Bài giảng môn toán: Đại cương về phương trình

Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Toán cơ bản và Nâng cao 10 – Chuyên đề PT và hệ PT] Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tập xác định của phương trình: a) 1 3 2x x− + − = b) 1 2 3 4 1 x x x + = + − c) 23 2 1 x x − + = + d) 2 2 5 5 4 5 5x x x x = + − − + − Lời giải: a) Điều kiện xác định: 1 0 1 3 3 0 3 x x x x x − ≥ ≥  ⇔ ⇔ ≥  − ≥ ≥  . Vậy [ )3;D = + ∞ . b) Vì 4 4 0,x x+ ≥ > ∀ nên điều kiện xác định: 1 0 1 1.x x x− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± Vậy { }\ 1;1 .D R= − c) Điều kiện: 23 2 0 3 1 0 1 x x x x  − + ≥ ≤  ⇔  + ≠  ≠ − . Vậy { }2; \ 1 3 D  = −∞ −    . d) Vì: 2 25 5x x x x x− < = ⇒ − ≠ ± Do đó 2 5 0x x± − ≠ nên điều kiện xác định chỉ là: 2 25 0 5 5 5x x x x− ≥ ⇔ ≥ ⇒ ≥ ⇔ ≤ − hoặc 5x ≥ . Vậy ( ); 5 5; .D  = −∞ − ∪ + ∞  Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của các phương trình: a) 21 2 2x x x = + + b) 2 2 3 4 x x x = − − c) 4 1 2 x x x + = − − d) 2 2 2 5 2 1 x x x x + = − + + Lời giải: a) Vì ( )22 2 2 1 1 0,x x x x+ + = + + > ∀ nên điều kiện là mọi 0x ≠ . b) Điều kiện: 2 2 24 0 4 2 3 0 3 3 x x x x x x    − ≠ ≠ ≠ ±   ⇔ ⇔   − ≥ ≤ ≤     c) Điều kiện: 2 0 4 : 1 0 1 x x x x − > >  ⇔  − ≥ ≤  không tồn tại x. d) Vì 2 1 1 0,x x+ ≥ > ∀ nên phương trình xác định với mọi x. Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm: a) x x= − b) 3 2 2 6x x x− − = − + c) 3 3 3 x x x x − = + − − d) 1x x x+ − = − Lời giải: a) x x= − . ĐK: 0 0 0 0 0 x x x x x ≥ ≥  ⇔ ⇔ =  − ≥ ≤  Thế 0x = vào phương trình: 0 0= (đúng). Vậy tập nghiệm { }0S = . b) 3 2 2 6x x x− − = − + 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ĐK: 2 0 2 2 2 0 2 x x x x x − ≥ ≥  ⇔ ⇔ =  − ≥ ≤  Thế 2x = vào phương trình: 6 – 0 = 0 + 6 (đúng). Vậy tập nghiệm: { }2S = . c) 3 3 3 x x x x − = + − − . ĐK: 3 3 3 0 3 3 0 3 x x x x x x ≠ ≠    − ≥ ⇔ ≥    − ≥ ≤  Vậy không tồn tại giá trị x nào nên S = ∅ . Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình: a) 1 2 1x x x+ − = + − b) 1 0,5 1x x x+ − = + − c) 3 2 5 5 x x x = − − d) 2 2 5 5 x x x = − − Lời giải: a) Với ĐK: 1x ≥ thì phương trình tương đương với 2x = (chọn). Vậy { }2 .S = b) Với ĐK: 1x ≥ thì phương trình tương đương với 0,5x = (loại). Vậy S = ∅ . c) Với ĐK: 5x > thì phương trình tương đương với 3 6 2 x x= ⇔ = (chọn). Vậy { }6 .S = d) Với ĐK: 5x > thì phương trình tương đương với 2 4 2 x x= ⇔ = (loại). Vậy S = ∅ . Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình: a) 1 2 1 1 1 x x x x − + = − − b) 1 2 3 2 2 x x x x − + = − − c) ( )2 3 2 3 0x x x− + − = d) ( )2 2 1 0x x x− − + = Lời giải: a) Với điều kiện 1,x ≠ ta có: 2 11 2 1 1 2 1 . 21 1 xx x x x x xx x =− + = ⇔ − + = − ⇔  =− −  Chọn nghiệm 2x = . b) Với điều kiện 2,x ≠ ta có: 21 2 3 1 2 3 2 2 2 x x x x x x x x − + = ⇔ − + = − ⇔ = − − (loại). Vậy phương trình vô nghiệm. c) Với điều kiện 3x ≥ , ta có 3x = là một nghiệm. Nếu 3x > thì 3 0x − > . Do đó: ( )2 2 13 2 3 0 3 2 0 2 x x x x x x x = − + − = ⇔ − + = ⇔  = (loại). Vậy phương trình có một nghiệm là 3x = . d) Với điều kiện 1x ≥ − . Ta có 1x = − là một nghiệm nên 1x > − thì 1 0x + > nên phương trình tương đương: 2 12 0 . 