Bài giảng môn toán: Định lí vi-Ét

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Toán cơ bản và Nâng cao 10 – Chuyên đề PT và hệ PT] Khi phương trình 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta có hệ thức Vi-ét: 1 2 1 2  = + = −   = =  bS x x a cP x x a Một số các kết quả cần lưu ý:
( )22 2 21 2 1 2 1 22 2+ = + − = −x x x x x x S P
( ) ( )33 3 31 2 1 2 1 2 1 23 3+ = + − + = −x x x x x x x x S SP
( ) ( )2 24 4 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2x x x x x x S P P+ = + − = − −
( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 24 4− = + − = −x x x x x x S P Chú ý:
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 2 1 2 1 2 1 2 4 0 0 0 ; 0 0   − > ∆ > − ⇔ = + = >  >   = = > b ac bS x x x x a cP x x a
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi 2 1 2 1 2 1 2 4 0 0 0 ; 0 0   − > ∆ > − ⇔ = + = <  <   = = > b ac bS x x x x a cP x x a
Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 2 21 2 1 2 4 0 4 00 0 2α 2α 2α α α α 0 α α 0 α α 0    − > − > ∆ >  ∆ >  − −  ⇔ + > ⇔ = + = > ⇔ = + = >    >    − − >   − + + > + + > b ac b ac b b x x S x x S x x x ,x a a x x c bx x x x . a a
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 2 21 2 1 2 4 0 4 00 0 2α 2α 2α α α α 0 α α 0 α α 0    − > − > ∆ >  ∆ >  − −  ⇔ + < ⇔ = + = < ⇔ = + = <    <    − − >   − + + > + + > b ac b ac b b x x S x x S x x x ,x a a x x c bx x x x . a a
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi ( ) 21 2 0 00 ; α α 0 α α 0 ∆ > ∆ >∆ >    ⇔ ⇔   ≠ ≠ + + ≠ x x g a b c 04. ĐỊNH LÍ VI-ÉT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi ( )( ) ( ) 1 2 1 21 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0000 αααα 2222 0000 α α α 0 α α 0 α α 0  ∆ = ∆ = ∆ =  ∆ =   −  −− − = = >  = = >= = >= = >     ⇔ ⇔ ⇔  ∆ > ∆ >∆ > ∆ >        < < − − < − + + < + + <      bbbb x x x xx xx x a aaa c b x x x x x x x x . a a
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi ( )( ) ( ) 1 2 1 21 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0000 αααα 2222 0000 α α α 0 α α 0 α α 0  ∆ = ∆ = ∆ =  ∆ =   −  −− − = =  ∆ >∆ > ∆ >        < < − − < − + + < + + <      bbbb x x x xx xx x a aaa c b x x x x x x x x . a a Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho phương trình ( ) ( )21 4 2 3 0, 1m x mx m+ + + + = a) Giải và biện luận phương trình đã cho. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −1. Lời giải: a) Giải và biện luận phương trình.
Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì ( ) 51 4 5 0 . 4 x x⇔ − − = ⇔ = −
Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình bậc hai có ( )( )2 24 1 2 3 2 5 3m m m m m′∆ = − + + = − − + Nếu 2 10 2 5 3 0 3 2 m m m′∆ < ⇔ − − < ⇔ − < < thì (1) vô nghiệm. + Nếu 2 3 0 2 5 3 0 1 2 m m m m = ′∆ = ⇔ − − = ⇔  = −  thì (1) có nghiệm kép 2 . 1 b m x a m ′ − = − = + + Nếu 2 3 0 2 5 3 0 1 2 m m m m > ′∆ > ⇔ − − > ⇔  < −  thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 1;2 2 2 5 3 . 1 m m m x m − ± − + = + b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ( )2 3 0 2 5 3 0 *1 2 m m m m > ′∆ > ⇔ − − > ⇔  < −  Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 với x2 > x1. Theo định lí Vi-ét ta có 1 2 1 2 4 1 2 3 1 b m x x a m c m x x a m  + = − = +  + = =  + Hai nghiệm đều dương khi 1 2 1 2 1 04 00 11 . 0 2 3 30 1 2 o mm x x mm vn x x m m m − < < − > + >   > −+ ⇔ ⇔ →  > +  >  < − +  c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi ( )( )1 2 1 2 1 1 0 2 x x x x  + + >  + < − Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ( )1 2 1 2 1 2 2 3 4 4 1 41 0 01 0 1 1 1 1 4.1 4 42 2 2 0 11 1 m m m m x x x x m m m mm m mx x m m m + − +  − < < − + > >  + + + >   + + +⇔ ⇔ ⇔ ⇔     + < −     − < − + +  Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho phương trình ( )( ) ( )22 2 1 0, 1x x mx m+ + − + = . a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm. c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn 2 2 21 2 3 7.x x x+ + < Lời giải: a) Ta có ( ) ( )2 2 1 ( ) 2 1 0, 2 x g x x mx m = − ⇔  = + − + = Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2. Điều đó xảy ra khi ( ) ( ) 2 2 4 2 5 0 4 1 2 0 8 4 0 4 2 5 * 4 5( 2) 0 4 2 2 1 0 5 4 g m m m m m m mg m m m  > − + ∆ >  − − > + − >   < − −⇔ ⇔ ⇔    ≠− ≠ − − + ≠    ≠  Vậy với 4 2 5 4 2 5 5 4 m m m  > − +   < − −  ≠  thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu. Từ đó ta có 10 1 2 0 . 