một cây khung nhỏ nhất nào đó, nếu (u, v) là một cạnh của G sao cho tập A  {(u, v)} vẫn còn là một tập con của một cây khung nhỏ nhất nào đó, thì (u, v) là một cạnh an toàn cho A. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 6 Một giải thuật tổng quát (generic) ª Một giải thuật tổng quát (generic) để tìm một cây khung nhỏ nhất – Input: một đồ thị liên thông, vô hướng G một hàm trọng số w trên các cạnh của G – Output: Một cây khung nhỏ nhất cho G. GENERIC-MST(G, w) 1 A  2 while A không là một cây khung nhỏ nhất 3 do tìm cạnh (u, v) an toàn cho A 4 A  A  {(u, v)} 5 return A 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 7 Phép cắt Các khái niệm quan trọng ª Một phép cắt (S, V  S) của G = (V, E ) là một phân chia (partition) của V. Ví dụ: S = {a, b, d, e} trong đồ thị sau. ª Một cạnh (u, v)  E xuyên qua (cross) một phép cắt (S, V  S) nếu một đỉnh của nó nằm trong S và đỉnh kia nằm trong V  S. Ví dụ: cạnh (b, c). b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 S  V  S  13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 8 Cạnh nhẹ (light edge) Các khái niệm quan trọng (tiếp) ª Một phép cắt bảo toàn tập các cạnh A (respects A) nếu không có cạnh nào của A xuyên qua phép cắt. ª Một cạnh là một cạnh nhẹ vượt qua phép cắt nếu trọng số của nó là nhỏ nhất trong mọi trọng số của các cạnh xuyên qua phép cắt. Ví dụ: cạnh (c, d). b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 S  V  S  13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 9 Nhận ra một cạnh an toàn Định lý 24.1 Cho ° G = (V, E) là một đồ thị liên thông, vô hướng ° w là một hàm trọng số trên E ° A là một tập con của một cây khung nhỏ nhất cho G ° (S, V  S) là một phép cắt bất kỳ của G bảo toàn A ° (u, v) là một cạnh nhẹ vượt qua (S, V  S)  cạnh (u, v) là an toàn cho A. Chứng minh 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 10 Nhận ra một cạnh an toàn (tiếp) ° S: tập các đỉnh đen, V  S: tập các đỉnh trắng ° Các cạnh của một cây khung nhỏ nhất T được vẽ ra trong hình, còn các cạnh của G thì không ° A: tập các cạnh xám ° Cạnh (u, v) là cạnh nhẹ xuyên qua phép cắt (S, V  S). ° p là đường đi duy nhất từ u đến v trong T. x u y v p 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 11 Nhận ra một cạnh an toàn (tiếp) ° Định nghĩa cây khung T’ = T  (x, y)  (u, v) T’ là cây khung nhỏ nhất vì w(T’) = w(T)  w(x, y) + w(u, v)  w(T), vì w(u, v)  w(x, y) ° (u, v) là an toàn cho A vì A  (u, v)  T’ . x u y v p 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 12 Nhận ra một cạnh an toàn (tiếp) Hệ luận 24.2 Cho ° G = (V, E ) là một đồ thị liên thông, vô hướng với một hàm trọng số w trên E ° A là một tập con của E sao cho A nằm trong một cây khung nhỏ nhất cho G ° C = (V C , E C ) là một thành phần liên thông (cây) trong rừng G A = (V, A). Thì, nếu (u, v) là một cạnh nhẹ nối C với một thành phần khác trong G A  (u, v) là an toàn cho A. Chứng minh Phép cắt (V C , V  V C ) bảo toàn A, do đó (u, v) là một cạnh nhẹ đối với phép cắt này. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 13 Giải thuật của Kruskal ª Giải thuật của Kruskal – dựa trên giải thuật GENERIC-MST, mà A ban đầu là một rừng mà mỗi cây chỉ chứa một đỉnh của G. ª mỗi tập rời nhau chứa các đỉnh của một cây trong rừng hiện thời. MST-KRUSKAL(G, w) 1 A  2 for mỗi đỉnh v  V[G] 3 do MAKE-SET(v) 4 xếp các cạnh  E theo thứ tự trọng số w không giảm 5 for mỗi cạnh (u, v)  E, theo thứ tự trọng số không giảm 6 do if FIND-SET(u)  FIND-SET(v) 7 then A  A  {(u, v)} 8 UNION(u, v) 9 return A 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 14 Thực thi giải thuật của Kruskal b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (a) (b) 1 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14 Các cạnh được xếp theo thứ tự trọng số không giảm: 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 15 Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (d)(c) 