Bài giảng Nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 - Môn toán

NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - MÔN TOÁN 1. Yêu cầu: a) Kiến thức: Nằm trong chương trình cấp THCS. Học kì I đối với lớp 9 b) Kỹ năng: Kiểm tra được các kiến thức và năng lực vận dụng kiến thức của HS 2. Độ khó: + Thông hiểu: 20% + Vận dụng: 80%. 3. Nội dung: a. Số học: + Các bài toán về số học: Tìm số và chữ số. Toán chia hết. Số chính phương. ƯCLN và BCNN. Phương trình nghiệm nguyên, Toán dãy số. b. Đại số: + Thực hiện phép biến đổi về căn bậc hai, căn bậc 3 + Phân tích thành nhân tử + Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức đại số. Tính giá trị của biểu thức đại số. Tìm giá trị nguyên, điều kiện để có giá trị nguyên. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất + Giải phương trình bậc nhất và các phương trình đưa được về phương trình bậc nhất.Phương trình giá trị tuyệt đối. Phương trình tích… + Giải phương trình vô tỉ một hoặc hai căn thức + Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. Giải bất phương trình c. Hình học: + Chứng minh hệ thức, đẳng thức, bất đẳng thức hình học + Chứng minh vuông góc, song song, thẳng hàng, đồng quy + Tính tỉ số, chu vi, diện tích đa giác, … + Các bài toán cực trị hình học, + Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước CHỦ ĐỀ DẠY HỌC PHẦN HÌNH HỌC ( Tài liệu tham khảo) ĐỊNH LÍ TA – LET (Bài Tập) Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm nằm trong tam giác. IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P. chứng minh rằng: Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm D trên cạnh BC sao cho BD = BC, điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho AE =AD. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C vẽ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự ở N và D. CMR: NC = ND và HI = HK Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: AE2 = EK. EG b) Khi d thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi Bài 5: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho . Chứng minh rằng:EG = FH và EG ^ FH Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi E, F, D lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, AC sao cho tứ giác BEDF là hình thoi.Cho biết AB = c, AC = b,AD = m, DC = n và x là cạnh hình thoi BEDF. Chứng minh rằng: a) b) BD < c) AB.BC = Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC có BC < BA, đường phân giác BE, đường trung tuyến BD. Một đường thẳng qua C vuông góc với BE tại F và cắt BD tại G. Gọi O là giao điểm của EG và DF. Chứng minh rằng OG = OE Bài 8: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại M và AB tại K. Từ C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại F. Qua F lại vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC tại P. Chứng minh rằng: MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy. Bài 9: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho . Các điểm I, K theo thứ tự thuộc các đoạn ED, FE sao cho . Chứng minh rằng IK // BC Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, cacsv đường cao AD, BE, CF. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là hình chiếu của D trên BA, BE, CF, CA. CMR: Bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC (Bài tập) Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đường phân giác AD. Tính theo a, b, c độ dài BD, DC Tia phân giác của góc B cắt AD ở I. Tính tỉ số Biết rằng a = ( b + c):2. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CMR: IG // BC Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B nhỏ hơn 600, đường phân giác AD Chứng minh rằng AD < AB Gọi AM là đường phân giác của DADC. Chứng minh rằng BC > 4DM Bài 3:Tính diện tích D ABC biết AB = 28cm, AC = 70cm, đường phân giác AD = 24cm Bài 4: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi MD, ME lần lượt là các đường phân giác của các tam giác AMB, D AMC Chứng minh rằng DE // BC Tam giác ABC phải có điều kiện gì để DE là đường trung bình của nó Bài 5: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Chứng minh rằng: Bài 6: Gọi AM, BD, CN là các đường phân giác của tam giác của tam giác ABC. Với AB = c, BC = a, AC = b. Chứng minh rằng: b) TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (Bài tập) Bài 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng 2 lần góc C Biết AB = 8cm, BC = 10cm. Tính AC Nếu ba cạnh của tam giác là ba số tự nhiên lien tiếp thì mỗi cạnh bằng bao nhiêu. Bài 2:Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho . Chứng minh rằng: Tích BD, CE không đổi Tia DM là tia phân giác của góc BDE Nếu tam giác ABC đều. Hãy tính chu vi tam giác AED Bài 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, Gọi G, H lần lượt là các điểm thuộc cạnh BC, CD sao cho . Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a/ HD.BG = OB.OD b) MG // AH Bài 4: Cho tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng Bài 5: Cho tam giác ABC, BC = a, CA = b, AB = c, Chứng minh rằng khi và chỉ khi a2 = b2 + bc Bài 6: Cho tam giác ABC. Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau và cùng đi qua trực tâm H của tam giác sao cho d cắt AB và AC lần lượt tại I và J, d’ cắt BC tại K. Chứng minh rằng IH = JH Û BK = CK Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai điểm D và E theo thứ tự thay đổi trên AB và BC. Gọi F là hình chiếu của D trên BC. Chứng minh rằng nếu EF = BC thì đường thẳng qua E và vuông góc với DE luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 8: trên hai cạnh AB và BC của hình vuông ABCD lấy hai điểm P, Q theo thứ tự sao cho BP = BQ. Gọi H là hình chiếu của B trên CP. Chứng minh rằng IV/ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG (Bài tập) Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt HC ở D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC. Biết BC = 25, DK = 5. Tính AB Bài 2: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm, tổng hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền là 4cm. Tính các cạnh của tam giác vuông Bài 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5cm và đường cao ứng với cạnh huyền là 2cm. Hìy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC. Trên đường cao AD, BE lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho . Chứng minh: CQ = CP Bài 5: Cho DDBC vuông tại B (DB > BC), đường cao BH. Gọi A là trung điểm của DC. Tam giác ABC là tam giác gì ? Giải thích ? Chứng minh rằng CB2 = 2AB.CH Chứng minh rằng: Bài 6: Cho tam giác ABC có , đường cao AH. Chứng minh: AH2 = HB.HC Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8. Các đường trung tuyên BD và CE vuông góc với nhau. Tính BC Bài 8: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB, BC, CA là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng HM = 2 Bài 9: Cho tam giác ABC, D là diểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng AB2. CD + AC2. DB + AD2. BC = CD.DB.BC Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với AM. Các tia phân giác của các góc AMB và AMC lần lượt cắt đường thẳng d ở D và E. Chứng minh: a/ ∆MAD = ∆MBD và DB ^ BC ; b/Tứ giác BDEC là hình thang c/ AD.AE = AM2 và BC2 = 4DB.EC; d/ Cho AC = 2AB. Chứng minh EC = BC V/ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC (Bài tập) Bài 1: Chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có: a/ sinα < 1, cosα < 1 b/ tanα = ; cotα = ; tanα.cotα = 1 c/ sin2 α + cos2 α = 1 d/ ; Bài 2:Cho tam giác ABC vuông tại Acó , BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: Bài 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, đường cao CE. Biết H là trung điểm của CE. Tính: tanA.tanB Bài 4: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh rằng cotB + cotC ≥ Bài 5: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Biết AM = AC. Chứng minh rằng: tanB = tanC Bài 6: Cho tam giác ABC có , đường trung tuyến AM, đường cao AH. Biết . Chứng minh rằng: Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC,đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE. Chứng minh rằng: b) Bài 8: Cho tam giác ABC ,đường phân giác trong AD, đường cao CH, đường trung tuyến BM giao nhau tại I. Chứng minh rằng: ABcosA = BCcosB Bài 9: Cho sinx + cosx = . Chứng minh rằng sinx = cosx và tìm x. Với giá trị nào của x thì sinx ≥ cosx, tanx ≥ cotx Bài 10: Cho DABC có BC = a, AC = b, AB = c. CMR: DIỆN TÍCH A. Các tính chất cần nhớ a) Mỗi đa giác có số đo diện tích xác định lớn hơn 0 b) Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau c) Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích cảu những đa giác đó B. Các kiến thức cơ bản Các công thức cơ bản của diện tích tứ giác Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a là S = a2 Diện tích hình chữ nhật có kích thước là a, b: S = ab Diện tích hình bình hành có hai cạnh liên tiếp a, b, một góc là a, đường cao ứng với cạnh a là h thì S = ah = absina Hình thoi có cạnh bằng a, một góc là a, hai đường chéo là m, n thì S = a2sina =mn Hình thang có hai đáy a, b đường cao h, đường trung bình m thì S = (a + b)h = mh Chứng minh các công thức cơ bản của diên tích tam giác Xét tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Nửa chu vi , đường cao AH = h, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Biết (1) Chứng minh các công thức cơ bản sau: a) S = pr b) S = absinC c) S = d) S = e) S = 2R2 sinAsinBsinC f) S = Chứng minh các bài toán cơ bản Bài 1:a) Nếu hai tam giác ABC và ADE có chung đỉnh A, hai cạnh BC và DE cùng thuộc một đường thẳng mà BC = k.DE thì SABC = k.SADE b) Nếu tam giác ABC có điểm N nằm trên BC mà BN = k.CN thì SABN = k.SACM c)Nếu tam giác ABC có N là trung điểm của BC thì SABN = SACM Bài 2: Nếu hai tam giác ABC và DBC có chung cạnh BC với hai đường cao AH, DK thì . Nếu AD // BC thì SABC = SADE Bài 3: Nếu hai tam giác ABC và DBC có chung cạnh BC mà đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E thì Bài 4: Nếu hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại điểm A thì Đặc biệt: Nếu hai tam giác ABC và ADE đồng dạng ( DE // BC) với A,D,B thẳng hàng và A, C, E thẳng hàng thì Bài 5: Cho tứ giác ABCD có góc tạo bởi hai đường chéo là a thì SABCD = AC.BDsina VII. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MA : MB = 1 : 3 và AN: NC = 4: 1. Gọi D là giao điểm của BN và CM. Tính SABC biết SABD = 2 Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng S. Các trung tuyến AE, CF, BM cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh rằng SFPC = Bài 3. Cho tam giác ABC, đường thẳng qua A cắt cạnh BC ở K và cắt đường trung tuyến BM tại I sao cho BI: IM = 1: 2. Tính Bài 4. Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) với AB = 5CD. Phân giác của góc ABC cắt cạnh AD ở E và EA = 3ED. Tính