Bài giảng môn toán: Đại cương về hàm số phần 2

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! DẠNG 2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số sau a) 22 2 2y x x= + − trên ( ) ( ); 1 ; 1; .−∞ − − +∞ b) 22 4 1y x x= − + + trên ( ) ( );1 ; 1; .−∞ +∞ Ví dụ 2: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số sau a) 2 3 y x = − trên ( ) ( );3 ; 3; .−∞ +∞ b) 1 2 y x − = − trên ( ) ( );2 ; 2; .−∞ +∞ DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số: a) 4 23 1y x x= − + b) 22y x x= − + c) 4 8y x x= + Lời giải: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 23 1 3 1f x x x x x f x− = − − + = − + = . Vậy f chẵn. b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2f x x x x x f x− = − − + − = − = − . Vậy f lẻ. c) Ta có: ( ) 41 1 8.1 9f − = + = và ( ) ( ) ( ) ( )41 1 8. 1 7 1 1− = + − = − → ≠ −f f f và ( ) ( )1 1 .≠ − −f f Vậy f(x) không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ. Ví dụ 2: [ĐVH]. Xét tính chất chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) 2 2y x x= + − − b) 2 1 2 1y x x= + + − c) y x x= + Lời giải: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: ( ) ( )2 2 2 2f x x x x x f x− = − + − − − = − − + = − . Vậy f (x) là hàm số lẻ. b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1f x x x x x f x− = + + − − = − + + = . Vậy f(x) là hàm số chẵn. c) ( )1 1 1 2f = + = và ( ) ( ) ( )1 1 1 0 1 1− = − + = → − ≠ ±f f f nên f không có tính chẵn, lẻ. Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: a) ( ) 1 khi 0 0 khi 0 1 khi 0 x y f x x x >  = = =  − < b) ( ) 3 3 6 khi 2 khi 2 2 6 khi 2  − − ≤ −  = = − < <  − ≥ x x y f x x x x x Lời giải: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 khi 0 1 khi 0 0 khi 0 0 khi 0 . 1 khi 0 1 khi 0 − > <    − = − = ⇔ − = = → = −    − −   x x f x x f x x f x f x x x Vậy f là hàm số lẻ. b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ – P2 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 33 6 khi 2 6 khi 2 khi 2 2 khi 2 2 6 khi 26 khi 2 x x x x f x x x f x x x f x f x x xx x  − − − − ≤ −  − ≥   − = − − < − < ⇔ − = − < < → − =    − − ≤ − − − − ≥   . Vậy f là hàm số chẵn. DẠNG 4. CÁC HÀM SỐ KHÁC Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 .y x = ... Ví dụ 2: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 1y x= + . ... Ví dụ 3: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 31 . 2 y x= − ... Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số 1 1 . 1 1 x x y x x + + − = + − − a) Tìm miền xác định của hàm số. b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Lời giải: a) Điều kiện: 1 ( 1) 2 01 1 0 1 1 2 0 x x x x x x x x + ≠ − − ≠  + ≠ − ⇔ ⇔ ⇔ ≠  + ≠ − ≠  . Vậy { }\ 0D R= . b)... Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số 2x mx my x m − + = − . Hãy xác định m sao cho: a) Đồ thị của hàm số không cắt trục tung. b) Đồ thị của hàm số không cắt trục hoành. c) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Lời giải: a) Đồ thị của hàm số 2x mx my x m − + = − không cắt trục tung khi x = 0 không thuộc tập xác định của hàm số 2x mx my x m − + = − , do đó 0m = . b) Đồ thị của hàm số 2x mx my x m − + = − không cắt trục hoành khi: 2 2 0 0 x mx m x m x mx m  − + =⇔ −  − + = 2 2 4 0 4 0 0 4 0 4. 