1 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 16 Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (e) (f) (h)(g) 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 17 Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (i) (j) (l)(k) 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 18 Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (n)(m) 1 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 19 Phân tích giải thuật của Kruskal ª Dùng cấu trúc dữ liệu các tập rời nhau (disjoint sets), chương 22, với các heuristics – Hợp theo thứ hạng (union-by-rank) – Nén đường dẫn (path-compression). ª Nhận xét (cần đến khi đánh giá thời gian chạy) – Giải thuật gọi V lần MAKE-SET và gọi tổng cộng O(E) lần các thao tác MAKE-SET, UNION, FIND-SET. – Vì G liên thông nên |E|  |V|  1. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 20 Phân tích giải thuật của Kruskal (tiếp) ª Thời gian chạy của MST-KRUSKAL gồm – Khởi động: O(V) – Sắp xếp ở dòng 4: O(E lg E) – Dòng 5-8: O(E (E, V)) (xem nhận xét), = O(E lg E) vì (E, V) = O(lg E). Vậy thời gian chạy của MST-KRUSKAL là O(E lg E). 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 21 Giải thuật của Prim ª Giải thuật của Prim – dựa trên giải thuật GENERIC-MST, ở đây A là một cây duy nhất ° trong khi thực thi giải thuật A = {(v, p[v]) : v  V  {r}  Q} ° khi giải thuật xong, Q = , nên A = {(v, p[v]) : v  V  {r}} 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 22 Giải thuật của Prim (tiếp) ª Tập V  Q chứa các đỉnh của cây đang được nuôi lớn. MST-PRIM(G, w, r) 1 Q  V[G] 2 for mỗi đỉnh u  Q 3 do key[u]  4 key[r]  0 5 p[r]  NIL 6 while Q   7 do u  EXTRACT-MIN(Q) 8 for mỗi đỉnh v  Adj[u] 9 do if v  Q và w(u, v) < key[v] 10 then p[v]  u 11 key[v]  w(u, v) r : gốc của cây khung nhỏ nhất sẽ trả về Q : priority queue mà khóa là trường key p[v] : đỉnh cha mẹ của v. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 23 Thực thi giải thuật của Prim b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8       0 Sau khi khởi động: (các số bên mỗi đỉnh là trị của key của đỉnh) 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 24 Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (a) (b) 4 8   8 8         Sau lần lặp 1: Sau lần lặp 2: Các đỉnh còn trong Q màu trắng, các đỉnh đã được đưa ra khỏi Q màu đen 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 25 Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (c) (d) 2 7  48 7 6 7  4 Sau lần lặp 3: Sau lần lặp 4: 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 26 Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (e) (f) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (g) (h) Sau lần lặp 5: Sau lần lặp 6: Sau lần lặp 7: Sau lần lặp 8: 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 27 Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (i)Sau lần lặp 9: 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 28 Phân tích giải thuật của Prim ª Thời gian chạy của MST-PRIM tùy thuộc vào cách hiện thực priority queue Q – Trường hợp hiện thực Q là binary heap ° Khởi tạo trong dòng 1-4 dùng BUILD-HEAP tốn O(V) thời gian ° Vòng while được lặp V lần, mỗi EXTRACT-MIN tốn O(lg V) thời gian. Như vậy các lần gọi EXTRACT-MIN tốn tất cả O(V lg V) thời gian. — Vòng for được lặp O(E) lần, trong vòng lặp này dòng 11 (dùng HEAPIFY) tốn O(lg V) thời gian. ° Vậy thời gian chạy tổng cộng của MST-PRIM là O(V lg V + E lg V) = O(E lg V). 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 29 Phân tích giải thuật của Prim (tiếp) – Trường hợp hiện thực Q là Fibonacci heap ° Khởi tạo trong dòng 1- 4 dùng MAKE-FIB-HEAP và FIB-HEAP- INSERT tốn O(V) amortized time ° Mỗi FIB-HEAP-EXTRACT-MIN tốn O(lg V) amortized time ° Mỗi thao tác FIB-HEAP-DECREASE-KEY cần để hiện thực dòng 11 tốn O(1) amortized time ° Vậy thời gian chạy tổng cộng của MST-PRIM là O(E + V lg V).