Bài giảng môn toán: Phương trình bậc hai

Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Toán cơ bản và Nâng cao 10 – Chuyên đề PT và hệ PT] Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình: a) ( ) ( )2 23 5 3 0x x− − − = b) ( )( )25 3 9 25 0x x− − = c) ( )( ) 22 3 4 1 9 4x x x+ − = − Lời giải: a) Phương trình tương đương: ( ) ( ) ( ) ( )3 5 3 . 3 5 3 0x x x x   − + − − − − =    ( )( ) 4 8 0 24 8 2 2 0 .2 2 0 1 x x x x x x − = =  ⇔ − − = ⇔ ⇔  − = =  Vậy tập hợp nghiệm { }1; 2S = . b) ( )( )2 22 53 55 3 0 35 3 9 25 0 .25 59 25 0 9 3 x x x x x xx x  = =  − =  − − = ⇔ ⇔ ⇔   =− =  = ±  Vậy 5 5; 3 3 S  = −    . c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )22 3 4 1 9 4 2 3 4 1 2 3 3 2 2 3 4 1 3 2 0x x x x x x x x x x+ − = − ⇔ + − = − + ⇔ + − − + = ( )( ) 3 2 3 0 22 3 6 4 0 26 4 0 3 x x x x x x  = −+ = ⇔ + − = ⇔ ⇔  − =  =  . Vậy 3 2; 2 3 S  = −    . Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình (chính xác đến hàng phần trăm) a) 2 5,60 6,41 0x x− + = b) 22 4 3 2 2 0x x+ − = Lời giải: Sử dụng máy tính, ta tính được 2 nghiệm gần đúng a) 4,00; 1,60x x≈ ≈ b) 0,38; 5,28x x≈ ≈ − Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình: a) 2 4 3 0x x m− + − = b) ( ) 21 3 1 0m x x− + − = Lời giải: a) 2 4 3 0x x m− + − = có ( )4 3 7 .m m∆ = − − = − Biện luận: Nếu ' 0 7m∆ thì phương trình vô nghiệm Nếu ' 0 7m∆ = ⇔ = thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2x x= = Nếu ' 0 7m∆ > ⇔ < thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 7x m= ± − b) – Khi 1m = phương trình: 13 1 0 3 x x− = ⇔ = – Khi 1m ≠ phương trình bậc 2 có ( )9 4 1 4 5m m∆ = + − = + Nếu 5 4 m < − thì 0 :∆ < phương trình vô nghiệm. Nếu 5 4 m = − thì 0 :∆ = phương trình có nghiệm kép: ( )1 2 3 2 2 1 3 x x m − = = = − Nếu 5 4 m > − thì 0 :∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( ) 3 4 5 2 1 m x m − ± + = − . Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình: 03. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! a) ( ) ( )1 1 1 0k x x + − − =  b) ( )( )2 2 1 0mx mx x− − + = Lời giải: a) – Xét 1x = thì phương trình nghiệm đúng. – Xét 1x ≠ thì phương trình tương dương ( )1 1k x+ = . Nếu 1k = − thì phương trình 0 1x = vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm phương trình 1x = . Nếu 1k ≠ thì phương trình 1 . 1 x k = + Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 11; . 1 x x k = = + b) Phương trình: ( ) ( )22 1 3 2 2 0m m x m x− − − − = - Với 0m = phương trình có một nghiệm 1x = - Với 1 2 m = , phương trình có một nghiệm 4x = - Với 0m ≠ và 1 2 m ≠ phương trình bậc hai có: ( ) ( ) ( )2 223 2 8 2 1 25 20 4 5 2 0m m m m m m∆ = − + − = − + = − ≥ Xét 2 5 m = thì phương trình có nghiệm duy nhất 5 2 x = . Xét 2 5 m ≠ thì phương trình cóhai nghiệm phân biệt 2 3 x = và 1 2 1 x m − = + . Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình: a) ( )2 2 3 1 0mx m x m− + + + = b) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 0a b x a b ab x ab a b= − + − − − = Lời giải: a) ( )2 2 3 1 0mx m x m− + + + = - Xét 0m = phương trình trở thành phương trình bậc nhất: 16 1 0 6 x x− + = ⇔ = - Xét 0m ≠ ta có ( ) ( )2' 3 1 5 9m m m m∆ = + − + = + Nếu 9 5 m > − thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,2 3 5 9m m x m + ± + = Nếu 9 5 m = − thì phương trình có nghiệm kép 1 2 3 2 3 m x x m + = = = − Nếu 9 5 m < − thì phương trình vô nghiệm. b) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 0a b x a b ab x ab a