2 x x x x = − − + = ⇔  = Chọn nghiệm 2.x = Vậy phương trình có 2 nghiệm 2; 2.x x= − = Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình a) 23 2 3 2 3 2 x x x x − − = − − b) 24 32 3 1 1 x x x x + + + = − − . Lời giải: a) Điều kiện 2 3 x > , ta có: ( ) 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 3 4 0 3 4 0 3 2 x x x x x x x x x x x − − = − ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ − = − 0 .4 3 x x = ⇔  =  Chọn nghiệm 4 . 3 x = Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! b) Điều kiện 1,x ≠ ta có ( )( ) 2 2 14 32 3 2 3 1 4 2 0 21 1 xx x x x x x xx x =+ + + = ⇔ + − + = + − = ⇔  = −− −  . Chọn nghiệm 2x = − . Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải phương trình bằng cách bình phương 2 vế : a) 3 9 2x x− = − b) 1 3x x− = − c) 2 1 2x x− = + d) 2 2x x− = + Lời giải: a) 3 9 2 3 9 2 4.x x x x x− = − ⇒ − = − ⇒ = Thử lại thấy 4x = nghiệm đúng. Vậy phương trình có nghiệm 4x = . b) ( )2 2 21 3 1 3 7 10 0 .5 x x x x x x x x = − = − ⇒ − = − = − + = ⇒  = Thử lại, 2x = không thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm 5.x = c) ( ) ( )2 2 2 02 1 2 4 1 2 3 12 0 . 4 x x x x x x x x = − = + ⇒ − = + ⇒ − = ⇒  = Thử lại, cả hai đều nghiệm đúng. Vậy phương trình có hai nghiệm 0; 4.x x= = d) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 1 3 3 1.x x x x x x− = + ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ± Thử lại, chỉ có 1x = nghiệm đúng. Vậy phương trình có nghiệm 1x = . Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải các phương trình a) 1 2x x+ = b) 1 2x x+ = − c) 2 2x x+ = − d) 2 2x x− = + Lời giải: a) ,D R= ta có: ( )2 2 2 1 1 2 1 4 3 2 1 0 .3 1 x x x x x x x x  = −+ = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔  = Vậy 1 ;1 3 S  = −    . b) ,D R= ta có: ( ) ( )2 2 22 0 2 1 2 .34 31 2 4 xx x x x x xx x ≥ − ≥ ≥  + = − ⇔ ⇔ ⇔   = =+ = −    Vậy S = ∅ . c) Với điều kiện 2x ≥ thì phương trình ( )2 2 2 0 2 2 2 3 6 02 2 x x x x x xx x + ≥ ≥ −  + = − ⇔ ⇔  + + =+ = −   . Vì 0∆ < nên phương trình vô nghiệm. d) Với điều kiện 2x ≥ − thì phương trình ( )2 2 22 0 2 2 2 5 175 2 02 2 2 x x x x x x xx x x ≥ − ≥ ≥   − = + ⇔ ⇔ ⇔   ± − + =− = + =    Chọn nghiệm 5 17 2 x + = . Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải các phương trình a) 1 1 x x x x = − − b) 2 2 1 1 x x x x − − = − − c) 2 2 x x x x − = − − d) 1 1 2 2 x x x x − − = − − Lời giải: a) Với điều kiện: 1x > thì phương trình tương đương: 0x x x= ⇔ ≥ . Kết hợp thì 1x > . Vậy ( )1;S = + ∞ . b) Với điều kiện: 1x > thì phương trình tương đương: 2 2 2x x x− = − ⇔ ≥ (chọn) . Vậy ( )2;S = + ∞ . c) Với điều kiện: 2x < thì phương trình tương đương: 0x x x= − ⇔ ≤ (chọn). Vậy ( ]; 0S = −∞ . d) Với điều kiện: 2x > thì phương trình tương đương: 1 1 1.x x x− = − ⇔ ≤ Kết hợp thì không tồn tại x. Vậy S = ∅ . Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Ví dụ 10: [ĐVH]. Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm a) 3 1 3 2 x x x + = − − + b) 4 3 4x x x− − = + − Lời giải: a) Điều kiện: 2 0 2 : 3 0 3 x x x x − + > <  ⇔  − ≥ ≥  Không tồn tại x. Vậy D = ∅ nên .S = ∅ b) Điều kiện: 4x ≥ thì phương trình tương đương: 3 3x x− = ⇔ − − (loại) nên phương trình vô nghiệm. Ví dụ 11: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) 22 x m xx = − − b) 1 x x xx m = ++ Lời giải: a) 22 x m xx = − − . Với điều kiện 2x > thì phương trình tương đương x m= . Biện luận: Nếu 2m ≤ thì phương trình vô nghiệm. Nếu 2m > thì phương trình có nghiệm duy nhất x m= . b) 1 x x xx m = ++ . Điều kiện: 0 1 0 1 x m x m x x + > > −  ⇔  + > > −  Xét 1m = thì phương trình có nghiệm và mọi 1x > − / Xét 1m ≠ thì điều kiện: , 1 x m x > −  > − phương trình tương đương: ( )1 1 0 0x x x x m x x x m x+ = + ⇔ + − + = ⇔ = (Vì 1x x m+ ≠ + ) Do đó, với 0m ≤ thì phương trình vô nghiệm. Với 0,m > 1m ≠ thì phương trình có nghiệm 0x = . Vậy 0m ≤ : phương trình vô nghiệm. 0m > và 1: 0; 1:m x m≠ = = mọi 1x > − đều là nghiệm. Ví dụ 12: [ĐVH]. Xét quan hệ tương đương của các cặp phương trình: a) 2 6 1 x x + = − và ( ) ( )1 2 6 1x x x− + = − b) 2 5 54x x x − = − và 2 4x = c) 2 1 3x + = và 22 3x x x+ = d) 1 2x − = và ( )21 4x − = Lời giải: a) Với điều kiện 1x ≠ thì phương trình đầu tương đương ( ) ( ) 21 2 6 1 7 8 0x x x x x− + = − ⇔ − + = Vì 1x = không phải là nghiệm của phương trình. 2 7 8 0x x− + = nên hai phương trình tương đương. b) Với điều kiện 0x ≠ thì phương trình đầu tương đương với: 2 4 2x x= ⇔ = ± (chọn). Vậy hai phương trình tương đương. c) Không tương đương, vì 0x = là nghiệm phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của phương trình thứ nhất. d) Không tương đương, vì 1x = − là nghiệm của phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của phương trình thứ nhất. Ví dụ 13: [ĐVH]. Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương: a) 2 0x + = và 3 1 0 3 mx m x + − = + b) 2 9 0x − = và ( ) ( )22 5 3 1 0x m x m+ − − − = Lời giải: a) Phương trình 2 0x + = có nghiệm 2x = − Phương trình 3 1 0 3 mx m x + − = + có nghiệm 2x = − khi 2 3 1 0 1.m m m− + − = ⇔ = Thử lại với 1m = thì phương trình 2 0 3 x x + = + và có nghiệm duy nhất 2.x = − Vậy hai phương trình tương đương khi 1m = . Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! b) Phương trình 2 9 0x − = có hia nghiệm 3x = và 3x = − . Ta có: 3x = ± là nghiệm của phương trình: ( ) ( )22 5 3 1 0x m x m+ − − + = khi: ( ) ( ) ( ) ( ) 18 3 5 3 1 0 0 0 5 518 3 5 3 1 0 m x m m mm x m  + − − + = = ⇔ ⇒ =  = − − − + =  . Với 5m = phương trình sau trở thành: 2 22 18 0 9 0 3.x x x− = ⇔ − = ⇔ = ± Vậy với 5m = hai phương trình đã cho tương đương. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) 5 53 12 . 4 4 x x x + = + − − b) 1 15 15 . 3 3 x x x + = + + + c) 2 1 19 . 1 1 x x x − = − − − d) 2 23 15 . 5 5 x x x + = + − − Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) 1 1 2.x x+ − = − b) 1 2 .x x+ = − b) 1 1.x x+ = + d) 1 1 .x x− = − Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) 3 . 1 1 x x x = − − b) 2 1 2 3.x x x− − = − + Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) ( )23 3 2 0.x x x− − + = b) ( )21 2 0.x x x+ − − = c) 1 2. 2 2 x x x x = − − − − d) 2 4 3 1. 1 1 x x x x x − + = + + + + Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) 2 1.x x− = + b) 1 2.x x+ = − c) 2 1 2.x x− = + d) 2 2 1.x x− = − Bài 6: [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) . 1 1 x x x x = − − b) 2 2 . 1 1 x x x x − − = − − c) . 2 2 x x x x = − − d) 1 1 . 2 2 x x x x − − = − −