0 2 m m m m m mm mx ∆ = − <  ∆ = − =⇔ < < ⇔ ⇔ ≤ <  ==  c) Đồ thị hàm số 2x mx my x m − + = − cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt: 2 2 0 ( ) 0 x mx m x m f x x mx m  − + = ⇔ −  = − + = là vô nghiệm là vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = m có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt và khác m Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! 2 04 0 4( ) 0 mm m mf m m   ⇔ ⇔  >= ≠  . Ví dụ 6: [ĐVH]. Gọi ( )D k là đường thẳng có phương trình 1y kx k= − + a) Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, đường thẳng dk quay quanh một điểm cố định. b) Tìm k để dk cắt 4( ) :C y x = . Lời giải: a) Có thể viết phương trình của dk dưới dạng: ( 1) 1y k x= − + . Khi x = 1 thì y = 1, ∀k. Vậy dk luôn đi qua điểm (1;1)I cố định. b) Phương trình hoành độ giao điểm: 241 (1 ) 4 0, 0.kx k kx k x x x + − = ⇔ + − − = ≠ Với 0 4 :k x= ⇒ = đường thẳng 1y = cắt ( )C tại điểm có hoành độ 4x = . Với k ≠ 0 thì dk cắt ( )C khi phương trình trên có nghiệm, tức là khi: 2 2(1 ) 16 14 1 0k k k k∆ = − + = + + ≥ 2( 7) 48 7 48k k⇔ + ≥ ⇔ + ≤ − hoặc 7 48k + ≥ . 7 2 21k⇔ ≤ − − hoặc 7 2 21k ≥ − + . Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số 4 3 3y x mx mx= + − + (với m là tham số) Hãy tìm tất cả những điểm M nằm trên dường thẳng y = x + 1 sao cho đồ thị của hàm số nói trên không đi qua chúng dù cho m lấy bất kỳ giá trị nào. Lời giải: Xét điểm 0 0( ; 1)M x x + thuộc đường thẳng y = x + 1 Ta có 0 0( ; 1)M x x + không thuộc đồ thị của hàm số đã cho với mọi m 4 3 0 0 01 3,x x mx m⇔ + ≠ + + ∀ . 3 4 0 0 0 0( ) ( 2) 0x x n x x⇔ − + − + = là vô nghiệm đối với m 3 0 0 0 4 00 0 0 0 12 9 x x x xx x  − = = ⇔ ⇔  = ± − + ≠  Vậy ba điểm cần tìm trên đường thẳng 1y x= + là: ( ) ( ) ( )1 2 30;1 , 1; 0 , 1; 2 .A A A− Ví dụ 8: [ĐVH]. Chứng minh đồ thị của hàm số: a) 2 4 3y x x= − + có trục đối xứng là đường thẳng 2x = . b) 11y x x = + − có tâm đối xứng là điểm ( )0;1I . Lời giải: Ngoài cách chuyển trục bằng phép tịnh tiến để đưa về hàm số chẵn, hàm số lẻ, ta có thể dùng định nghĩa về trục đối xứng, tâm đối xứng để giải như sau: a) Tập xác định D = R, ta có: ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 0,f x f x x x x D+ − − = − − − = ∀ ∈ Vậy theo định nghĩa, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng. b) Tập xác định { }. \ 0 .D R= Ta có: ( ) ( )1 1 1 11 1 1, 2 2 f x f x x x x D x x     + − = + − + − + + = ∀ ∈       Vậy theo định nghĩa, đồ thị hàm số nhận I(0; 1) làm tâm đối xứng. Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) 2 . 