Bài giảng Một số bài toán về hình hộp, lập phương

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! • Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. - 6 mặt của hình hộp là các hình bình hành. - Hai mặt đối diện song song và bằng nhau. - Bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm của mỗi đường. • Hình hộp chữ nhật: Có 6 mặt đều là các hình chữ nhật. • Hình lập phương: Là hình có 6 mặt đều là các hình vuông (bằng nhau). Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ; 3; ' 2AB a BC a AA a= = = . Điểm M trên AD chia đoạn AD theo tỉ số k = –3. Tính thể tích khối chóp . ' 'M B C C và khoảng cách từ M đến (AB’C) theo a. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A’D theo a. Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , góc A bằng 600, và chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O các đương chéo của đáy. Cho BB’ = a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp đó . Ví dụ 4: [ĐVH]. (Trích Đề thi ĐH khối B – 2008). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh
03; ' ; 60 2 aAB AD a AA BAD= = = = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. I E M NA' D' C' B' O C A D B Hướng dẫn: VA.BDMN = 3 4 VS.ABD = 3 1 . 4 3 SA.SABD = 14 .a 3 . 2 33 3 4 16 a a = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH]. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là tâm của ABCD và 'OA a= . Tính thể tích của khối hộp khi: a) cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ bằng nhau. b) OA' hợp với đáy ABCD một góc 600. c) A'B hợp với (AA'CC') một góc 300. d) diện tích tam giác BDA’ bằng 22a . 09. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP, LẬP PHƯƠNG Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Bài 2: [ĐVH]. Đáy của hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi có đường chéo nhỏ là a và góc nhọn là 600. Diện tích mặt bên của khối hộp là 22a Tính thể tích khối hộp. Bài 3: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối D – 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, 'A C a= . Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Bài 4*: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích là 2 3 8 a . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 5: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối B – 2007) Cho lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C có đáy là tam giác vuông 1, 2AB AC a AA a= = = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 1 1,AA BC . Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của 1AA và 1BC . Tính thể tích khối chóp 1 1MA BC . E N M C B A B1 C1A1 Hướng dẫn: +) MN // AE mà 1 1AE AA MN AA⊥ ⇒ ⊥ Do hai hình chữ nhật: 1 1 1 1,AA B B AA C C bằng nhau: 1MB MC= Do đó 1MBC∆ cân tại M 1MN BC⇒ ⊥ . MN là đường vuông góc chung. +) 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )AC AA B B A C A MB⊥ ⇒ ⊥ 1 1 1 1 1. 1 1 1 . 3M A B C C A M B A M B V V A C S⇒ = = Bài 6: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối B – 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và
060BAC = . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. a 600 600 A' C' B' C AB Bài 7: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối D – 2009) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). a 2a 3a H I M C' B' A' B CA K Hướng dẫn: 2 2 4 ' ' ' 3 3 3 IH CI aIH AA AA CA = = ⇒ = = và IH là đường cao của tứ diện IABC. 15, 2 . .... 3IABC ABC AC a BC a V IH S= = ⇒ = = +) Dựng IK vuông góc với A’B. Ta có A’K là khoảng cách từ A đến (IBC). Bài 8: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'. a 2a a 3 I C' B' A' B CA Bài 9: [ĐVH]. Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a. Tính thể tích của khối hộp khi: a) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương. b) OA' hợp với đáy ABCD một góc 600. c) A'B hợp với (AA'CC') một góc 300. Đ/s: a) 32 6 9 aV = ; b) 3 3 4 aV = ; c) 34 3 9 aV = Bài 10: [ĐVH]. Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 300 và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600. Tính thể tích hộp chữ nhật. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Đ/s: 32 2 3 aV = Bài 11: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có AB = a; AD = b; AA' = c và
030BAD = và biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: 3 4 abcV = Bài 12: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' trên (ABCD) nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o . a) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD. b) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'. c) Tính thể tích của hộp. Đ/s: b) 2 2 ' ' ' ' 2;ACC A BDD BS a S a= = c) 3 2 2 aV =