b= − + − − − = - Xét a b= thì phương trình 2 0abx = Nếu 0a b= = thì nghiệm là mọi x Nếu 0a b= ≠ thì phương trình có nghiệm 0x = - Xét 0a ≠ thì phương trình bậc 2 có biệt thức ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22 2 4 8 2 8a b ab ab a b a b ab ab a b ∆ = + − + − = − − + −  ( ) ( ) ( ) 24 2 22 24 4 2 0a b ab a b a b a b ab = + + − + = − + >   nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 2 ; ab x a b x a b = − = − − Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau: a) ( )2 3 4 8 34 0mx m x m+ + + + = b) 2 0x x m− + = Lời giải: a) Xét 0m = . Phương trình 174 34 0 2 x x+ = ⇔ = − Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Xét ( ) ( )2 2 2 20 : 3 4 4 8 34 9 24 16 32 136 23 112 16m m m m m m m m m m≠ ∆ = + − + = + + − − = − − + - Nếu 2 56 35040 23 112 16 0 23 m m m − ±∆ = ⇔ + − = ⇔ = phương trình có nghiệm kép 3 4 2 m x m + = − . - Nếu 2 2 2 112 16 56 3504 56 35040 23 112 16 0 23 23 23 529 23 23 m m m m m m  ∆ ⇔ + > ⇔ + > ⇔ + >    56 3504 23 m − − ⇔ < hoặc 56 3504 23 m − + > . Phương trình vô nghiệm. - Nếu 2 0 0 23 112 16 0 56 3504 56 3504 23 23 m m m m ≠ ∆ > ⇔ + − < ⇔  − − − + < <  . Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 1,2 3 4 23 112 16 2 m m m x m − + ± − − + = . b) 2 0x x m− + = (1) Đặt , 0t x t= ≥ thì (1): 2 0t t m− + = (2) 1 4m∆ = − Nếu 10 1 4 0 4 m m∆ thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm. Nếu 10 4 m∆ = ⇔ = thì (2) có nghiệm kép 1 0 2 t = ≥ nên (1) có nghiệm 1 1 2 2 x x= ⇔ = ± . Nếu 10 1 4 0 4 m m∆ > ⇔ − > ⇔ < thì (2) có nghiệm 1 2 1 1 4 1 1 4 , 0 2 2 m m t t − − + − = = > Với 0m = thì 1 20, 1t t= = nên (1) có nghiệm 0, 1x x= = ± . Với 0m < thì 1 0t < nên (1) có 2 nghiệm 1 1 4 2 m x  + − = ±     . Với 0 1m nên (1) có 4 nghiệm : 1 1 4 1 1 4 ; 2 2 m m x x     − − + − = ± = ±           . Ví dụ 7: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai parabol: 2 2 3y x x= − − + và 2y x m= − theo m. Lời giải: Số giao điểm của hai parabol đúng bằng số nghiệm của hai phương trình hoành độ giao điểm 2 2 22 3 2 2 3 0x x x m x x m− − + = − ⇔ + − − = 2 7m∆ = + . Do đó: Nếu 3,5m < − thì phương trình vô nghiệm, suy ra hai parabol không có điểm chung. Nếu 3,5m = − thì phương trình có một nghiệm (kép), suy ra hai parabol có một điểm chung. Nếu 3,5m > − phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy ra hai parabol có hai điểm chung. Ví dụ 8: [ĐVH]. Chứng minh phương trình a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x a x b x b x c x c x a− − + − − + − − = luôn có nghiệm với mọi a, b, c. b) ( )2 2 2 2 2 2 0a x a b c x b+ + − + = vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Lời giải: a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )20 3 2 0x a x b x b x c x c x a x a b c x ab bc ca− − + − − + − − = ⇔ − + + + + + = ( ) ( )2' 2 2 2 2 2 213 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab ac ca ∆ = + + − + + = + + − − − = + + − − −  ( ) ( ) ( )2 2 21 0, , 2 a b b c c a a b c = − + − + − ≥ ∀   . Vậy phương trình luôn có nghiệm. b) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 2a b c a b a b c ab a ab b c a ab b c∆ = + + − = + + − = + + − − + − ( ) ( ) ( )( )( )( )2 22 2a b c a b c a b c a b c a b c a b c   = + − − − = + + + − − + − −     Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác nên: Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! 0, 0, 0, 0a b c b b c a b c a b c+ + > + − > − + > − − < . Do đó 0∆ < . Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm m để phương trình a) ( ) ( )22 2 3 2 2 0m x m x m+ + − + + = có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. b) ( )2 2 3 1 0x m x m− + + − = có một nghiệm bằng 2 và tìm nghiệm kia. Lời giải: a) Điều kiện 2 0 2m m+ ≠ ⇔ ≠ − Phương trình ( ) ( )22 2 3 2 2 0m x m x m+ + − + + = có nghiệm kép khi ' 0∆ = ( ) ( )( )2 2 03 2 2 2 0 8 16 0 2 m m m m m m m = ⇔ − − + + = ⇔ − = ⇔  = Ta có ( )1 2 3 22 m x x m − − = = + . Khi 0m = thì 1 2 1;x x= = khi 2m = thì 1 2 1x x= = − . b) Thế 2x = vào phương trình : ( )4 4 3 1 0 3 9 3m m m m− + + − = ⇔ = − ⇔ = − Với 3m = − thì phương trình 2 4 0 2x x− = ⇔ = ± . Vậy nghiệm kia là 2x = − . Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hai phương trình bậc hai: 2 2 1 1 2 20; 0x p x q x p x q+ + = + + = có các hệ số thỏa mãn điều kiện ( )1 2 1 22p p q q≥ + Chứng minh rằng trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm. Lời giải: Ta dùng phương pháp phản chứng. Giả sử hai phương trình đều vô nghiệm. Suy ra : ( ) 2 1 1 1 2 2 1 2 1 22 2 2 2 4 0 4 4 0 p q p p q q p q ∆ = − < ⇒ + < + ∆ = − < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 2 2.2 4 4 4q q p p p p q q q q q q q q⇒ + > + ≥ ≥ + = + ⇒ + > + : Điều này là vô lí. Vậy ít nhất một trong hai phương trình phải có nghiệm. Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho hai phương trình 2 1 0x x m+ + + = và ( )2 1 1 0.x m x+ + + = Tìm m để hai phương trình : a) có một nghiệm chung b) tương đương Lời giải: a) Giả sử 2 phương trình có một nghiệm chung 0x thì ta có hệ phương trình: ( ) 2 0 0 2 0 0 1 0 (1) 1 1 0 (2) x x m x m x  + + + =  + + + = Trừ phương trình (2) với (1) vế với vế ta có: ( )0 0 0 0 0 1 0 1 m mx m m x x = − = ⇔ − = ⇔  = Khi 0m = thì hai phương trình vô nghiệm (loại). Khi 0 1x = thì 3m = − . Lúc đó phương trình (1) trở thành 2 2 0x x+ − = có 2 nghiệm : 1 21; 2x x= = − và phương trình (2) trở thành 2 2 1 0x x− + = có nghiệm kép 1 2 1x x= = . Vậy 3m = − thì hai phương trình có nghiệm chung. b) Theo kết quả trên hai phương trình chỉ tương đương khi chúng vô nghiệm : ( ) ( ) 1 2 2 2 31 4 4 0 4 30 4 3 3 140 1 2 hay 1 2 41 4 0 1 4 3 hay 1 m m m m m m mm m m m  − − − ∆ − > −   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − + −  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau: a) 2 5 3 1 0.x x m+ + − = b) 22 12 15 0.x x m+ − = Bài 2: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau: Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! a) 2 22( 1) 0.x m x m− − + = b) 2( 1) 2( 1) 2 0.m x m x m+ − − + − = Bài 3: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau: a) 2( 1) (2 ) 1 0.m x m x− + − − = b) 2 2( 3) 1 0.mx m x m− + + + = Bài 4: [ĐVH]. Cho biết một nghiệm của phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại? a) 2 31 0; . 2 x mx m x− + + = = − b) 2 22 3 0; 1.x m x m x− + = = Bài 5: [ĐVH]. Cho biết một nghiệm của phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại? a) 2( 1) 2( 1) 2 0; 2.m x m x m x+ − − + − = = b) 2 22( 1) 3 0; 0.x m x m m x− − + − = = Bài 6: [ĐVH]. Cho phương trình ( )2( 1) 2( 1) 2 0, *m x m x m+ − − + − = Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Bài 7: [ĐVH]. Tìm m để phương trình 2 0x x m− + = có hai nghiệm phân biệt? Bài 8: [ĐVH]. Cho phương trình 2 2 22( 4 ) ( 4) 0mx m m x m m− + + + = Xác định m để: a) Phương trình có nghiệm kép. Tính giá trị nghiệm kép đó. b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và có trị tuyệt đối bằng nhau.