2 P m m Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. c) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = −2. Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2). Theo định lí Vi-ét ta được 2 3 2 3 1 2 x x m x x m + = −  = − Khi đó ( ) ( )22 2 2 2 21 2 3 2 3 2 37 4 2 7 2 1 2 3 0 4 5 0 5 1.x x x x x x x m m m m m+ + < ⇔ + + − < ⇔ − − − < ⇔ + − < ⇔ − < < Kết hợp với điều kiện (*) ta được 4 2 5 1m− + < < là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho phương trình 2 2 15 0x x− − = có 2 nghiệm 1 2, .x x Không giải phương trình, tính: 2 2 1 2 ,A x x= + 3 3 1 2 ,B x x= + 4 4 1 2 .C x x= + Lời giải: Vì a, c trái dấu nên phương trình có 2 nghiệm 1 2,x x . Ta có: 1 2 1 22; 15 b cS x x P x x a a = + = − = = = = − nên : ( )22 21 2 1 2 1 22 4 30 34A x x x x x x= + = + − = + = ( ) ( )33 31 2 1 2 1 2 1 23 8 90 98B x x x x x x x x= + = + − + = + = ( ) ( ) ( )2 2 24 4 2 2 21 2 1 2 1 22 34 2 15 706C x x x x x x= + = + − = − − = Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho phương trình 2 3 7 0x x− − = có 2 nghiệm 1 2, .x x Không giải phương trình, tính: 1 2 ,D x x= − 1 2 1 1 , 1 1 E x x = + − − ( )( )1 2 2 13 3F x x x x= + + . Lời giải: Ta có : 1 2 1 23; 7S x x P x x= + = = = − nên 2 2 2 2 2 1 1 1 22 4 4 37D x x x x S P D S P= + − = − ⇒ = − = Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ( )( ) ( ) ( ) 1 22 1 1 2 1 2 1 2 21 1 2 1 1 1 1 1 9 x xx x SE x x x x x x P S + − − + − − = = = = − − − + + − + ( )2 2 21 2 1 2 1 29 3 3 4 1F x x x x x x S P= + + + = + = . Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho phương trình bậc hai 2a 0, 0x bx c a+ + = ≠ có 2 nghiệm 1 2, .x x Chứng minh ( )( )2 1 2 .ax bx c a x x x x+ + = − − Áp dụng phân tích ra thừa số: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 7 4, 2 1 2 2 1 2.f x x x g x x x= − − + = + − + + Lời giải: Ta có 1 2 b x x a + = − và 1 2 . c x x a = Do đó ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 b c ax bx c a x x a x x x x x x a x x x x a a    + + = + + = − + + = − −     . Vì ( )f x có hai nghiệm là 4− và 1 2 nên phân tích thành ( ) ( ) ( )( )12 4 4 1 2 2 f x x x x x = − + − = + −    . Vì ( )g x có hai nghiệm là 2 và 2 2 1+ nên phân tích thành ( ) ( )( ) ( ) ( )22 1 2 2 2 1 2 . 2 1 g x x x x x     = + − = = − + −    +  Ví dụ 6: [ĐVH]. a) Đơn giản 2 2 2 2 12 , 12 x xA x x − − = + − 4 2 4 2 9 20 10 24 x xB x x − + = − + b) Phân tích thành nhân tử ( ) 2 2 2 2 2, 4 2 2 2 1P x y x x y x y x xy x= − + − + − − Lời giải: a) ( )( )( )( ) ( )2 2 2 2 3 2 22 2 12 , 3 3 4 412 x x xx xA x x x xx x + − + − − = = = ≠ − + ++ − ( )( ) ( )( ) 2 24 2 2 4 2 22 2 4 59 20 5 , 2 10 24 64 6 x xx x xB x x x xx x − − − + − = = = ≠ ± − + − − − b) Ta có thể viết thành tam thức bậc hai theo y ( ) ( )2 2 2 4 2, 2 4 2 1P x y x y x x y x x x= − + + + − − − . Biệt số ( ) ( )2' 2 2 4 2 64 2 1 4x x x x x x x∆ = + + − − − = nên 2 3 2 3 1 22 2 2 2 . x x x x x xy y x x − − − − − + = = − − . Vậy ( ) ( )( )2 2, 1 2 1 2 .P x y xy x x xy x x= − − − − − − + Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm các giá trị của m để phương trình : a) 2 4 1 0x x m− + − = có nghiệm là 1, 2x x mà 3 31 2 40x x+ = . b) ( ) ( )2 4 1 2 , 4 0x m x+ + + − = có 2 nghiệm và hiệu số giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 17. Lời giải: a) Điều kiện có nghiệm là ( )4 1 5 0m m∆ = − − = − ≥ hay 5m ≤ . Khi đó 1 2 4x x+ = và 1 2 1x x m= − . Ta có : ( ) ( ) ( )33 3 31 2 1 2 1 2 1 23 4 12 1 76 12x x x x x x x x m m+ = + − + = − − = − nên 3 3 1 2 40 76 12 40 12 36 3x x m m m+ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn). b) ( ) ( )2 24 1 8 4 16 33 0, ,m m m m∆ = + − − = + > ∀ Ta có ( ) ( )1 2 1 24 1 , 2 4x x m x x m+ = − + = − . Giả sử 1 2x x> thì ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 217 289 4 289 16 33 289 16 4.x x x x x x x x m m m− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho phương trình bậc hai ( ) ( )22 2 1 3 0m x m m+ − − + − = . Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x và thỏa mãn hệ thức 2 21 2 1 2x x x x+ = + . b) Tìm một hệt thức giữa 1 2,x x không phụ thuộc vào m. c) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm: 1 21 2 1 2 1 1 , 1 1 x xX X x x − − = = + + . Lời giải: a) ( )22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x x x x x+ = + ⇔ + − = + hay 2 2S P S− = Điều kiện phương trình có 2 nghiệm 1 2,x x và thỏa mãn hệ thức 2 2 1 2 1 2x x x x+ = + là : ( ) 2 ' 2 2 2 52 3 5 0 5 1 hay1 hay0 2 .22 11 3 3 132 4 2 3 1 02 2 2 2 m m m m m m mm mS P S m m mm m m  − − ≥   ∆ ≥    ⇔ ⇔ ⇔   − − −  ±− = − =      − − = =+ + +   b) ( ) ( )2 1 2 2 3 6 3 5 2 52 ; 1 . 2 2 2 2 2 2 m m m mS P m m m m m m − + − − − − = = = − = = = − + + + + + + + Khử m ta có 5 6 4 5 6 4 0S P S P+ = ⇔ + − = hay ( )1 2 1 25 6 4 0.x x x x+ + − = Đây là 1 hệ thức giữa 1 2,x x không phụ thuộc vào m. c) Để lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là 1 2,X X ta tính 1 2X X+ và 1 2.X X Ta có : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 21 1 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 3 2 x x x x x xx x P mX X x x x x x x x x P S m − + + − + − − − − − + = + = = = = + + + + + + + + + + . ( ) ( ) 1 2 1 22 1 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 1 7 2 . . 1 1 1 1 3 2 x x x xx x P S mX X x x x x x x P S m − + + − − − + − = = = = + + + + + + + + Vậy phương trình cần tìm là: 0X SX P− + = hay ( ) ( )23 2 2 4 7 2 0.m X m X m+ − − + − = Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là ba số khác nhau, c ≠ 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình 2 a 0x x bc+ + = và 2 0x bx ca+ + = có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏ mãn phương trình 2 0.x cx ab+ + = Lời giải: Giả sử α là nghiệm chung của hai phương trình 2 a 0x x bc+ + = (1) và 2 0x bx ca+ + = (2) Ta có: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 α α 0 α 0 α 0 α 0. α α 0 a bc a b c b a c a b c b ca  + + = ⇒ − + − = ⇒ − − = ⇒ = ≠ + + = Thay α c= vào (1) ta có ( )2 0 0 0c ac bc c a b c a b c+ + = ⇒ + + = ⇒ + + = Mặt khác, theo định lý Vi-et phương trình (1) còn có nghiệm nữa là b, phương tình (2) còn có nghiệm nữa là a. Theo định lý Vi-et đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình ( )2 20 0x a b x ab x cx ab− + + = ⇔ + + = (đpcm). BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Cho phương trình ( )2 2(2 1) 3 4 0, *x m x m− + + + = a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức 3 31 2A x x= + . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 2 21 2;x x . Bài 2: [ĐVH]. Cho phương trình ( )2 22( 1) 3 0, *x m x m m− − + − = a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: 2 21 2 8.x x+ = Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Bài 3: [ĐVH]. Cho phương trình 2 2( 2) ( 3) 0x m x m m− − + − = . Tìm m để a) phương trình có hai nghiệm trái dấu? b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt? c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? d) phương trình có hai nghiệm 1 2;x x thỏa mãn 3 31 2 0.x x+ = Bài 4: [ĐVH]. Cho phương trình 2 22( 1) 0x m x m+ − + = . Tìm m để a) phương trình có hai nghiệm trái dấu? b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt? c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? d) phương trình có hai nghiệm 1 2;x x thỏa mãn 2 21 2 3.x x+ = Bài 5: [ĐVH]. Cho phương trình ( ) 21 2 1 0.m x mx m− − + + = a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1. b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình. c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1 2 2 1 5 0. 2 x x x x + + = Bài 6: [ĐVH]. Phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.