1 xf x x = + Hãy xác định hàm số ( )( ) ( )( )( ),f f x f f f x . Lời giải: Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 211 11 x x f x xx xf f x f x x xx x x + + = = = = + +  + −   + +  ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 31 11 1 21 2 x x f f x xx xf f f x x xf f x x x x + + = = = = + + ++   + +  . Ví dụ 10: [ĐVH]. Hãy xác định hàm số ( ) ,y f x x R= ∈ biết rằng: a) ( )3 2 1f x x+ = − b) ( ) 21 3 3f x x x− = − + . Lời giải: a) Đặt 3 3,u x x u= + ⇔ = − ta được: ( ) ( )2 3 1 2 7, .f u u u u R= − − = − ∈ Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 2 7, .f x x x R= − ∈ b) Đặt 1 1x u x u− = ⇔ = + Ta có: ( ) 21 3 3, .f x x x x R− = − + ∀ ∈ ( ) ( ) ( )21 3 1 3,f u u u u R⇔ = + − + + ∀ ∈ ( ) 2 1, .f u u u u R⇔ = − + ∀ ∈ Vậy hàm số cần tìm là ( ) 2 1, .f x x x x R= − + ∀ ∈ Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho , , 0a b R a∈ ≥ . Chứng minh rằng tồn tại hàm số ( ) ,y f x x R= ∈ sao cho ( )( ) ,f f x ax b x R= + ∀ ∈ . Lời giải: Chọn ( ) . , 1 bf x a x x R a = + ∈ + Ta có: ( )( ) ( ). . 1 1 1 b b bf f x a f x a a x a a a   = + = + +  + + +  ax , : 1 1 b a b ax b x R a a   = + + = + ∀ ∈  + +  đpcm. Ví dụ 12: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết 1 1 83 5 3 2 2 1 − −    − =   + − −    x xf f x x x Đ/s: 28 4( ) 5 + = xf x x Ví dụ 13: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết 22 1 2 1 +  = +  −  xf x x x Đ/s: 2 2 3 3( ) ( 2) − = − xf x x Ví dụ 14: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết 3 1 1 2 1 − +  = + −  x xf x x Đ/s: 4( ) 3 2 + = − xf x x BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh hàm số không có tính chẵn, lẻ: a) 3y x= + b) 23 4 2y x x= − + c) 1 2 xy x + = − d) 2 3 5 2 xy x + = − Bài 2: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! a) ( ) 220074 xf x x = − b) ( ) 4 2 2 2 1 9 1 x xf x x + + = − c) 1 1y x x= + − − d) 4 4y x x= − + + Bài 3: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: a) ( ) 0f x = b) ( ) ( ) ( )2 23 32 1 2 1f x x x= + + − c) ( ) 4 3 72f x x x= − + d) ( ) 3 3 1; 1 0, 1 1 1, 1 x x f x x x x  + ≤ −  = − < <  − ≥ Bài 4: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra: a) 2 3; .y x R= + b) 5; .y x R= − + c) ( ) ( )2 4 ; ;2 , 2;y x x= − −∞ +∞ d) ( ) ( )22 4 1; ;1 , 1;y x x= + + −∞ +∞ Bài 5: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra: a) ( ) ( )4 ; ; 1 , 1; 1 y x = −∞ − − +∞ + b) ( ) ( )3 ; ;2 , 2; 2 y x = −∞ +∞ − c) 6 9y x= − + d) 6 9y x= − + e) 2 5 3 y x = − f) 3 2 1 xy x − = + Bài 6: [ĐVH]. Xác định ( ) ( ) ( ) ( )( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )g f x f g x g g x f f x khi: a) ( ) ( ) 22 4, 13f x x g x x= − = + b) ( ) ( )2 1, 6 4 3 1 xf x g x x x + = = − + Bài 7*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết a) ( ) 23 6f x x x+ = + − b) ( ) ( ). 1f x x f x x− − = + c) ( ) 2 2 1 xf x xf x   + =  −  d) ( ) 1 11 1   + = + −  −  f x f x x x Bài 8*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) và g(x) biết: a) ( ) ( )1 . 1 2 1 1 1 1 1 f x x g x x x xf g x x x  + + + =   + +    + = −     − −    b) ( ) ( )2 1 1 1 12 3 1 2 2 f x g x x xf g x x  − + − = −       + =    + +   