Bài giảng môn toán: Hàm số bậc hai phần 2

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! DẠNG 2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 2 Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) 2 6y x x= − b) 2 4 5y x x= − + + … Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ( ) 2: 2 4 6P y x x= − − + a) Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng vẽ ( )P b) Tìm x sao cho 0y ≥ . ... Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho ( ) 21: 4 2 P y x x= + − . a) Vẽ đồ thị. b) Biện luận số nghiệm phương trình: 21 0 2 x x m+ − = . ... Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ( ) 2: 2 3 1P y x x= − + a) Vẽ đồ thị ( )P . b) Xác định m để phương trình 22 3 1x x m− + = không có nghiệm; có hai nghiệm; có 3 nghiệm; có 4 nghiệm. Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) 2 khi 0 2 khi 0 x x y f x x x x − ≤ = =  − + > a) Vẽ đồ thị hàm số. b) Xác định m để phương trình ( )f x m= có 3 nghiệm phân biệt. ... Ví dụ 6: [ĐVH]. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số : a) 2 2y x x= + b) 20,5 1 1y x x= − − + ... Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho ( ) 2: 4 3P y x x= − + a) Vẽ đồ thị ( ).P Suy ra đồ thị ( ) 2 4 3y g x x x= = − + b) Tìm m để phương trình 2 4 3x x m− + = có 8 nghiệm phân biệt. … Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho parabol ( ) 2: , 0P y ax bx c a= + + ≠ . Xét dấu hệ số a và biệt thức ∆ khi: a) ( )P hoàn toàn nằm phía trên trục hoành b) ( )P hoàn toàn nằm phía dưới trục hoành c) ( )P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành. DẠNG 3. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số : a) 1y x= − và 2 2 1y x x= − − b) 2 5y x= − và 2 4 1y x x= − − Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2 22 1 1 3 0 0x x x x x x− − = − ⇔ − = ⇔ = hoặc 3x = Khi 0x = thì 1y = − ; 3x = thì 2y = Vậy có 2 giao điểm ( )0; 1A − và ( )3; 2A . b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 03. HÀM SỐ BẬC HAI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! 2 24 1 2 5 6 4 0x x x x x− − = − ⇔ − + = ' 9 4 5∆ = − = nên 1 3 5x = − , 2 3 5x = + Khi 1 3 5x = − thì 1 1 2 5y = − , khi 2 3 5x = + thì 2 1 2 5y = + . Vậy có 2 giao điểm ( ) ( )3 5;1 2 5 , 3 5;1 2 5M N− − + + . Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường parabol: a) 2 4y x= − và 24y x= − b) 2 1 4 xy x= + + và 2 2 1y x x= − + Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 24 4 2 8 4 2x x x x x− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Khi 2x = − thì 0y = ; 2x = thì 0y = . Vậy có 2 giao điểm ( )2; 0A − và ( )2; 0B . b) Phương trình hoành độ giaod điểm: 2 2 21 2 1 3 4 0 0 4 x x x x x x x+ + = − + ⇔ − = ⇔ = hoặc 4x = Khi 0x = thì 1y = ; 4x = thì 9y = . Vậy có 2 giao điểm ( )0;1I và ( )4; 9J . Ví dụ 3: [ĐVH]. Chứng minh đường thẳng: a) 3y x= − + cắt ( ) 2: 4 1P y x x= − − + b) 2 5y x= − tiếp xúc với ( ) 2: 4 4P y x x= − + Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 23 4 1 3 2 0x x x x x− + = − − + ⇔ + + = Vì 9 8 0∆ = − > nên đường thẳng cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt. b) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 24 4 2 5 6 9 0x x x x x− + = − ⇔ − + = Vì 9 9 0∆ = − = nên đường thẳng tiếp xúc với ( )P . Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số 2 2 1.y x x m= − + − Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số: a) Không cắt trục Ox b) Tiếp xúc với trục Ox c) Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O. Lời giải: Cho ( )20 2 1 0; ' 1 1 2y x x m m m= ⇔ − + − = ∆ = − − = − a) Đồ thị không cắt trục Ox khi ' 0 2 0 2m m∆ . b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox khi ' 0 2 0 2m m∆ = ⇔ − = ⇔ = . c) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về bên phải gốc O khi phương trình có nghiệm dương phân biệt ' 0 2 0 2 0 1 0 1 2 1 0 1 0 m m P m m m S ∆ > − >  <  > ⇔ − > ⇔ ⇔ < <   > > >  . Ví dụ 5: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của đường thẳng ( ) : 2d y x m= + với ( ) 2: 6.P y x x= + − Khi cắt 2 điểm A, B, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 26. 2 6 0x x x m x x m+ − = + ⇔ − − − = ( )1 4 6 4 25.m m∆ = + + = + Do đó: Nếu 25 4 m < − thì 0 :∆ < phương trình vô nghiệm nên ( )d và ( )P không có điểm chung. Nếu 25 4 m = − thì 0 :∆ = phương trình có nghiệm kép nên ( )d tiếp xúc với ( )P . Nếu 25 4 m > − thì 0 :∆ > phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên ( )d và ( )P có hai điểm chung phân biệt. Giả sử ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt thì A, B có tọa độ: ( )1 1; 2A x x m+ và ( )2 2; 2B x x m+ . Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là 1 2 1 2;2 x xI x x m+ + +    Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! Theo định lí Vi-ét, ta có 1 2 1x x+ = nên điểm 1 : 2 1 x I y m  =   = + Vì điều kiện 25 4 m > − nên 19 5 y > − . Vậy quỹ tích của trung điểm I là phần đường thẳng: 1 , 2 x = giới hạn 19 . 5 y > − Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho parabol ( ) 2: 4 3P y x x= − + Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( )4;1A biết rằng: a) d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với ( )P . Lời giải: Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A, phương trình của d là: ( )1 4 4 1y k x y kx k− = − ⇔ = − + Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 24 3 4 1 4 4 2 0x x kx k x k x k− + = − + ⇔ − + + + = ( ) ( )2 24 4 4 2 8 4k k k k∆ = + − + = − + . a) d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt khi 0∆ > ( )22 8 4 0 4 8 4 2 2 4 2 2k k k k k⇔ − + > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ − . Phương trình : 4 1d y kx k= − + . b) d tiếp xúc với ( )P khi 20 8 4 0 4 2 2k k k∆ = ⇔ − + = ⇔ = ± Vậy ( ) ( ): 4 2 2 15 8 2; 4 2 2 15 8 2d y x y x= + − − = − − + . Ví dụ 7: [ĐVH]. Lập phương trình tiếp tuyến với ( ) 2: 1P y x x= + − a) Tại điểm ( )2;1A − b) đi qua ( )1; 5B − − Lời giải: a) Đường thẳng d đi qua ( )2;1A − có hệ số góc k: ( )1 2 2 1y k x y kx k− = + ⇔ = + + Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 21 2 1 1 2 2 0x x kx k x k x k+ − = + + ⇔ + − − − = Điều kiện tiếp xúc: ( ) ( )2 20 1 4 2 2 0 6 9 0 3.k k k k k∆ = ⇔ − + + = ⇔ + + = ⇔ = − Vậy tiếp tuyến : 3 5d y x= − − . b) Đường thẳng d đi qua ( )1; 5B − có hệ số góc 'k : Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 21 5 1 4 0x x kx k x k x k+ − = + − ⇔ + − + − = Điều kiện tiếp xúc: ( ) ( )2 20 1 4 4 0 2 15 0 3k k k k k∆ = ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ = hoặc 5k = − . Khi 3k = , phương trình tiếp tuyến 1 : 3 2d y x= − Khi 5k = − , phương trình tiếp tuyến 2 : 5 10d y x= − − . Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho parabol ( ) 2: 3 2P y x x= − + . Lập phương trình tiếp tuyến của ( )P biết rằng: a) Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 450 b) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 2 1y x= + c) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1 2 3 y x= − + Lời giải: a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox một góc bằng 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là 0tan 45 1d = = , do đó : .d y x b= + Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 23 2 4 2 0x x x b x x b− + = + ⇔ − + − = Điều kiện tiếp xúc: ( )' 4 2 0 2b b∆ = − − = ⇔ = − Vậy phương trình đường thẳng d là 2y x= − . b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng 2 1y x= + nên hệ số góc của d bằng 2, do đó : 2 , 1.d y x b b= + ≠ Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 23 2 2 5 2 0x x x b x x b− + = + ⇔ − + − = Điều kiện tiếp xúc: ( ) 17' 25 4 2 0 4 b b∆ = − − = ⇔ = − . Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! Vậy phương trình tiếp tuyến d là 172 . 4 y x= − c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng 1 2 3 y x= − + nên có hệ số góc của d bằng 3, do đó : 3d y x b= + Phương trình hoành độ giao điểm: 2 23 2 3 6 2 0x x x b x x b− + = + ⇔ − + − = Điều kiện tiếp xúc: ( )' 9 2 0 7b b∆ = − − = ⇔ = − . Vậy phương trình tiếp tuyến d là 3 7.y x= − Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng : 1d y x= − cắt parabol ( ) 2: 1P y x mx= + + tại hai điểm P, Q mà đoạn 3PQ = . Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 21 1 1 2 0x mx x x m x+ + = − ⇔ + − + = Điều kiện cắt tại 2 điểm 2, : 0 2 7 0P Q m m∆ > ⇔ − − > Ta có ( ) ( )2 22 1 2 13 9PQ x x y y= ⇔ − + − = ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 11 1 9 2 9x x x x x x⇔ − + − − + = ⇔ − = ( )2 2 21 2 1 2 92 2 9 4 2x x x x S P⇔ − − = ⇔ − = Theo định lí Vi-ét: 1 2 1 21 , 2 b cS x x m P x x a a = + = − = − = = = nên: ( ) ( )2 29 251 8 1 2 2 m m− − = ⇔ − = 5 5 21 1 22 m m⇔ − = ± ⇔ = ± (chọn). BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số 2 22 1y x mx m= − + − luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị hàm số luôn chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình a) 2 2x x x m+ + = . b) 2 3 2 .x x m− + − = c) ( ) ( )2 1 0x x m+ − − = . d) 2 2 3 0x x m− − − = . Bài 3: [ĐVH]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình a) 23 4 0x x m− − − = b) 2 33 2 5 0x x x m+ − − − + = c) ( )( )1 1 2 0x x m+ − − = d) 22 3 1 0x x m− + − = Bài 4: [ĐVH]. Tìm tham số m để phương trình sau có k nghiệm phân biệt a) ( )( )2 21 0m x x m x x− − − − + = , (Với k = 4) b) ( )( )2 22 4 2 0,x x m x x m− − + + − = (Với k = 4) Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) ( )2: 2 3 1 2 , .mP y m x m x m C= − + + − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )P khi 1m = , gọi là ( )mC . b) Chứng minh rằng họ đồ thị ( )mC luôn đi qua điểm cố định. c) Định tham số m để đồ thị hàm số ( )mC nhận đường thẳng 2 1y x= + làm tiếp tuyến. d) Dựa và đồ thị ( )1C , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ( )2 2 3 2 1 0.x x m− + − + = Bài 6: [ĐVH]. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số. Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! a) ( ) 21 2 3 1y m x mx m= − + − + . b) ( ) ( )22 1 3 4.y m x m x m= − − − + − c) 2 2 1y mx mx= − + . Bài 7: [ĐVH]. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số. a) ( )2 2 22 1 1y m x m x m= + − + − . b) ( ) 31 2y m x m= − − + . c) 3 2y mx mx= − + . Bài 8: [ĐVH]. Định tham số m để các cặp đồ thị sau không cắt nhau; cắt nhau tại hai điểm phân biệt. a) ( ) 21 : 2 4P y x x= − + và ( ) 22 : 2P y x x m= − + + . b) ( ) 21 :P y mx mx m= − + và ( ) 22 : (2 ) 3P y x m x= + − + . Bài 9: [ĐVH]. Định tham số m để các cặp đồ thị sau tiếp xúc với nhau (có duy nhất một điểm chung). a) ( ) 21 1: 12P y x x= − + + và ( ) 2 2 :P y x x m= − + . b) ( ) 2 21 :P y x mx m= + − và ( ) 22 : 5 6P y x mx= − − . Bài 10: [ĐVH]. Cho Paranbol ( ) 2: 2P y x x= − + . a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( )P . b) Tìm tham số m để phương trình 2 2 0x x m− − = có nghiệm duy nhất.